光学信息处理全套课件

1、1光学信息处理（光学信息技术原理及应用）绪论2光学是信息科学的主要分支人类接收信息的90%以上通过人的视觉烽火台人类最早的光通信技术，无线光通信，大气光通信光可以承载信息、传播信息、记录信息、萃取信息、显示信息 二十世纪是电子的世纪，二十一世纪将是光的世纪，光在信息科学中将要发挥更大的作用3近代光学对信息时代发展的重要作用 20世纪40年代末提出的全息术50年代产生的光学传递函数60年代发明的激光器70年代发展起来的光纤通信80年代成为微机标准外设的光驱航天航空事业中应用的空间光学，神州五号搭载的相机拍到美国军用机场照片分辨率一米 4信息光学的研究方法和用途将信息科学中的线性系统理论引入光学

2、把光学成像系统看成一种二维的图像信号的传输和处理系统 由空间域扩展到空间频率域对光学成像系统进行空间频谱分析 光学系统的单一成像功能扩展到二维信息处理 应用：二维信号（图像）的各种运算方法，图象处理与识别技术，高密度信息存储的光学方法，三维面形测量，全息散斑干涉技术 5信息光学的主要内容第1章的主要内容是二维线性系统分析 ，抽样定理 第2章关于标量衍射理论，由傅里叶分析与综合导出近场及远场衍射公式 第3章关于光学系统的频谱分析，光学系统的成像过程和光学传递函数 第5章研究光全息学，全息存储、全息显示、全息干涉计量的基础 第8章讲述光信息处理的一般方法，二维图象信号的各种运算、非线性处理的光学实

3、现、光计算及光信息处理的某些最成功的应用 第9章的内容是立体显示技术，彩虹全息，模压技术及象素全息 6学习目的与具体要求目的：掌握信息光学有关知识，学习理论结合实际应用高技术的某些方法作业要求：独立完成（否则难于通过考试），第二堂交作业开卷考试（只允带教科书和本人笔记与作业本），50分下不能通过共有四次实验，需扣除四次课堂教学，分别为9，20；10，4； 11，15；11，29。初步定在每周一、二、三、四的晚上68时，两人一组每次八组一个实验要做五次，连同另一个班共九次，四个实验需9周做完。本班实验一为10，1010，17；实验二为10，2511，1，实验三为11，910，16，实验四为11，

4、2412，1。(请班长们协商安排）7学习参考书基本方法：读通一本书（教科书），以后再看参考书傅里叶光学导论J。W。顾德门，科学出版社，1979傅里叶光学（基本概念和习题）吕乃光， 陈家璧，毛信强，科学出版社，1979傅里叶光学教程黄婉云，北京师范大学出版社，1985傅里叶光学吕乃光，机械工业出版社，1988信息光学苏显渝，科学出版社，1999Introduction to Fourier Optics（second edition）J.W.Goodman8第一章 二维线性系统分析 把光学系统看成二维线性系统-信息传输系统，而不是看成一个物理的成象系统或干涉、衍射系统抽象的系统概念：某种装置，当

5、施加一个激励时，它呈现某种响应 电路网络的输入和输出：一维时序电信号 光学系统的输入和输出：二维空间分布物与像系统定义为一个变换 9系统的边端性质 系统可以用算符来表示 定义二维输入函数 二维输出函数 光学系统的输入和输出可以表示为10图1.1系统的算符表示 111.1 线性系统1.1.1线性系统的定义:如果对于任意复常数 ,在输入函数为 交换加法(乘法)与算符的顺序,得到输出函数为 12图1.2 线性系统的叠加性质13基元函数如果任何输入函数都可以分解为某种“基元”函数的线性组合，相应的输出函数便可通过这些基元函数输出的线性组合来求得常用的基元函数有 函数（即脉冲函数,参阅附录A），阶跃函数

6、，余弦函数，复指数函数等 14函数定义 函数的定义：一维 二维 函数还有其它的定义，可以参阅许多教科书15一维 函数性质函数的性质（一维）1、筛选性质：2、比例变化性质：3、 函数与普通函数的乘积： 16二维 函数性质1、可分离性：2、筛选性质：3、比例变化性质：4、 函数与普通函数的乘积： 171.1.2 脉冲响应和叠加积分(1) 函数作为基元函数的情况。根据 函数的筛选性质（A.7,或积分变换P16中1.12式），任何输入函数都可以表达为积分就是“相加”,筛选性质表明任意函数都可以表示为无穷多的 函数的和,每个 函数的“大小”被输入函数“调制”。函数通过系统后的输出用算符可以表示为 181

7、.1.2 脉冲响应和叠加积分(2)根据线性系统的叠加性质，算符与加(乘)法的顺序可以交换,算符与对基元函数积分的顺序也就可以交换 定义为系统的脉冲响应函数 得到系统输出为 “叠加积分” 191.1.2 脉冲响应和叠加积分(3)线性系统的性质完全由它的脉冲响应所表征 知道系统对位于输入平面上所有可能点上的脉冲响应，就可以通过叠加积分计算任何输入信号对应的输出 这是一个形式上很完美的表达式 一般情况下，脉冲响应与输入平面上的位置有关，会使得脉冲响应的形式十分复杂 对于线性系统的一个重要子类不变线性系统，分析才变得简单 大多数情况下，光学系统都可以看做不变线性系统 20练习1、已知函数 求下列函数，

8、并作出函数图形。（1） （2） （3）2、已知函数 求下列函数，并作出函数图形。 （1） （2）3、已知连续函数 ，若 ，利用 函数可筛选出函数在 的值，试写出运算式。4、利用梳状函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定光栅常数为 ，缝宽为 ，缝数为 。（参阅教科书附录B，注意有印刷错误）21练习（续）复习积分变换第一章一维傅里叶变换（复习） 定义，卷积与相关，傅里叶变换定理 22三角函数的正交性 三角函数系 的正交性指在一个周期区间 上此函数系中任取两个不同函数的乘积在 上的积分等于零，即23周期函数展开为傅里叶级数满足狄利克雷条件的周期为 的函数可以展开为三角级数式中周期为 时，又可以

