2022年人教版高中数学必修一知识点与重难点

1、人教版高中数学必修一 各章节学问点与重难点第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示【学问要点】1、集合的含义一般地,我们把争论对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合；2、集合的中元素的三个特性（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性2、“ 属于” 的概念我们通常用大写的拉丁字母 A,B,C, 表示集合,用小写拉丁字母 a,b,c, 表示元素如：假如 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 a A,假如 a 不属于集合 A 记作 a A 3、常用数集及其记法非负整数集（即自然数集）记作 记作 ：Q；实数集记作 ：R 4、集合的表示法：N

2、；正整数集记作 ：N* 或 N+ ；整数集记作 ：Z；有理数集（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上；（2）描述法：用集合所含元素的公共特点表示集合的方法称为描述法；语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式（3）图示法（ Venn 图）【重点】 集合的基本概念和表示方法x-32 的解集是 x R| x-32 或x| x-32 【难点】 运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简洁的集合1 / 21 1.1.2 集合间的基本关系【学问要点】1、“ 包含” 关系子集一般地,对于两个集合A 与 B,假如集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说

3、这两个集合有包含关系,称集合A 为集合 B 的子集,记作AB 2、“ 相等” 关系假如集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素, 同时 ,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,即： A=B A B 且 B A3、真子集假如 AB,且 AB 那就说集合A 是集合 B 的真子集,记作AB或 BA 4、空集不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集 . 【重点】 子集与空集的概念；用 Venn 图表达集合间的关系【难点】 弄清元素与子集、属于与包含之间的区分2 / 21 1.1.3 集合的基本运算【学问要点

4、】1、交集的定义一般地,由全部属于A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作A B读作“A交 B” ,即 AB=x| x A,且 xB 2、并集的定义一般地,由全部属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的并集；记作：AB 读作“A 并 B”,即 A B=x | x A,或 xB 3、交集与并集的性质AA = A , A = , AB = B A,AA = A ,A = A , A B = B A. 4、全集与补集（1）全集假如集合 U 含有我们所要争论的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集；通常用U 来表示；（2）补集设 U 是一个集合, A 是

5、 U 的一个子集（即 A U）,由 U 中全部不属于 A 的元素组成的集合,叫做 U 中子集 A 的补集（或余集） ；记作：CUA ,即 CSA =x | x U 且 x A （3）性质CUC UA=A ,C UA A= ,C UAA=U ；C UA C UB=C UA B,C UAC UB=C UA B. 【重点】集合的交集、并集、补集的概念【难点】集合的交集、并集、补集的概念与应用3 / 21 1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念【学问要点】1、函数的概念设 A 、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数 f

6、x 和它对应,那么就称 f ：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作： y=fx ,xA其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合 fx| x A 叫做函数的值域【留意】（1）假如只给出解析式y=fx ,而没有指明它的定义域,就函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；（2）函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式【定义域补充】求函数的定义域时列不等式组的主要依据是（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必需大于零 ; （4）指数、对数式的底数必需大于零且不等于 1.

7、 （5）假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的 意义的 x 的值组成的集合 . （6）指数为零底不行以等于零.那么,它的定义域是使各部分都有（7）实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义 . 留意：求出不等式组的解集即为函数的定义域 . 2、构成函数的三要素 定义域、对应关系和值域【留意】（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系打算的,所以,假如两个函数的定义域和对应关系完全一样,即称这两个函数相等（或为同一函数）；（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样,而与表示自变量和函数值的 字母无关；3、相同函数的判定方法（1）定义域一样

8、；（2）表达式相同两点必需同时具备 【值域补充】（1）函数的值域取决于定义域和对应法就,不论实行什么方法求函数的值域都应先考虑其定 义域 . （2）应熟识把握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂4 / 21 函数值域的基础；4、区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示【重点】 懂得函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数【难点】 符号“y=fx ” 的含义,函数定义域和值域的区间表示5 / 21 1.2.2 函数的表示法【学问要点】1、常用的函数表示法及各自的优点（1）函数图象既可以是连续的曲线,也可以是

9、直线、折线、离散的点等等,留意判定一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于（2）函数的表示法x 轴的直线与曲线最多有一个交点；解析法：必需注明函数的定义域；图象法：描点法作图要留意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观看函数的特点；列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特点【留意】解析法：便于算出函数值；列表法：便于查出函数值；图象法：便于量出函数值2、分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；在不同的范畴里求函数值时必需把自变量 代入相应的表达式；分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达 式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的

