江苏省南京师范大学附属中学2020届高三第一次模拟考试数学试题含附加题

1、江苏省南京师范大学隶属中学2020届高三第一次模拟考试数学试题含附带题江苏省南京师范大学隶属中学2020届高三第一次模拟考试数学试题含附带题江苏省南京师范大学隶属中学2020届高三第一次模拟考试数学试题含附带题江苏省南师附中2020届高三年级第一次模拟考试数学注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将答题卡交回2答题前，请您务势必自己的姓名、考试号等用书写黑色笔迹的0.5毫米署名笔填写在答题卡上3作答题目一定用书写黑色笔迹的0.5毫米署名笔写在答题卡上的指定地点，在其他地点

2、作答一律无效如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描绘清楚，x2，xn的方差s21n21n参照公式：1样本数据x1xix，此中xxi；ni1ni12圆锥的体积V1h是高Sh，此中S是圆锥的底面圆面积，3一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应地点上1会合A0,ex，B1,0,1，若ABB，则x_12i（i是虚数单位）的虚部是_2复数zi3log24log42_4履行以以下图的程序框图，输出的s值为_5在ABC中，a4，b5，c6，则sin2A_sinC已知函数fxsinx3cosx，x，若fx是奇函数，则60f6的值为_7已知fxlog3x，若a，

3、b满足fa1f2b1，且a2b，则ab的最小值为_8将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为_9若抛物线x24y的点到双曲线C：x2y21（a0，b0）的近线距离等于1，则双曲线C的a2b23离心率为_10设m，n为空间两条不一样的直线，为空间两个不一样的平面，给出以下命题：若mP，mP，则P；若若mP，mPn，则nP；若m，mP，则；m，P，则m此中的正确命题序号是_rrrr1l设x0，y0，向量a1x,4，bx,y，若aPxy的最小值为_b，则12在ABC中，点P是边AB的中点，已如CP3，CA4，则CPCA_13已知正数a，b，c满足b22ac

4、bac0，则bc的最大值为_a14若m2x10m0对全部x4恒成立，则实数m的取值范围是_mx1二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定地区内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算15如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为矩形，且AB=2，BC=1，E，F分别是AB，PC的中点，PADE(1）求证：EFP平面PAD；（2）求证：平面PAC平面PDE16在三角形ABC中，已知tanB110，cosC210（1）求角A的值；（2）若ABC的面积为3，求边BC的长1017建筑一个容积为8m3、深为2m的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2（

5、1）求总造价y（单位：元）对于底边一边长x（单位：m）的函数分析式，并指出函数的定义域；（2）假如要求总造价不超出2080元，求x的取值范围；（3）求总造价y的最小值18在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2y21，若圆O：x2y2R2R0的一条切线与椭圆C63uuuruuur有两个交点A，B，且OAOB0（1）求O的方程；（2）已知椭圆C的上极点为M，点N在圆O上，直线MN与椭圆C订交于另一点uuuuruuurQ，且MN2NQ，求直线MN的方程19已知函数fxax22xlnxax21aR2（1）若曲线yfx在x1处的切线的斜率为2，求函数fx的单一区间；（2）若函数fx在区间1,e上有零点，

6、务实数a的取值范田（e是自然对数的底数，e271828L）20已知数列an、bn、cn，对于给定的正整数k，记bnanank，cnananknN*若对随意的正整数n满足：bnbn1，且cn是等差数列，则称数列an为“Hk”数列（1）若数列an的前n项和为Snn2，证明：an为Hk数列；（2）若数列an为H1数列，且a11，b11，c25，求数列an的通项公式；（3）若数列an为H2数列，证明：an是等差数列数学（附带题）2l【选做题】此题包含A、B、C三小题，请选定此中两题，并在相应的理睬地区内作答若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修4-2：矩阵与变换（

7、本小题满分10分）已知矩阵A102aBA0，B0，且AB21（1）务实数a；（2）求矩阵B的特色值B选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）x3t在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：5（t为参数）现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴y4t5为极轴成立极坐标系，设圆C的极坐标方程为2cos，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长C选修4-5：不等式选讲已知x1，x2，x30,，且满足x1x2x33x1x2x3，证明：x1x2x2x3x3x13【必做题】第22题、第23题，每题10分，合计20分请在答卷卡指定地区内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）uuu

8、ruuur如图，在四棱锥P-ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2若DCABR，uuuruuur15且向量PC与BD夹角的余弦值为15（1）求的值：（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值2n12n1，nN*记Tnk01x2k1ank23已知a0a1xa2x2La2n1xn（1）求T2的值；（2）化简Tn的表达式，并证明：对随意的nN*，Tn都能被4n2整除参照答案102-13545516-173284262993101191265214113,2215证明：（1）取PD中点G，连AG，FG，F，G分别是PC，PD的中点FGPCD，且FG1CD2又E为AB中点AEP

9、CD，且AE1CD2AEPFGAEFG四边形AEFG为平行四边形EFPAG，又EF平面PAD，AG平面PADEFP平面PAD（2）设ACIDEH，由AEH:CDH及E为AB中点，得AHAE1CHCD2又AB2，BC1AC3，AH1AC333AHAB2AEAC3又BAD为公共角GAE:BACAHEABC90即DEAC又DEPA，PAIACADEPACDEPDE16解：（1）在ABC中，tanB1103103，cosC得sinC，故tanC21010tanBtanC132因此tanAtanBC1Q0A，因此A1tanBtanC11342a310（2）由（1）知A45，设BCa，利用正弦定理ABBC