9、写成24矩形波展开为傅里叶级数矩形波展开为傅里叶级数形式为25矩形波展开为傅里叶级数图解(1)矩形波26矩形波展开为傅里叶级数图解(2)矩形波的傅里叶分解与综合27傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式矩形波展开为傅里叶级数形式为28傅里叶级数的三角形式和指数形式之间关系根据欧拉公式，三角形式的傅里叶级数可以写成令则有29一维傅里叶变换定义当周期函数的周期逐渐增大，展开为傅里叶级数时的谱线间隔逐渐变小；直到周期增至无穷大，谱线间隔变至无穷小，可以看成连续的，也就产生非周期函数的傅里叶变换本书采用对称形式的傅里叶变换定义，即，函数 的傅里叶变换为函数 的傅里叶反变换为正反变换式前面都没有常系数

10、30 广义傅里叶变换定义对于 函数一类的广义函数可以用广义的方法来定义，即，如果函数可以看作是某个可变换函数所组成的序列的极限，对序列中的每一个函数进行变换，组成一个变换式的序列，该序列的极限就是原来函数的广义傅里叶变换例：函数 不符合傅里叶变换条件，傅里叶变换积分不收敛但是有矩形函数的傅里叶变换为31广义傅里叶变换定义（续）因此 有根据广义变换定义有：即：这是一个极其重要的（广义）傅里叶变换对，最基本也最常用32卷积和相关 卷积的定义 ：对于两个复值函数 和 ，其卷积定义为式中*表示卷积运算。卷积的意义：卷积是一个广义积分，积分结果是一个函数，实际上对于函数的每一个自变量数值都要做一次广义积

11、分卷积的运算过程：折叠、位移、相乘、积分。 1、积分中函数 积分变量前加负号变为 ，意味着折叠，过去折叠曾经叫做折（摺）积 2、对于每一个具体函数 值，函数 要位移 3、两个函数相乘：点点相乘 4、做广义积分33卷积过程图示（1）原函数折叠位移相乘得到被积函数34卷积过程图示（2）每一次积分得到卷积结果的一个点35卷积过程的两个效应展宽平滑化：被积函数经过卷积运算，其微细结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏变得平缓圆滑。36卷积运算定理1、交换律2、分配律3、结合律这几个定律不难证明。37包含脉冲函数的卷积-函数的移位 任意函数和脉冲函数的卷积：根据 函数（位于原点处）的篩选性质有任意函数和

12、位于 处的脉冲函数的卷积得到这个性质有助于对于重复的物理结构的描述，如光栅、双缝等38卷积应用举例-透镜的非相干成象高斯光学成象的物象关系是点与点对应，物和象相互共轭，完全相似的。实际成象时由于象差存在，点物不会成点象，而是产生一个弥散开的区域，甚至最大值不在高斯光学成象的象点处对于象点处的光能贡献不只来自高斯光学成象的物点处，而是来自其附近的无数个点如果每个点的贡献只与该点与物点的距离有关，与具体象（高斯物点）的位置无关象点处的总光能贡献为所有邻近点，乃至物面上所有点贡献的总和表示成积分形式就是个卷积39相关运算两个函数的互相关定义为：与卷积的差别在于相关运算中后一个函数取复共轭，且不需要折

13、叠，不满足交换律。互相关运算是两个函数间相似性的度量。函数本身的自相关定义为自相关有一个重要性质：它的模在原点处最大，即这个性质常常用来作为图象（信号）识别的判据40互相关与自相关比较互相关在两函数有相似性时出现峰值，自相关则会在位移到重叠时出现极大值41傅里叶变换定理（1）（1）线性定理：如果则有（2）相似性定理：如果则有42傅里叶变换定理（2）（3）位移定理：如果则有，函数在空域中的平移，带来频域中的相移同时，函数在空域中的相移，带来频域中的平移（4）帕色伐（Parseval）定理：如果 则有：该定理表明信号在空域和时域的能量守恒。43傅里叶变换定理（3）（5）卷积定理：如果则有即，空间域

14、两函数的卷积的傅里叶变换对应着两者变换式的乘积而且，空间域两函数的乘积的傅里叶变换对应着两者变换式的卷积卷积定理为傅里叶变换的计算提供了另一个方便的途径。44傅里叶变换定理（4）（6）自相关定理 ：如果则有另一方面有这表明了信号的自相关与功率谱之间存在傅里叶变换关系45傅里叶变换定理（5）（7）傅里叶积分定理：在 函数的各个连续点上有即，对函数相继进行变换和逆变换，又重新得到原函数。46常用函数及其傅里叶变换（1）（1）常数c（2） 函数（3）余弦函数（4）正弦函数47常用函数及其傅里叶变换（2）（5）阶跃函数 用于表示开关（6）符号函数 用于改变极性 （正负号）48常用函数及其傅里叶变换（3

15、）（7）矩形函数 表示狭缝（8）三角形函数 表示矩形光 瞳OTF49常用函数及其傅里叶变换（4）（9）梳状函数 用来表示光栅，抽样（10）高斯函数 用于表示激光光束光强分布50常用函数傅里叶变换应用举例计算 ：利用卷积定理和上述常用函数傅里叶变换可得：51课堂练习若实常数 试计算52课堂练习答案计算：53周期函数的傅里叶变换周期函数 的傅里叶变换可以通过展开成傅里叶级数来计算，如果展开为三角级数的形式，可以利用余（正）弦函数的傅里叶变换及相似性定理来计算；如果展开为复指数函数的形式，可以利用相移定理来计算。若则其傅里叶变换为根据线性定理交换求和与积分次序得再利用位移定理和常数1的傅里叶变换，得

