六年级奥数任意四边形、梯形与相似模型（二）教师版

1、PAGE |初一数学基础-提高-精英学生版| 第1讲 第页 PAGE 页码 15 / NUMPAGES 总页数 15任意四边形、梯形与相似模型例题精讲六年级奥数任意四边形、梯形与相似模型二教师版梯形中比例关系“梯形蝴蝶定理”：；的对应份数为梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道,通过构造模型,直接应用结论,往往在题目中有事半功倍的效果具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明如图,求梯形的面积【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答设为份,为份,根据梯形蝴蝶定理,所以；又因为,所以；那么,所以梯形面积,或者根据梯形蝴蝶定理,【答案】9如下图,梯

2、形的平行于,对角线,交于,已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米,那么梯形的面积是_平方厘米 【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】填空根据梯形蝴蝶定理,可得,再根据梯形蝴蝶定理,所以平方厘米那么梯形的面积为平方厘米【答案】144如图所示,在梯形ABCD中,ABCD,对角线AC,BD相交于点O。已知AB=5,CD=3,且梯形ABCD的面积为4,求三角形OAB的面积。【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答【关键词】华杯赛,决赛,15分,第3大题第,1题根据题意,AB=5,CD=3,CD:AB=3:5,则根据蝴蝶模型,令=25份,则梯形ABCD共有：9+15+25+15=64份。所以1份为

3、：464=,则三角形OAB的面积为25=。【答案】梯形的对角线与交于点,已知梯形上底为2,且三角形的面积等于三角形面积的,求三角形与三角形的面积之比 【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答根据梯形蝴蝶定理,可以求出,再根据梯形蝴蝶定理,通过利用已有几何模型,我们轻松解决了这个问题,而没有像以前一样,为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设,所以,请同学们一定要牢记几何模型的结论【答案】如下图,四边形中,对角线和交于点,已知,并且,那么的长是多少？【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答【关键词】华杯赛根据蝴蝶定理,所以,又,所以【答案】梯形的下底是上底的倍,三角形的面积是,问三角形的

4、面积是多少？【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答根据梯形蝴蝶定理,所以【答案】4【巩固】如图,梯形中,、的面积分别为和,求梯形的面积【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答根据梯形蝴蝶定理,所以, 【答案】7.5在梯形ABCD中,上底长5厘米,下底长10厘米,平方厘米,则梯形ABCD的面积是 平方厘米。【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】华杯赛,决赛,第4题,10分因为ADBC,故 又 ,故 在与中,因其高相等,且BO:DO=2:1, 故 :=2:1而 ,故 。同理,在与中,因CO:AO=2:1,且在相应边上的高相等,故 :=2:1即 .在中,因AO:CO=1:2

5、,且其在相应边上的高相等,故: =1:2。即综上,=10+20+10+5=45【答案】45如下图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形的面积是,三角形的面积是,求四边形的面积【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答如图,连结EF,显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形,于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积,所以四边形EGFH的面积是【答案】34【巩固】如图,长方形中,若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2的面积为36,则三角形1的面积为_ 【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空【关键词】人大附

6、中,入学测试题做辅助线如下：利用梯形模型,这样发现四边形2分成左右两边,其面积正好等于三角形1和三角形3,所以1的面积就是,3的面积就是【答案】20如图,正方形面积为平方厘米,是边上的中点求图中阴影部分的面积【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答因为是边上的中点,所以,根据梯形蝴蝶定理可以知道,设份,则 份,所以正方形的面积为份,份,所以,所以平方厘米【答案】1【巩固】在下图的正方形中,是边的中点,与相交于点,三角形的面积为1平方厘米,那么正方形面积是 平方厘米【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空连接,根据题意可知,根据蝴蝶定理得平方厘米,平方厘米,那么平方厘米【答案】12如图面