10、取值情形留意：（1）分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数；的并集3、复合函数（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域假如 y=fu,u M,u=gx,x A,就 y=fgx=Fx ,x A 称为 f 是 g 的复合函数 . 4、函数图象学问归纳（1）定义在平面直角坐标系中,以函数 y=fx , x A中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 Px,y的集合 C,叫做函数 y=fx,x A 的图象C 上每一点的坐标 x,y均满意函数关系 y=fx ,反过来, 以满意 y=fx 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x,y,均在 C 上 . 即记为 C= Px,y |

11、 y= fx , xA 图象 C一般的是一条光滑的连续曲线 或直线 ,也可能是由与任意平行于 Y 轴的直线最多只有一个交点的如干条曲线或离散点组成 . （2）画法A、描点法依据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以 x,y 为坐标在坐标系内描出相应的点 Px, y ,最终用平滑的曲线将这些点连接起来 . B、图象变换法常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换（）对称变换将 y= fx 在 x 轴下方的图象向上翻得到y= fx 的图象如：书上xP21 例 5 y= fx 和 y= f-x 的图象关于y 轴对称；如yax 与yax1axlog1xy= fx 和 y= -

12、fx 的图象关于x 轴对称；如ylogax 与ylogaa6 / 21 （）平移变换由 fx 得到 fxa 左加右减；由 fx 得到 fxa 上加下减（3）作用A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发觉解题中的错误；5、映射定义 ：一般地,设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f,使对于集合 A中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯独确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射；记作“f：A B”给定一个集合 A 到 B 的映射,假如 aA,b B.且元素 a 和元素 b 对应,那

13、么,我们把元素 b叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象【说明 】函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应（1）集合 A 、B 及对应法就f 是确定的；A 到集合 B 的对应,它与从B 到 A 的对应关系一般是（2）对应法就有“ 方向性”,即强调从集合不同的；（3）对于映射 f： A B 来说,就应满意：（）集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯独的；（）集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象；6、函数的解析式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是

14、要求出它们之间的对应法就,二是要求出函数的定义域 . （2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等A、假如已知函数解析式的构造时,可用待定系数法；B、已知复合函数 fgx 的表达式时,可用换元法,这时要留意元的取值范畴；当已知表达式较简洁时,也可用凑配法；C、如已知抽象函数表达式,就常用解方程组消参的方法求出 fx 【重点】 函数的三种表示法,分段函数的概念,映射的概念【难点】 依据不同的需要挑选恰当的方法表示函数,分段函数的表示及其图象,映射的概念1.3 函数的基本性质1.3.1 函数单调性与最大（小）值【学问要点】1、函数的单调性定义设函数 y=fx 的定义域为I ,假如

15、对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1,x2,当 x1x 2 时,都有 fx 1fx 2,那么就说 fx 在区间 D 上是 增函数 ；区间 D 称为 y=fx 的单调增区间；7 / 21 假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1x2 时,都有 fx 1fx 2,那么就说 fx在这个区间上是 减函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 . 【留意】（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质；（2）必需是对于区间D 内的 任意 两个自变量x1, x2；当 x 1x 2 时,总有 fx 1fx 2 （或 fx 1fx 2）；2、图象的

16、特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=fx 在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的 . 3、函数单调区间与单调性的判定方法A 定义法任取 x 1,x 2 D,且 x 1 0 （C 为常数）时,yf x 与yC f x 的单调性相同；当 C 0（C 为常数）时,yf x 与yC f x 的单调性相反；函数f x 、g x 都是增（减）函数,就f x g x 仍是增（减）函数；如f x 0,g x 0且f x 与g x 都是增（减）函数,就f x g x 也是增（减）函数；如f x 0,g x 0且f

17、x 与g x 都是增（减）函数,就f x g x 也是减（增）函数；设f x 0,如f x 在定义域上是增函数,就n f x 、k f x k0、fn x n11增函数,而 f x 是减函数 . 5、函数的最大（小）值定义（）一般地,设函数y=fx 的定义域为I ,假如存在实数M 满意：（ 1）对于任意的xI ,都有 fx M ；（ 2）存在 x 0I,使得 fx 0 = M 8 / 21 那么,称 M 是函数 y=fx 的最大值（）一般地,设函数y=fx 的定义域为I ,假如存在实数M 满意（ 1）对于任意的xI ,都有 fx M ；（ 2）存在 x 0I,使得 fx 0 = M 那么,称