16、到周期函数的离散谱：54练习1、求卷积 ，其中 ， 。并画出图形。2、已知函数 求下列互相关函数，并作出函数图形。 （1） （2）55练习（续1）3、已知函数 ，求其自相关函数，并画出函数图形。4、用缝宽为 的狭缝，对平面上光强分布扫描，狭缝后用光电探测器记录，试求输出光通量随 的变化分布。5、把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。 （1） （2）56二维傅里叶变换和 二维不变线性系统 57二维傅里叶变换定义若函数 在整个平面上绝对可积且满足狄里赫利条件,其傅里叶变换定义为 傅里叶变换记作函数 的傅里叶反变换为傅里叶反变换记作58 傅里叶频谱概念和狄里赫利条件根据欧拉公式， 是频率为 的

17、的余（正）弦函数。傅里叶反变换式表示函数 是各种频率为 的余（正）弦函数的叠加，叠加时的权重因子是 。因此傅里叶变换 常称为函数的频谱 傅里叶变换存在的充分条件有若干形式，绝对可积和狄里赫利条件是其中一种 狄里赫利条件可具体表述为：“在任一有限矩形区域里，必须只有有限个间断点和有限个极大极小点，而且没有无穷大间断点” 59关于存在性的两点说明在应用傅里叶变换的各个领域中的大量事实表明，作为时间或空间函数而实际存在的物理量，总具备傅里叶变换存在的基本条件。可以说，物理上的可能性是傅里叶变换存在的充分条件。因此，从应用角度来看，可以认为傅里叶变换总是存在的在应用问题中，也常遇到一些理想化的函数，例

18、如余（正）弦函数、阶跃函数以至最简单的常数等。它们都是光学中经常用到的，而且都不能满足傅里叶变换的存在条件，在物理上也不可能严格实现。对于这一类函数可以借助于函数序列极限的概念定义其广义傅里叶变换可以认为，本书内涉及的函数都存在相应的傅里叶变换，只是有狭义和广义的区别 60可分离二维傅里叶变换如果函数 在直角坐标系中是可分离的，即这种可分离变量函数的二维傅里叶变换也是可分离的,它可以表示成两个一维傅里叶变换的乘积 这一点可以直接利用一维和二维傅里叶变换定义进行证明。实际上，许多光学元器件能够用可分离变量函数表示，因此这一性质是很有用的。61极坐标下的二维傅里叶变换光学系统常是以传播方向为光轴的

19、轴对称系统。在垂直于光轴的物（像）平面、透镜平面、光瞳平面上放置的透镜、光瞳等元器件常常具有圆对称性。此时用极坐标比直角坐标更方便原函数，因此需要研究极坐标下的二维傅里叶变换 假设 平面上的极坐标为 ； 平面上的极坐标为 ，则直角坐标与极坐标的变换可表示为极坐标下的二维傅里叶变换的定义可一般地表示为 62傅里叶贝塞尔变换 当函数 具有圆对称性时，可以表示成 。代入极坐标下的二维傅里叶变换的定义得到利用贝塞尔函数关系式 圆对称二维傅里叶变换变成同样，圆对称二维傅里叶反变换可变成圆对称函数的傅里叶正变换与逆变换形式相同，又称作傅里叶贝塞尔变换 63思考题当函数 具有圆对称性时，函数 在直角坐标系中

20、是否是可分离的？64虚、实、奇、偶函数傅里叶变换的性质 是实函数，即 时，有 这样一种对称形式的函数称为是“厄米型 ”函数 是实值偶函数，则 也是实值偶函数 是实值奇函数，则 也是实值奇函数这些性质可以自行推导，灵活应用65二维傅里叶变换定理 （1）如果则有以下定理：（1）线性定理：（2）相似性定理：66二维傅里叶变换定理 （2）（3）位移定理：函数在空域中的平移，带来频域中的相移也就是说，函数在空域中的相移，带来频域中的平移（4）帕色伐（Parseval）定理该定理表明信号在空域和时域的能量守恒。67二维傅里叶变换定理（3）（5）卷积定理：即，空间域两函数的卷积的傅里叶变换对应着两者变换式的

21、乘积而且，空间域两函数的乘积的傅里叶变换对应着两者变换式的卷积，二维卷积定义为68二维傅里叶变换定理（4）（6）互相关定理（维纳辛钦定理） ：两函数的互相关定义为 显然两函数的互相关可以表达为卷积的形式 另一方面可以证明因此由卷积定理得该式说明两函数的互相关与其互谱密度构成傅里叶变换对 ，因为习惯称等式右面为两函数的互谱密度69二维傅里叶变换定理（5）（6）自相关定理，和一维时相同，有自相关定理表明一个函数的自相关与其功率谱构成傅里叶变换对 （7）傅里叶积分定理：在函数 的各个连续点上有 对函数相继进行正变换和逆变换，重新得到原函数；而对函数相继进行两次正变换或逆变换，得到原函数的“倒立像”。

22、 70傅里叶变换定理（6）（8）导数定理：表明函数的微分的傅立叶变换，可以转化为乘积运算。以对 和 的一阶偏导数为例有：其中有兴趣的同学可以参阅应用傅里叶变换（刘培森编著，北京理工大学出版社1990）一书P109的证明方法。71常用函数及其傅里叶变换参阅教科书P413附录二。72常用函数傅里叶变换计算举例二维梳状函数 ：二维梳状（Comb）函数是可分离函数，它的二维傅里叶变换也是可分离的，可以化成两个一维梳状函数傅里叶变换的乘积一维梳状（Comb）函数可以表示为展开为傅里叶级数是 73常用函数傅里叶变换计算举例（续）所以一维梳状函数 的傅里叶变换为：二维梳状函数的二维傅里叶变换为推导中多次用到