7、积为平方厘米的正方形中,是边上的三等分点,求阴影部分的面积【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答因为是边上的三等分点,所以,设份,根据梯形蝴蝶定理可以知道份,份,份,因此正方形的面积为份,所以,所以平方厘米【答案】3如图,在长方形中,厘米,厘米,求阴影部分的面积【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答方法一：如图,连接,将阴影部分的面积分为两个部分,其中三角形的面积为平方厘米由于,根据梯形蝴蝶定理,所以,而平方厘米,所以平方厘米,阴影部分的面积为平方厘米方法二：如图,连接,由于,设份,根据梯形蝴蝶定理, 份,份,份,因此份,份,而平方厘米,所以平方厘米【答案】3.5已知是平行四边形,

8、三角形的面积为6平方厘米则阴影部分的面积是 平方厘米【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯,六年级连接由于是平行四边形,所以,根据梯形蝴蝶定理,所以平方厘米,平方厘米,又平方厘米,阴影部分面积为平方厘米【答案】21右图中是梯形,是平行四边形,已知三角形面积如图所示单位：平方厘米,阴影部分的面积是 平方厘米 【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空连接由于与是平行的,所以也是梯形,那么根据蝴蝶定理,故,所以平方厘米【答案】6右图中是梯形,是平行四边形,已知三角形面积如图所示单位：平方厘米,阴影部分的面积是 平方厘米【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空【关键词】

9、三帆中学连接由于与是平行的,所以也是梯形,那么根据蝴蝶定理,故,所以平方厘米另解：在平行四边形中,平方厘米,所以平方厘米,根据蝴蝶定理,阴影部分的面积为平方厘米【答案】4E是平行四边形ABCD的CD边上的一点,BD、AE相交于点F,已知三角形AFD的面积是6,三角形DEF的面积是4,求四边形BCEF的面积为多少？【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】希望杯,5年级,复赛,第15题如图,在平行线中的蝴蝶中,蝴蝶翅膀相等都为6,而顶上的三角形为664=9,“？”处的三角形面积为9+6-6-4=5从而所求四边形面积为5=6=11.【答案】11如图所示,、将长方形分成4块,的面积是5平

10、方厘米,的面积是10平方厘米问：四边形的面积是多少平方厘米？ 【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答连接,根据梯形模型,可知三角形的面积和三角形的面积相等,即其面积也是10平方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形的面积为平方厘米,所以长方形的面积为平方厘米四边形的面积为平方厘米【答案】25如图所示,、将长方形分成4块,的面积是4平方厘米,的面积是6平方厘米问：四边形的面积是多少平方厘米？ 【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 法1连接,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理,可知三角形的面积和三角形的面积相等,即其面积也是6平方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形的面积为平方厘米,所以长方形的面积为平方

11、厘米四边形的面积为平方厘米法2由题意可知,根据相似三角形性质,所以三角形的面积为：平方厘米则三角形面积为15平方厘米,长方形面积为平方厘米四边形的面积为平方厘米【答案】11如图,长方形被、分成四块,已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形的面积为_平方厘米 【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯,高年级组,初赛,4题连接、四边形为梯形,所以,又根据蝴蝶定理,所以,所以平方厘米,平方厘米那么长方形的面积为平方厘米,四边形的面积为平方厘米【答案】9正方形的边长为,是的中点如图。四边形的面积为 。【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯,

12、4年级,决赛,第4题,8分连结,即,所以。【答案】15如图,长方形中,是直角三角形且面积为54,的长是16,的长是9那么四边形的面积是 【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯,初赛解法一：连接,依题意,所以,则又因为,所以,得,所以 解法二：由于,所以,而,根据蝴蝶定理,所以,所以【答案】如图所示,长方形内的阴影部分的面积之和为70,AB=8,AD=15四边形的面积为_【考点】梯形模型 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯,六年级,初赛,第5题根据容斥关系：四边形的面积=三角形AFC+三角形DBF-白色部分的面积三角形AFC+三角形DBF=长方形面积的一半即60,白