18、M 是函数 y=fx 的最大值 . 【留意】1 函数最大（小）第一应当是某一个函数值,即存在 x 0I,使得 fx0 = M ；（小） 的,即对于任意的 xI,都有 fx M（fx2 函数最大 （小） 应当是全部函数值中最大M ）6、利用函数单调性的判定函数的最大（小）值的方法1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判定函数的最大（小）值 假如函数 y=fx 在区间 a, b上单调递增,在区间 b,c上单调递减就函数 y=fx 在 x=b 处有最 大值 fb ；假如函数 y=fx 在区间 a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增就

19、函数y=fx 在 x=b 处有最小值 fb ；【重点】 函数的单调性及其几何意义,函数的最大（小）值及其几何意义【难点】 利用函数的单调性定义判定、证明函数的单调性,利用函数的单调性求函数的最大（小）值. 9 / 21 1.3.2 函数的奇偶性【学问要点】1、偶函数定义一般地,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 f x=fx ,那么 fx 就叫做偶函数2、奇函数定义一般地,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 fx=fx ,那么 fx 就叫做奇函数【留意】函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数；对于定义

20、域内的任意一个x,由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,就 x 也肯定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）3、具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称4、利用定义判定函数奇偶性的格式步骤第一确定函数的定义域,并判定其定义域是否关于原点对称；确定 f x与 fx 的关系；作出相应结论：如 fx = fx 或 f x fx = 0 ,就 fx 是偶函数；如 fx = fx 或 fxfx = 0 ,就 fx 是奇函数5、函数奇偶性的性质奇函数在关于原点对称的区间上如有单调性,就其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上如有单调

21、性,就其单调性恰恰相反 . 奇函数的图象关于原点对称 , 偶函数的图象关于 y轴对称 . 如 f x 为偶函数,就 f x f x f | x | . 如奇函数 f x 定义域中含有 0,就必有 f 0 0 . 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“ 一个奇函数 F x 与一个偶函数f f x G x 的和（或差） ” . 如设 f x 是定义域为 R的任一函数,就 F x ,2G x f x f x . 2复合函数的奇偶性特点是：“ 内偶就偶,内奇同外”. 既奇又偶函数有无穷多个（f x 0,定义域是关于原点对称的任意一个数集）. 【重点】 函数的奇偶性的定义及其几何意义【难点

22、】 判定函数的奇偶性的方法与格式10 / 21 其次章 基本初等函数 2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算【学问要点】1、根式的概念 ：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0,记作n0=0. |a a00n1【留意】1 n a nanan|a2当 n 是奇数时,nana ,当 n 是偶数时,a a2、分数指数幂nama0,m nN,且m（1）正数的正分数指数幂的意义,规定：an1（2）正数的正分数指数幂的意义：a_m1 ma0,m nN,且nnan（3）0 的正分数指数幂等于0, 0 的负分数指数幂没有意义3、实数指数幂的运算性质r s r s（1）a a a aa0, , r s

23、R R （2） arsarsa0, , r sR （3） brr a br0,b0,r【留意】在化简过程中,偶数不能轻易约分；如12 2 112而应 =212【重点】 分数指数幂的意义,根式与分数指数幂之间的相互转化,有理指数幂的运算性质【难点】 根式的概念,根式与分数指数幂之间的相互转化,明白无理数指数幂11 / 21 2.1.2 指数函数及其性质【学问要点】1、指数函数的概念yax叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R一般地,函数2、指数函数的图象和性质0a1 图象定义域 R ,值域（ 0,+）（1）过定点（ 0,1） ,即 x=0 时, y=1 性质2在 R 上是减函数2在 R

24、 上是增函数（3）当 x0 时,0y0 时,y1; 共性当 x1 1 当 x0 时,0y1 图象特点函数性质向 x 轴正负方向无限延长函数的定义域为R 0a0 时 ,0y1;在其次象限内的图象纵坐标都大于1 当 x1图象上升趋势是越来越缓函数值开头减小极快,到了某一值后减小速度较慢；a1 自左向右看,图象逐步上升1 增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于当 x0 时 ,y1;在其次象限内的图象纵坐标都小于1 当 x0 时 ,0y0 且 a 1；（2）真数 N0；（3）留意对数的书写格式2、两个重要对数（1）常用对数：以10 为底的对数 , log10N记为lgN；lnN（2）自然对数：以无理数e