23、 函数性质74二维不变线性系统的定义 一个二维脉冲函数在输入平面上位移时，线性系统的响应函数形式始终与在原点处输入的二维脉冲函数的响应函数形式相同，仅造成响应函数相应的位移，即 这样的系统称为二维不变线性系统。其脉冲响应函数可表示为脉冲响应函数仅仅依赖于观察点与脉冲输入点坐标的相对间距二维线性不变系统还常常叫做空间不变（线性）系统 75空间不变线性系统的输入输出关系示意图 76不变线性系统的“卷积积分” 物理的空间不变线性系统，输入平面和输出平面常常是不同的两个平面，需要建立两个坐标 从研究输入和输出之间关系的角度来看，输入和输出两种信号放在同一坐标系中是方便的，因此对输入平面和输出平面的坐标

24、做归一化（不管两者是否表示同一种物理量），使得从数值上有 和脉冲响应函数变为叠加积分变为“卷积积分” 光学成象系统可以把物平面划分为若干个等晕区，把每个等晕区当作空间不变线性系统处理 77二维不变线性系统的传递函数 如果不变线性系统的输入是空域函数，其傅里叶变换为 同时输出函数和脉冲响应函数的傅里叶变换分别为 根据卷积定理有 即称做不变线性系统的的传递函数 78传递函数的意义空间频谱是基元函数的线性组合中对应的权重因子 输入和输出空间频谱之比表达了系统对于输入函数中不同频率的基元函数的作用，也就是系统在把输入“传递”为输出过程中的作用，因而称为传递函数传递函数一般是复函数，其模的作用是改变输入

25、函数各种频率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是改变这些基元成分的初位相传递函数的模称作振幅传递函数，传递函数的幅角称作位相传递函数79空间频率的两种意义空间频率类似于时域函数的时间频率，时间倒数称作频率，长度倒数称作空间频率，即在单位长度内周期函数变化的周数（单位为：周/mm，线对/mm，L/mm，等 ）信息光学中有两种空间频率，一种是对二维图象进行频谱分析得到的图象频谱对应的空间频率，这是一种空间强度分布，单位为：周/mm，线对/mm，L/mm，等，其大小是没有限制的，可以是无穷大另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空间频率，因为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向上空间频

26、率是不变的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为：光波数/mm ）表示出的意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。下章再详细讲这两者区别80不变线性系统的本征函数 如果函数 满足以下条件 （式中 为一复常数）则称为算符所表征的系统的本征函数。这就是说，系统的本征函数是一个特定的输入函数，它相应的输出函数与它之间的差别仅仅是一个复常系数。 前面讲的基元函数复指数函数就是不变线性系统的本征函数 即工程光学中已经说明光波可以用复指数函数表示，光学系统传播光波的数学模型，就是这样一个用复指数函数表示的光输入变为复指数函数表

27、示的光输出的不变线性系统81非相干成像系统的本征函数（1）下面再讨论其脉冲响应是实函数的一类特殊的空间不变线性系统， 它把一个实值输入变换为一个实值输出。这种系统也是一种常见的线性系统，如一般的非相干成像系统。 实函数的傅里叶变换是厄米型函数，即其传递函数有 由于 因而由此可见，这种系统振幅传递函数是偶函数，位相传递函数是奇函数 82非相干成像系统的本征函数（2）余弦函数或正弦函数是这类系统的本征函数 ，输入函数为余弦函数 对应的频谱为该不变线性系统输出函数频谱则为 系统输出函数相应为 83非相干成像系统的本征函数（3）因而有： 这表明，对于脉冲响应是实函数的空间不变线性系统，余弦输入将产生同

28、频率的余弦输出。同时产生与频率有关的振幅衰减和相位移动，其大小决定于传递函数的模和幅角。非相干光学成象系统的脉冲响应是实函数，对这一类空间不变线性系统的分析是建立光学传递函数理论的基础。84不变线性系统图解法（1） 给定一个不变线性系统，输入函数是有限延伸的三角波对下列传递函数用图解法确定系统的输出。（1）（2）计算计算方法，首先求出输入函数的频谱，再用图解找出输出函数的频谱，最后用反变换计算出系统的输出。85不变线性系统图解法（2）输入函数的频谱为86不变线性系统图解法（3）输入函数 的频谱分以下几个步骤来完成：1、画出 、 和2、画出卷积3、得到乘积 画出传递函数 画出输出函数版的频谱（近

29、似）通过简单计算把剩下来的几个SINC函数的反变换化简，最后画出输出函数图象87级联系统 下图表示的是两个级联在一起的空间不变线性系统，前一系统的输出恰是后一系统的输入88两个系统级联的传递函数对于总的系统 和 分别是其输入和输出，因为 前式代入后式，并利用卷积的结合律，有总的脉冲响应为总的传递函数为 89n个空间不变线性系统的级联n个空间不变线性系统级联的情况，总的等效系统的脉冲响应和传递函数分别为 用模和幅角表示传递函数时还可以进一步得到振幅传递函数和位相传递函数的如下关系级联系统总的传递函数满足相乘律，简单地是各子系统传递函数的乘积，这为我们分析复杂系统提供了很大的方便。复杂光学系统或者

30、说光学链就是这种情况。 90课堂练习给定一个不变线性系统，输入函数是有限延伸的三角波对下列传递函数，用图解法确定系统输入函数的频谱，传递函数、输出函数的频谱，以及系统的输出的输出。91练习1、求下列傅里叶变换式或广义傅里叶变换式（1）（2）2、已知函数 而且 。计算（1）（2）以及教科书P22习题1.1，1.3，1.492抽样定理空间-带宽积93抽样定理的由来和意义实际的宏观物理过程都是连续变化的，物理量的空间分布也是连续变化的。 在今天的数字时代，连续变化的物理量要用它的一些离散分布的采样值来表示，而且这些采样值的表达方式也是离散的 这些离散的数字表示的物理量的含义或者说包含的信息量与原先的

