中考数学中的折叠问题

1、 中考数学中的折叠问题为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。即对应角相等，对应线段相等。有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。EM、FM为折痕，折叠后的C点例1（成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，落在BM或BM的延长线上，那么ZEMF的度数是（）A、85B、90C、95D、100分析与解答：本题考查了有关折叠

2、的知识。由题意可知：ZBME=ZEMC,ZCMF=ZFMC,BMC+CMC，180,又CM与BM重合，则ZEMF=ZEMC+ZFMC=-(BMC+CMC)，-x180=90,故选B。22例2（武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE纸片按如图的方式折叠，折痕为AF,点E、D分别落在E、D。已知ZAFC=76,则CFD等于（）A、31B、28C、24D、22分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。根据题意得ZAFD，AFD，180-76=104，则CFD=104-76=28，故选B。例3（河南省实验区中考题）如图，把矩形纸片0ABC放入平面直角坐标系中，使0A、0C分别落在x轴、y轴上，连结0B,

3、将纸片0ABC沿0B折叠，使点A落在点A的位置,点A的坐标为分析与解答：本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的能力。例4（浙江省实验区中考题）现有一张长和宽的比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四部分（称为一个操作），如图甲（虚线表示折痕），除图甲外，请再给出一个不同的操作，分别将折痕画在矩形中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作。如图乙和图甲是相同的操作）。（乙）（甲）例5（南京市中考题）已知矩形纸片，AB=2,AD=1。将纸片折叠后，使顶

4、点A与边CD上的点E重合。2（1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图1）,AF=3，求DE的长；（2）如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G（如图2）,AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长。DFECMONAG图2B分析与解答：（1）在矩形ABCD中，AB=2,AD=1，AF，ZD=90，根据轴对称的性质，得EF=AF=20331DF=AD-AF=3，在RtADEF中，由勾股定理得DE，（2）设AE与FG的交点为0,根据轴对称的性质，得AO=EO,取AD的中点M，连接M0,则M0=2DE，MODC。设DEx,贝UMO=1x，在矩形ABCD中，2ZC=ZD=90AEAED的外

5、接圆的直径，0为圆心。延长MO交BC于点N,则ONCD,ZCNM=180-ZC=900N丄BC，四边形MNCD是矩形。MN=CD=AB=2,ON=MN-MO=2-1xTAED的外接圆与BC相切，二ON是厶AED的外接圆的半径。2OE=ON=2-1x，AE=2ON=4-x。在RtAAED中，AD2,DE2=AE2Z.I2+x2=（4x）2解这个2方程，得x=15。.：DE=15,OE=2-1x=17。根据轴对称的性质，得AE丄FG,ZZFOE=ZD=90o88216TOC o 1-5 h zFOOEOE17又TZFEO=ZAED,FEOsaeD,=,:.FO=xAD可得FO=又ABCD,ADDE

6、DE30:.ZEFO=ZAGO,ZFEO=ZGAOFEOGAO1717：FO=GO：FG=2FO=乃,:折痕FG的长是彫。中考实战一：一、选择题1.（德州市）如图，四边形ABCD为矩形纸片.把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD=6,则AF等于（）A.4石B.3C.4D.82.（江西省）如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E,若ZDBC=22.5，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45的角（虚线也视为角的边）有（）A.6个B.5个C.4个D.3个3.（乐山市）如图，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边

7、的P点处，若ZFPH=90，PF=8，PH=6，则矩形ABCD的边BC长为（） # #A.20B.22C.24D.30 # 4.（绵阳市）当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”.如图,已知矩形ABCD，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F.则ZAFE=（）A.60B.67.5。C.72。D.75。5.（绍兴市）学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过

8、折一张半透明的纸得到的（如图）.从图中可知，小敏画平行线的依据有（）两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行.A.B.C.D.6.（贵阳市）如图6-1所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图6-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（A.34cm2B.36cm2C.38cm2D.图石-1图二、填空题第6题7.（成都市）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C，D的位置上，EC交AD于点G.已知ZEFG=58，那么ZBEG.40cm28.（苏州市）如图，将纸片ABC沿DE折叠，点A落在点A处，已知Z1

9、+Z2=100，贝RA的大小等于度. 二、解答题9.(荆门市)如图1,在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC,已知0(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点0、A不重合).现将APAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边上选取适当的点E,将APOE沿PE翻折，得到PFE,并使直线PD、PF重合.设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；如图2,若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点0，使4PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.10.