25、 为底的对数的对数, logeN记为3、对数式与指数式的互化xx log a N aN对数式指数式对数底数a 幂底数对数x 指数真数N 幂【结论】（1）负数和零没有对数（2） logaa=1, loga1=0,特殊地, lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 （3）对数恒等式：a log a N N 4、假如 a 0 ,a 1 ,M 0 ,N 0 有（1） log（a M N）log a M log a N两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和（1）logaMlogaMlogaNN两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差（3） logaMnnlogaM（nR）n 倍一个正数

26、的n 次方的对数等于这个正数的对数【说明】（1）简易语言表达 : ”积的对数 =对数的和 ” （2）有时可逆向运用公式（3）真数的取值必需是a0, aMalogaNaN（4）特殊留意：logMNloglogaMNlogMlog5、换底公式13 / 21 logablogcblgba0,a1,c0,c1,b0logcalga利用换底公式推导下面的结论logab1a logablogbclogcdlogad logambnnlogablogbm【重点】 对数的概念,对数式与指数式的相互转化【难点】 对数概念的懂得,换底公式的应用14 / 21 2.2.2 对数函数及其性质【学问要点】1、对数函数的

27、概念x 是自变量,函数的定义域是（0,+）函数ylog ax a0,且 a 1 叫做对数函数,其中【留意】（1）对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,留意辨别；如：ylogax1,ylogax2都不是对数函数,而只能称其为对数型函数（2）对数函数对底数的限制：a0,且 a 1 2、对数函数的图像与性质对数函数ylog ax a0,且 a 1 0 a 1 a 1 图像yy01,0 x性质定义域：（0,）值域： R 01,0 x过点 1 ,0, 即当 x 1 时,y0 在0,+上是减函数 在 0,+ 上是增函数当 x1 时, y1 时, y0 当 x=1 时, y=0 当 x=1 时, y=

28、0 当 0 x0 当 0 x1 时, y0; a a当 a,b 不同在 0,1 内,或不同在 1,+ 内时 ,有 log b0；当 a,b 在 1 的异侧时 , log ab 0,值域求法用单调性. 、辨论不同底的对数函数图象利用1=log aa ,用 y=1 去截图象得到对应的底数；、 y=axa0 且 a 1 与 y=log axa0 且 a 1 互为反函数,图象关于 y=x 对称；5 比较两个幂的形式的数大小的方法1对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较 ,可以利用指数函数的单调性来判定 . 2对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较 ,可以利用比商法来判定 . 3对于底数不同也指数不同的

29、两个幂的大小比较 ,就应通过中间值来判定 .常用 1 和 0. 6 比较大小的方法1利用函数单调性同底数 ；2 利用中间值（如:0,1.）； 3变形后比较； 4作差比较【重点】 把握对数函数的图象与性质【难点】 对数函数的定义,对数函数的图象和性质及应用16 / 21 2.3 幂函数【学问要点】1、幂函数定义一般地, 形如 yx 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, 为常数2、幂函数性质归纳（1）全部的幂函数在（0,+）都有定义,并且图象都过点（1,1）；（2） 0 时,幂函数的图象通过原点,别地,当 1 时,幂函数的图象下凸；当 凸；并且在 0,+ ）上是增函数 特 0 1 时,幂函数的图

30、象上（3） 0 时,幂函数的图象在 （0,+）上是减函数 在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地靠近y 轴正半轴,当x趋于 +时,图象在x 轴上方无限地靠近x 轴正半轴【重点】 从五个详细幂函数中熟识幂函数的一些性质【难点】 画五个详细幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变化规律17 / 21 第三章 函数的应用3.1 函数与方程3.1 方程的根与函数的零点【学问要点】1、函数零点 的概念对于函数 y=fx, 使 fx=0 的实数 x 叫做函数的零点.（实质上是函数y=fx 与 x 轴交点的横坐标）2、函数零点的意义方程 fx=0 有实数根 . 函数 y=fx 的图象与 x 轴有交点 . 函数 y=fx 有零点 . 3、零点定理函数 y=fx 在区间 a,b 上的图象是连续不断的,并且有fafb0, 那么函数 y=fx 在区间（ a,b）至少有一个零点c,使得 f c=0, 此时 c 也是