31、连续变化的物理量是否相同？ 是否可以由这些抽样值准确恢复一个连续的原函数？ 本书用的是惠特克香农（Whittaker-Shannon）抽样定理的二维形式 94 函数的抽样 最简单的抽样方法是用二维梳状函数与被抽样的函数相乘 如果被抽样的函数为 ，抽样函数可表示为 梳状函数是 函数的集合，它与任何函数的乘积就是无数分布在平面 上在 ， 两方向上间距为 和 的 函数 与该函数的乘积任何函数与 函数相乘的结果仍然是 函数，只是 函数的“大小”要被该函数在 函数位置上的函数值所调制。换句话说，每个 函数下的体积正比于该点函数的数值 95抽样函数96抽样函数的频谱 利用卷积定理和梳状函数的傅里叶变换，可

32、计算抽样函数的频谱 97抽样函数的原函数的复原图98奈奎斯特（Nyquist）抽样间隔 假如函数 是限带函数，即它的频谱仅在频率平面上一个有限区域内不为零 若包围该区域的最小矩形在 和 方向上的宽度分别为 和 欲使图中周期性复现的函数频谱不会相互混叠，必须使 或者说抽样间隔必须满足 式中表示的两方向上的最大抽样间距和通常称作奈奎斯特（Nyquist）抽样间隔 99原函数频谱的复原 要复原原函数首先要恢复其频谱 在满足奈奎斯特抽样间隔的情况下，只要用宽度 和 ,位于原点的矩形函数去乘抽样函数的频谱就可得到原来函数的频谱。在频率域进行的这种操作去掉了部分频谱成份，常常称作“滤波” 用频域中宽度 和

33、 的位于原点的矩形函数为 滤波过程可写作 100原函数的复原(1)做反变换就可直接得到原函数根据卷积定理，在空间域得到对上式左边两个因子分别进行化简有 结果得到无数 函数与SINC函数的卷积和101原函数的复原(2)最后卷积的结果,原函数为若取最大允许的抽样间隔，即 ，并且 ，则可见用SINC函数做为插值函数可以准确恢复原函数(当然要满足必要的条件) 102抽样定理的意义抽样定理公式就是由抽样点函数值计算在抽样点之间所不知道的非抽样点函数值，在数学上就是插值公式抽样定理的重要意义在于它表明，准确的插值是存在的。也就是说，由插值准确恢复原函数可以在一定条件下实现一个连续的限带函数可以由其离散的抽

34、样序列代替，而不丢失任何信息因此抽样定理是数字化社会的基础，其重要意义怎么讲也不过分 103抽样定理证明图解（1）104抽样定理证明图解（2）105空间带宽积 若限带函数 在频域中 , 以外恒为零，根据抽样定理，函数在空域中的范围内抽样数至少为 式中 表示函数在空域覆盖的面积, 表示函数在频域中覆盖的面积。在该区域的函数可由数目为 的抽样值来近似表示。问题：为什么是近似？抽样定理不是准确的吗？ 空间带宽积 就定义为函数在空域和频域中所占有的面积之积： 106空间带宽积的意义空间带宽积描述空间信号（如图象，场分布）的信息量，也可用来描述成象系统、光信息处理系统的信息容量，即传递与处理信息的能力。

35、空间带宽积决定了图象最低必须分辨的象素数，如数码相机的技术指标空间带宽积表达图象的自由度或自由参数数 图象是实函数，每一个抽样值为一个实数，自由度为当图象是复函数，每一个抽样值为一个复数，要由两个实数表示。自由度增大一倍， 107二维不变线性系统例题若二维不变线性系统的输入是“线脉冲” ，系统对线脉冲的输出响应称为线响应 。如果系统的传递函数为 ，求证：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿 轴的截面分布 。 108二维不变线性系统例题解（1）证明：线脉冲实质上也是二维的函数，只是沿 方向函数值不变，是常数1。系统对线脉冲的输出响应，即线响应也是二维的函数，可表示为109例题解二维不变线性系

36、统（2）线响应的一维傅里叶变换则为这就是系统传递函数沿 轴的截面分布证毕。110例题解二维不变线性系统（3）从这一题中我们还要引伸出一个重要的概念，即二维传递函数测量可以通过一维线响应，即线扩散函数来测量和计算。因为两维的测量在过去没有图像传感器时是相当困难的，而转换成一维信号就可以用全部光能积分随时间变化的线响应来实现了。111线响应函数和传递函数的关系112抽样定理例题（1.8）如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间 ， 之外恒为零，系统输入为非限带函数 ，输出为 。证明，存在一个由脉冲的方形阵列构成的抽样函数 ，它作为等效输入，可产生相同的输出 ，并请确定 。 这一个习题也有重

37、要的实际意义，因为通常的光学成象系统都是空间不变线性系统的限带低通成象系统。无论输入函数是否是空间限带函数，其输出总是限带函数。那么在对非限带函数的图象进行成象操作时，是否可以用原图象的抽样来替代就是一个具有实际意义的问题。抽样定理并没有给出回答，本题的结果却给出了肯定的答案，这使我们可以在输入图象是对非限带函数空间图象也可以进行抽样操作，不影响成象的结果。 113抽样定理例题（ 1.8 ）解法一傅里叶光学（基本概念和习题）一书中给出了一种解法，有兴趣的同学可以去阅读，这里给出另一种思路。原来在出版前给出两种解法，被编辑删掉的就是现在讲的这一种 本题给出了一个传递函数为限带函数 的系统，需要证

38、明两个不同的输入 和 具有相等的输出 和 ，即要证明这里提供一种逆向的思维，我们可以从与输入函数对应的输出函数的频谱中制造出一个具有相同输出频谱的输入限带函数，这并不困难，进一步再对这样一个函数进行抽样就一定能够得到需要的等效输入。 114抽样定理例题（ 1.8 ）解设系统的传递函数为 ，因为它在频率域的区间 ， 之外恒为零，故有 输入函数的空间频谱为 ，输出函数的空间频谱则可化为新的函数的空间频谱可以定义为115抽样定理例题（ 1.8 ）解续1新的函数显然是限带输入函数，且它通过同样系统会得到同样的输出，这样一个限带输入函数是可以满足抽样定理的，因此可以抽样得到需要的可作为等效输入的由脉冲的

