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文档简介

1、证明数学归纳法和良序原理等价李博文定义数学归纳法对于自然数n，假设P(n)是某种性质，若：1、P(0)成立；2、假设P(k)成立，且能够推出P(k+1)成立则P(n)对任意自然数成立。即：(P(0)(P(k)P(k+1)nN, P(n)良序原理设集合S，满足(SN)且(S),则nS,mS,有nm。即(SN)(S) nS,mS,(nm)证明数学归纳法蕴含良序原理令P(n)为以下陈述：“任意自然数的子集，若包含某一自然数 i,满足 i n，则必有最小元。” ，设子集为S(1)显然P(0)成立(2)假设P(k)成立，即i S，i k.需证明P(k+1)成立.设集合CN，C包含k+1，若C中不存在i，

2、使得ik+1，则k+1是最小元； 若存在ik+1,由于ik,所以ik+1成立，即P(k+1)成立故良序原理成立。证明良序原理蕴含数学归纳法假设数学归纳法不正确，则设自然数集S，S中的元素不满足性质P且S不为空集。由良序原理可知，S必有最小值m。已知如下两条为真：1、P(0)成立；2、假设P(k)成立，且能够推出P(k+1)成立由1可知m不为零，故m-1也是自然数，记为n，又由2可知对于n+1，性质P成立，即对于m，性质P成立，矛盾。皮亚诺公理0是一个数； 如n是一个数，那么n的后继者也是一个数； 0不是任何一个数的后继者； 如果n、m、都是自然数，并且有相等的后继者，则n、m相等； 如果一个数的集

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