13、色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积,即120-70=50所以四边形的面积=60-50=10【答案】10如图5所示,矩形ABCD的面积是24平方厘米,、三角形ADM与三角形BCN的面积之和是7.8平方厘米,则四边形PMON的面积是 平方厘米。【考点】梯形模型 【难度】4星 【题型】填空【关键词】华杯赛,初赛,第9题1.8【答案】1.8如图,是等腰直角三角形,是正方形,线段与相交于点已知正方形的面积48,则的面积是多少？【考点】梯形模型 【难度】4星 【题型】解答由于是正方形,所以与平行,那么四边形是梯形在梯形中,和的面积是相等的而,所以的面积是面积的,那么的面积也是面积的由于是等腰直角

14、三角形,如果过作的垂线,为垂足,那么是的中点,而且,可见和的面积都等于正方形面积的一半,所以的面积与正方形的面积相等,为48那么的面积为【答案】12如图所示,是梯形,面积是,的面积是9,的面积是27那么阴影面积是多少？【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答根据梯形蝴蝶定理,可以得到,而等积变换,所以可得,并且,而,所以阴影的面积是：【答案】如图,正六边形面积为,那么阴影部分面积为多少？【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答连接阴影图形的长对角线,此时六边形被平分为两半,根据六边形的特殊性质,和梯形蝴蝶定理把六边形分为十八份,阴影部分占了其中八份,所以阴影部分的面积【答案】如图,已知

15、是中点,是的中点,是的中点三角形由这6部分组成,其中比多6平方厘米那么三角形的面积是多少平方厘米？【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答因为是中点,为中点,有且平行于,则四边形为梯形在梯形中有=,=,：=： =4又已知-=6,所以=,=,所以=16,而=,所以=4,梯形的面积为、四块图形的面积和,为有与的面积比为平方与平方的比,即为1:4所以面积为梯形面积的=,即为因为是中点,所以与的面积相等,而的面积为、的面积和,即为平方厘米三角形的面积为48平方厘米【答案】48如下图,在梯形中,与平行,且,点、分别是和的中点,已知阴影四边形的面积是54平方厘米,则梯形的面积是 平方厘米【考点】梯形模

16、型 【难度】4星 【题型】填空连接,可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起,应用梯形蝴蝶定理,可以确定其中各个小三角形之间的比例关系,应用比例即可求出梯形面积设梯形的上底为,总面积为则下底为,所以,由于梯形和梯形的高相等,所以,故,根据梯形蝴蝶定理,梯形内各三角形的面积之比为,所以；同理可得,所以,由于平方厘米,所以平方厘米【答案】210如图,在一个边长为6的正方形中,放入一个边长为2的正方形,保持与原正方形的边平行,现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点,形成了图中的阴影图形,那么阴影部分的面积为 【考点】梯形模型 【难度】4星 【题型】填空本题中小正方形的位置不确定,所以可以通

17、过取特殊值的方法来快速求解,也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况解法一：取特殊值,使得两个正方形的中心相重合,如右图所示,图中四个空白三角形的高均为,因此空白处的总面积为,阴影部分的面积为解法二：连接两个正方形的对应顶点,可以得到四个梯形,这四个梯形的上底都为2,下底都为6,上底、下底之比为,根据梯形蝴蝶定理,这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为,所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的,阴影部分的面积占该梯形面积的,所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的,那么阴影部分的面积为【答案】14如图,在正方形中,、分别在与上,且,连接、,相交于点,过作、得到两个正方形和,设正方形的面积为,正方形的面积为,则_ 【考点】梯形模型 【难度】4星 【题型】填空连接、设正方形边长为3,则,所以,因为,所以由梯形蝴蝶定理,得,所以,因为,所以,所以,由于底边上的高即为正方形的边长,所以,所以,则【答案】下图中,四边形都是边长为1的正方形,、分别是,的中点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数,那么,的值等于 【考点】梯形模型 【难度】5星 【题型】填空【关键词】迎春杯,高年级组,决赛左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形,不方便直接求面积,观察发现两个图中的空白部