39、方形阵列构成的抽样函数但是上面只得出了其频谱，我们可以用反变换的方法得到原函数116抽样定理例题（ 1.8 ）解续2对上式用二维梳状函数进行抽样就得到本题要求的点阵等效输入函数：117习题 教科书P22习题1.2，1.5，1.6118119第二章 标量衍射的角谱理论光波的数学描述，复振幅分布的角谱及角谱的传播120标量衍射理论光的传播是光学研究的基本问题之一,也是光能够记录、存储、处理和传送信息的基础几何光学的基本定律光沿直线传播，是光的波动理论的近似 衍射，按照索末菲定义是“不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的任何偏离” 精确解决光的衍射问题，必须考虑光波的矢量性 光的标量衍射理论的条件

40、 （1）衍射孔径比波长大很多， （2）观察点离衍射孔不太靠近；经典的标量衍射理论最初是1678年惠更斯提出的，1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理，1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式 121平面波角谱理论 在惠更斯-菲涅耳-基尔霍夫衍射理论中，球面波是传播过程的基元函数本章将采用平面波作为传播过程的基元函数，用平面波角谱理论导出同样的衍射公式光的传播过程作为线性系统用频谱（角谱）方法在频域中分析，与用脉冲响应（点光源传播）方法在空域中分析是等价的 用角谱方法讨论菲涅耳衍射和夫琅和费衍射，可以用傅里叶变换表示夫琅和费衍射，用分

41、数傅里叶变换来表示菲涅耳衍射，从而可以建立标量衍射的统一的数学模型 122光波的数学描述（1）标量波动方程作为空间和时间函数的电场或磁场分量 ，在任一空间无源点上满足标量波动方程式中 是拉普拉斯算符，电磁场在介质中传播速度而 、 为介质的介电系数和磁导率（也可以是随空间、时间变化的）。 满足该方程的基本解的线性组合都是方程的解。可以证明球面波和平面波都是波动方程的基本解。任何复杂的波都可以用球面波和平面波的线性组合表示，也都是满足波动方程的解。 123光振动的复振幅定义 取最简单的简谐振动作为波动方程的特解，单色光场中某点P上在时刻t的光振动可表示成 用复指数函数表示光振动是方便的，上式变成将

42、花括号内的由空间位置确定的部分合在一起定义成一个物理量称为单色光场中点的复振幅，它包含了点光振动的振幅和初位相，仅仅是位置坐标的复值函数，与时间无关光强可用复振幅表示成 124亥姆霍兹方程 在仅涉及满足叠加原理的线性运算（加、减、积分和微分等）时，可用复指数函数替代表示光振动的余弦函数形式。在运算的任何一个阶段对复指数函数取实部，与直接用余弦函数进行运算在同一个阶段得到的结果是相同的 故可将复振幅波动方程化简为 其中 称为波数，表示单位长度上产生的相位变化，定义为 化简后的波动方程称为亥姆霍兹方程，是不含时间的偏微分方程。在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足这个不含时间的波动方程。

43、这也就意味着，可以用不含时间变量的复振幅分布完善地描述单色光波场 125球面波的复振幅表示 从点光源发出的光波，在各向同性介质中传播时形成球形的波面，称为球面波。一个复杂的光源常常可以看做是许多点光源的集合,它所发出的光波就是球面波的叠加这些点光源互不相干时是光强相加，相干时则是复振幅相加。球面波的等位相面是一组同心球面，每个点上的振幅与该点到球心的距离成反比当直角坐标的原点与球面波中心重合时，单色发散球面波在光场中任何一点产生的复振幅可写作 为离开点光源单位距离处的振幅 对于会聚球面波球面波方程指数上加负号 126球面波在平面上的等位相线 127球面波在平面上的复振幅分布 当点光源或会聚点位

44、于空间任意一点 时，有 考察与其相距 的平面 上的光场分布。 可写为如果利用二项式展开，并略去高阶项，得到 将近似式代入发散球面波表达式，得到在平面上平面波复振幅分布为 128球面波的位相因子和等位相线 发散球面波在平面上产生的复振幅分布的位相因子中包括两项 常量位相因子 与传播距离有关随平面坐标变化的第二项称作球面波的（二次）位相因子，当平面上复振幅分布的表达式中包含有下述因子，就可以认为距离该平面处有一个点光源发出的球面波经过这个平面。位相相同的点的轨迹，即等位相线方程为同心圆族 129平面波在 面上的等位相线 130平面波的复振幅表示 在任意时刻、与波矢量相垂直的平面上振幅和位相为常数的

45、光波称为平面波如波矢量 表示光波的传播方向，其大小为 ，方向余弦为 ，则平面波传播到空间某点的复振幅的一般表达式为其中 为常量振幅。由于方向余弦满足于是复振幅可写为 其中131平面波的位相因子和等位相线和球面波表达式类似，平面波复振幅可分成与坐标有关和与坐标无关的两部分 与坐标 有关的 是表征平面波特点的线性位相因子，当平面上复振幅分布的表达式中包含有这种因子，就可以认为有一个方向余弦为 的平面波经过这个平面平面波等位相线方程为 因此，等位相线是一些平行直线。前面图中用虚线表示出相位值相差 的一组波面与平面 的交线，即等位相线；它们是一组平行等距的斜直线 132平面波的空间频率 ， ， 方向上