10、1035得，AB2a，sinCsinA52sinB15又cosB2，解得sinB5sin2Bcos2B1因此ABC的面积为S1ABBCsinB135aa53a23，因此a1，即BC12255101017（1）底边一边长x，另一边长为842x，xy2x42808120320 x4480，即y320 x4480 x0；x2xx（2）y320 x44802080，解得1x4；xx1,4时，总造价不超出2080元；（3）记fxx4，设0 x1x22，则x1x20，x1x240，xfx1fx2x14x24x1x2x1x240，即fx1fx2，fx递减，x1x2x1x2同理x2时，fx递加，因此函数y32

11、0 x4480在0,2上递减，在2,上递加，xx2时，ymin3202448017602x2m，总造价最小为1760元ykxb,18（1）设的切为ykxb，点Ax1,y1，Bx2,y2由方程组x2y2得631,12k2x24kbx2b260，得x1x24kb，x1x22b2b12k212k2uuuruuur由于OAOB0，因此x1,y1x2,y20，即x1x2y1y20又由于点Ax1,y1，Bx2,y2在直线ykxb上，因此x1x2kx1bkx2b0，22221k2b6即1k2x1x2kbx1x2b20因此4kbb20，化简得b22k22，12k212k2因此圆O的半径Rb2，因此圆O的方程为

12、x2y221k2x2uuuruuur0此时，当切线为时，易证满足OAOBuuuuruuur2x0,2y03（2）设点Qx0,y0，点M0,3，由MN2NQ，得N3，代入椭圆和圆得3x02y021,x032,32632x0,22解得或许22x02y0333.2,y0y03322因此点Q32,3或Q32,32222故直线MN的方程为y6x3或y6x32219（1）函数fx的定义域为0，fx2ax2lnxax22x1ax2ax1lnx2ax22ax1lnx1，x则f12a12，因此a0，此时fx2xlnx1，定义域为0,，fx2lnx1，令fx1；令fx0，解得x10，解得x；ee因此函数fx的单一

13、增区间为1,，单一减区间为0,1ee（2）函数fxax22xlnxalnx21在区间1,e上的图象是一条不中断的曲线2由（1）知fx2ax1lnx1，1）当a0时，对随意x1,e，ax10，lnx10，则fx0，因此函数fx在区间1,e上单一递加，此时对随意x1,e，都有fxf1a10成立，从而函数fx在区间1,e上无零2点；2）当a0时，令fx0，得x1111，或，此中e1ea若1，即a1，则对随意x1,e，fx0，刚以函数fx在区间1,e上单一递减，由题1意得f1a10，且feae22eae210，解得2a22e1，3e22222e1222e1此中13e4e2，即1，因此a的取值范是2a1

14、；3e23e23e20若1e，即1a0，则对任x1,e，fx0，因此函数fx在区间1,e上单一递加，此aea时对随意x1,e，都有fxf110成立，从而函数fx在区间1,e上无零点；2若11e，即1a1，则对随意x1,1，fx0；因此函数fx在区间1,1上aeaa单一递加，对随意x1,1，都有fxf1a10成立；a2对于随意x1,e，fx0，函数fx在区间1,e上单一递减，由题意得aafeae22eae210，解得a292e1，23e2此中22e113e4e2e21，3e2e3e23e2e因此a的取值范围是1a22e1e2综上可得，实数a的取值范围是2a22e13e220（1）当n2时，anS

15、nSn1n2n122n1，当n1时，a1S1a吻合上式，则an2n1n1，bn2k，cn4n2k2，则bnbn1，cn1cn4对随意的正整数n满足bnbn1，且cn是公差为4的等差数列，an为Hk数列（2）Qa1，b11，a22，由数列an为H1数列，则cn是等差数列，且c13，c25cn2n1即anan12n1，an1n1ann，则ann是常数列，Qa110，ann考证：bnanan11，bnbn1对随意正整数n都成立ann又由anan12n1，an1an22n3，两式相减得；an2an2，a2k1a12k12k1，a2ka22k12k，ann（3）由数列an为H2数列可知：cn是等差数列，

16、记公差为dcn2cnan2an1anan2bnbn22d，bn1bn32d则bnbn1bn2bn32d2d0又bnbn1，bnbn1，数列bn为常数列，则bnanan2b1cnanan22anbn由cncn2an1and，an1andan1，是等差数列2解：（1）由于AB102a2aBA2a1022aABBA21A，且，所020102010202以a0（2）由于B20，矩阵B的特色多项式为f21，令f，解得2，101x3tB解：直线l：5（t为参数）化为一般方程为4x3y0y4t5圆C的极坐标方程2cosx1221，化为直角坐标方程为y则圆C的圆心到直线1的距离为d44，因此AB21d2622

17、5543C解：由于x1，x2，x30,，x1x2x33x1x2x3，因此1113，x2x3x3x1x1x2又xxxxxx11111129，122331x2x3x3x1x1x2因此x1x2x2x3x3x13，当且仅当x1x2x31时取等号【点睛】此题主要观察柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵巧运用22（1）依题意，以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y，z轴成立空间直角坐标系AxyzB1,0,0，D0,2,0uuuruuur,2,0，P0,0,2，由于DCAB，因此Cuuuruuuruuur15，解得10（舍去）或2从而PC,2,2，则由cosPC,BD15uuur2,2,2uuur0,2,2rx,y,z，（2）易得PC，PD，设平面PCD的法向量nruuurruuur0，即xyz0，且yz0，因此x0则nPC0，nPD，不如取yzruuur1,0,21，则平面PCD的一个法向量n0,1,1，又易得PB，uuurruuurrPBn1010故cosPB,n，因此直线PB与平面PCD所成角的正弦值为uuurr55PBn23（1）由二项式定理得aiC2ni1，T2a23a15a0；（2）Tn2n1C2nnC2nn2n1C2nn11C2nn122n1C2nn1，从而可获取结论分析：由二项式定理