46、平面波的空间频率分别定义为从而平面波的复振幅的一般表达式变为 空间频率的倒数即为振荡周期（X，Y，Z）空间频率表示在 、 、 轴上单位距离内的复振幅周期变化的次数。这就是平面波空间频率的物理意义空间频率与平面波的传播方向有关，波矢量与轴的夹角越大，则在轴上的投影就越大，也就是在该方向上的空间频率就越小，空间频率的最大值是波长的倒数 133空间频率的物理意义 传播矢量 位于 平面的平面波在 平面上的空间频率 。 134平面波角谱例题 已知一平面波的复振幅表达式为 试计算其波长以及沿各方向的空间频率并给出在 的垂直于 轴的平面上的复振幅分布(空间频率单位为一对线每微米)。解：由于空间频率单位为一对

47、线每微米，因而系数圆频率 的单位是 又因为 所以系数圆频率 的单位又可表示为 ，对应的空间频率 135平面波角谱例题（续） 在 的垂直于 轴的平面上的复振幅分布为式中 的单位为毫米 136平面波的复振幅的传播三个空间频率不能相互独立,由于 所以平面波的复振幅即平面波方程可以写为 其中该式表达了在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 平面上的复振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决了最基础的平面波衍射问题 137 复振幅分布的角谱对任一平面上的光场复振幅分布作空间坐标的二维傅里叶变换，可求得其频谱分布 设有一单色光波沿 方向投射到

48、 平面上，在 处光场分布为 其频谱分布可由二维傅里叶变换计算得到为 由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量可看作是沿不同方向传播的平面波，因此称空间频谱为平面波谱即复振幅分布的角谱 同时有逆变换为 上式说明，单色光波在某一平面上的光场分别可以看作是不同传播方向的平面波的叠加，在叠加时各平面波有自己的振幅和位相，它们的值分别为角谱的模和幅角。 138平面波角谱的传播 复振幅分布的空间频谱以平面波传播方向的角度为宗量表示为而 平面上的光场分布 和 平面上的光场分布 可以分别记作研究角谱的传播就是要找到上面两个角谱，即 平面上的角谱和 平面上的角谱之间的关系 139复振幅分布及其角谱的传播 140从亥

49、姆霍兹方程讨论传播规律 将 表达式代入亥姆霍兹方程,改变积分与微分的顺序，可以推导出，二阶线性微分方程 该二阶常微分方程的一个基本解是 平面上的角谱为 因而有最后得到两个平行平面之间角谱传播的规律为 141两平行平面间角谱传播规律的意义 在由已知平面上的光场分布 得到其角谱可以利用两个平行平面之间角谱传播的规律求出它传播到 平面上的角谱再通过傅立叶反变换求出其光场分布 。 实际上这就是自由空间衍射的数理模型，即光传播的角谱分析方法还需要说明一点的是，两个平行平面之间角谱传播的规律也可以由平面波的复振幅传播规律直接导出，这从前面的例题已经可以看出。 142传导波与倏逝波 当传播方向余弦此 满足

50、时 经过距离 的传播只是改变了各个角谱分量的相对位相，引入了一个位相延迟因子 这是由于每个平面波分量在不同方向上传播，它们到达给定的点所经过的距离不同 对于 的情况，角谱传播公式中的平方根是虚数，得到 其中是个正数，因此说明一切满足 的波动分量，将随 的增大而按指数 衰减。在几个波长的距离内很快衰减到零。称为倏逝波 。 143自由空间传播的传递函数 在满足标量衍射理论近似条件情况下，倏逝波总是忽略不计的，因而传递函数可表示为进而可以表示为 因而，可以把光波的传播现象看作一个空间滤波器。它具有有限的带宽（见下图）。在频率平面上的半径为的圆形区域内，传递函数的模为1，对各频率分量的振幅没有影响 对

51、空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率大于的信息，在单色光照明下不能沿方向向前传递。光在自由空间传播时，携带信息的能力是有限的 144自由空间传播的有限空间带宽 145衍射孔径对角谱的作用 如图所示，在平面 处有一无穷大不透明屏，其上开一孔，该孔的透射函数为：146衍射孔径对角谱的作用（续）沿方向传播的光波入射到该孔径上的复振幅为 ，则紧靠孔径后的平面上的出射光场的复振幅 为：对上式两边做傅立叶变换，用角谱表示为由于卷积运算具有展宽带宽的性质，因此，引入使入射光波在空间上受限制的衍射孔径的效应就是展宽了光波的角谱角谱的展宽就是在出射波中除了包含与入射光波相同方向传播的分量之外，还增加了一

52、些与入射光波传播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。 147习题 教科书P47习题2.1(与Y轴夹角为60改为45)，2.2，2.3标量衍射的角谱理论用平面波角谱理论推导菲涅尔衍射公式夫琅和费衍射与傅里叶变换 148衍射惠更斯菲涅尔基尔霍夫标量理论 衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为的复振幅能否用光场中其它各点的复振幅表示出来显然，这是一个根据边界条件求解波动方程的问题。惠更斯菲涅尔提出的子波干涉原理与基尔霍夫求解波动方程所得的结果十分一致，都可以表示成类似的衍射公式149点光源照明平面屏幕的衍射 衍射公式倾斜因子复常数 150菲涅尔衍射计算公式 衍射公式可以

53、适用于更普遍的任意单色光照明的情况，这是因为任意复杂的光波都可以分解为简单球面波的线性组合，把它们的贡献叠加起来 根据基尔霍夫对平面屏幕假定的边界条件，孔径以外阴影区内，因此积分限可以扩展到无穷 在傍轴近似下，并利用二项式近似 上述近似均代入得到菲涅尔衍射计算公式 151平面波角谱的衍射理论 本书的重点是从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题前面已经讨论过频域的角谱传播问题，在由已知平面上的光场分布 可通过傅里叶变换得到其角谱 其后，可以求出它传播到平面 上的角谱最后，通过傅里叶反变换可以进而得到用已知的 表示的衍射光场分布，从而得到空域中的衍射公式152平面波角谱衍射理论的基本公式 作

54、傅里叶反变换有代入在衍射平面上的角谱的表达式得到上式的四重积分是类似基尔霍夫公式的一个精确的表达式，尽管它不含三角函数，但是使用起来仍很不方便。下面还是要按照菲涅耳的办法进行化简，首先对不同传播距离衍射的情况做个直观的说明 153按传播距离划分衍射区 154用角谱衍射理论导菲涅耳公式（1） 假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度，并且只对轴附近的一个小区域内进行观察，则有 因而用二项式展开，只保留一次项，略去高次项，则 这样四重积分式变为。155用角谱衍射理论推导菲涅耳公式（2）利用高斯函数的傅里叶变换和傅里叶变换的相似性定理有 因而该式与用惠更斯菲涅尔基尔霍夫标量理论导出的菲涅耳衍射

55、公式完全一样，更常用的菲涅耳衍射公式如下156菲涅耳衍射成立的条件 菲涅耳衍射成立的条件为因而所以观察距离满足其中孔径的最大尺寸和观察区的最大区域分别为 这种近似称为菲涅耳近似或近轴近似 ，此时传递函数可表示为 157夫琅和费衍射与傅里叶变换 夫琅和费衍射: 在菲涅耳衍射公式中，对衍射孔采取更强的限制条件，即取则平方位相因子在整个孔径上近似为1，于是 这就是夫琅和费衍射公式。在夫琅和费近似条件下，观察面上的场分布等于衍射孔径上场分布的傅里叶变换和一个二次位相因子的乘积对于仅响应光强不响应位相的一般光探测器，夫琅和费衍射和光场的傅里叶变换并没有区别 158夫琅和费衍射举例例一、余弦型振幅光栅夫琅

56、和费衍射的光强分布 余弦型振幅光栅处于一个宽度为 的方孔内，光栅空间频率为 ，透过率调制度为 ，其透过率函数图示为： 余弦型光栅振幅透过率函数 159夫琅和费衍射举例（续）余弦型振幅光栅的透过率函数可表示为根据余弦函数及矩形函数的傅里叶变换对和函数及傅里叶变换的性质，可得光栅的频谱为 夫琅和费衍射图的复振幅分布为 160夫琅和费衍射举例（续2）由 函数的分布可知，每个 函数的主瓣的宽度正比于 ，而由上式可见，这三个函数主瓣之间的距离为 ，若光栅频率 比 大得多，即光栅的周期 比光栅的尺寸 小得多，那么三个函数（主瓣）之间不存在交叠，那么平方时不存在交叉项，因而 因而，用平面波照明的光栅后方光能

57、量重新分布，其能量只集中在三个衍射级上 显然傅里叶分析方法比传统的光程差分析方法要简捷得多 161余弦振幅光栅夫琅和费衍射光强分布图 162菲涅耳衍射举例图中向P 点会聚的单色球面波照明孔径 ， P 点位于孔径后面距离为Z的观察平面上，坐标为 。假定观察平面位于菲涅耳衍射区内，试证明，观察平面上的强度分布是以P点为中心的孔径的夫琅和费衍射图样。163菲涅耳衍射举例（续）在孔径平面上建立直角坐标 与 坐标系相平行，则向P点会聚的照明球面波在孔径平面上的确入射光场可以记做 指数上取二项式近似，分母上只对强度有影响，只须取一阶近似 向P点会聚的照明球面波在孔径平面上的确入射光场可以简化为164菲涅耳

58、衍射举例（续2）设孔径的振幅透过率函数为 ，则在会聚光照明下透过孔径的光场分布为透射光场分布在观察平面上的菲涅耳衍射光场分布可以由菲涅耳衍射公式计算出：165菲涅耳衍射举例（续3）进一步作代数的化简得其强度分布是可见强度分布是以P点为中心的孔径的夫琅和费衍射图样。本题的重要意义在于在任何成象系统中，象都是通过出瞳会聚到象面上才成象的，因此成象面上的衍射斑都是夫琅和费衍射，这是以下研究相干光成象过程及其传递函数的基础166课堂练习 如下图所示的宽度为 的单狭缝，它的左右两半部分之间引入位相差 。采用单位振幅单色平面波垂直照明，求距离为 的观察平面上的夫琅和费衍射的强度分布。试画出沿 方向的截面上

59、的强度分布图。167课堂练习解答左右两半部分之间引入位相差的单狭缝可以表示为两个缝宽一半的单狭缝之和采用单位振幅单色平面波垂直照明时，距离为 的观察平面上的夫琅和费衍射为该狭缝的傅里叶变换 168课堂练习解答（续）在利用常用函数的傅里叶变换表的时候，必须建立观察面坐标与频率坐标之间的关系进而夫琅和费衍射可以表示为 利用傅氏变换的相似性定理和位移定理就可以求出衍射的复振幅分布，进而用复振幅的模平方可以算出夫琅和费衍射的强度分布169课堂练习解答（续2）省掉常系数，夫琅和费衍射的强度分布为170习题 教科书P47习题2.4，2.5，2.6171菲涅耳衍射和分数傅里叶变换 用分数傅里叶变换表示菲涅尔

60、衍射公式是近代光学的一个最新发展172分数傅里叶变换 衍射孔径上场分布的夫琅和费衍射与傅里叶变换的密切关系是否在菲涅耳衍射与傅里叶变换也有某种直接联系？分数傅里叶变换理论提供了这种可能。分数傅里叶变换的初步概念是1937年，Condon就提出的，Bargmann在1961年进一步发展了这些概念。Namias在1980年建立了比较完整的分数傅里叶变换理论九十年代初分数傅里叶变换被引入到光学之中，陆续提出用梯度折射率光波导、透镜系统实现分数傅里叶变换及阶数连续的分数傅里叶变换。光学分数傅里叶变换作为数学和光学的一个交叉领域，变得十分活跃，包括菲涅耳衍射和分数傅里叶变换的对应关系的研究 173分数傅