10、(济宁市)如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上，得到ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.求证：PBEsQAB；你认为PBE和ABAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？ 11.（威海市）如图，四边形ABCD为一梯形纸片，ABCD,AD=BC.翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF.已知CE丄AB.（1）求证：EFBD；（2）若AB=7,CD=3，求线段EF的长.12.（烟台市）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状反面折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的如果由信纸折成的长

11、方形纸条（图）长为26cm,宽为xcm,分别回答下列问题：为了保证能折成图的形状（即纸条两端均超出点P）,试求x的取值范围.（2）如果不但要折成图的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离（用x表示）.13.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D处，折痕为EF.（1）求证：ABEAADF；（2）连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论. 14.（孝感市）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸

12、片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN（如图2）.请解答以下问题：（1）如图2,若延长MN交BC于P，BMP是什么三角形？请证明你的结论.（2）在图2中，若AB=a,BC=b,a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP?（3）设矩形ABCD的边AB=2,BC=4,并建立如图3所示的直角坐标系.设直线BM为y=kx，当ZMfBC=60时，求k的值.此时，将厶ABM沿BM折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？剃4题叭） 15.（邵阳市）如图，AABC中，ZACB=

13、90。，将厶ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（图）.（1）在图中画出折痕所在的直线1.设直线1与AB,AC分别相交于点D,E，连结CD.（画图工具不限，不要求写画法）（2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的等腰三角形.（不要求证明）（济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上，得到ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.（1）求证：PBEsQAB；（2）你认为PBE和ABAE相似吗？如果相似给出证明，如补相似请说明理由；（3）如果直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？（临安市）如图，OAB是边长为2+屈的等边三角形，

14、其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上,将AOAB折叠，使点A落在边OB上，记为A，折痕为EF.（1）当AE/x轴时，求点A，和E的坐标；（2）当AE/x轴，且抛物线经过点A，和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使AEF成为直角三角形？若能，请求出此时点A的坐标；若不能，请你说明理由. 18.(南宁市)如图，在锐角厶ABC中，BC=9,AH丄BC于点H,且AH=6,点D为AB边上的任意一点，过点D作DEBC,交AC于点E-设厶ADE的高AF为x(0Vx6),以DE为折线将厶ADE翻折，所得的AADE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y(点A关于

15、DE的对称点A，落在AH所在的直线上).分别求出当0 x0）经过四边形0ABC的顶点A、C,xZABC=90,0C平分0A与x轴正半轴的夹角，ABx轴，将ABC沿AC翻折后得ABC,B点落在0A上，则四边形0ABC的面积是（湖南衡阳3分）如图所示，在ABC中，ZB=90,AB=3,AC=5，将ABC折叠，使点C与点A重合,折痕为。已，则4ABE的周长为&（湖南怀化3分）如图，ZA=30,ZC=60,AABC与厶ABC关于直线l对称，则ZB=（江苏南通3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2cm，点E在BC上，且AE=CE.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B重合，则AC=cm.（山东滨

16、州4分）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形.若ZCEDZ=56，则ZAED的大小是（内蒙古包头3分）如图，把矩形纸片0ABC放入平面直角坐标系中，使0A,0C分别落在x轴、y轴上，连接AC,将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B（1,2）,则点D的横坐标是（内蒙赤峰3分）如图，人。是4ABC的中线，ZADC=60,BC=6，把ABC沿直线AD折叠，点C落在C处，连接BC,那么BC的长为（四川广元5分）如图，M为矩形纸片ABCD的边AD的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使点A落在处，点D落在D处.若ZA1MD1=40,则ZBMC的度数为SCU）(四川绵阳4分)如图，将长8

17、cm,宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长等于cm.（贵州安顺4分）如图，在RtAABC中，ZC=90,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C点，那么ADC的面积是(浙江金华、丽水4分)如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B(2,0)，ZA0B=60，k点A在第一象限，过点A的双曲线为y.在x轴上取一点P,过点P作直线0A的垂线1,以直线l为对x称轴，线段0B经轴对称变换后的像是OB.当点0与点A重合时，点P的坐标是；设P(t,0),当OB与双曲线有交点时，t的取值范围是(重庆江津4分)如图，在平面直角坐标系中

18、有一矩形ABCD,其中A(0,0),B(8,0),D(0,4),若将ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处.则E点的坐标是三、解答题(贵州遵义10分)把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E、F两点均在BD上),折痕分别为BH、DG.(1)求证：BHE9ADGF；(2)若AB=6cm,BC=8cm,求线段FG的长.(黑龙江大庆7分)如图，ABCD是一张边AB长为2、边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将A角C翻折，使得点A落在边CD上的点A处，折痕交边AD于点E.求ZDA1E的大小；求厶ApE的面积.(广东省7分)如图，直角梯形纸片ABCD中，AD/BC，

19、ZA=900,ZC=30o.折叠纸片使BC经过点D,点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8.求ZBDF的度数；求AB的长.(广东深圳8分)如图1,一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C的位置，BC交AD于点G.求证：AG=CZG；如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN,EN交AD于M,求EM的长. （四川南充8分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，ABCE沿BE折叠为BFE，点F落在AD上.求证：ABEsDFE若sinZDFE=1，求tanZEBC的值。3（江苏徐州6分）如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平

20、，得折痕EF（如图）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B处（如图）；展平，得折痕GC（如图）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C处（如图）；沿GC折叠（如图）；展平，得折痕GC、GH（如图）。（1）求图中ZBCB的大小；（2）图中的厶GCC是正三角形吗?请说明理由.AEDAEDAEDADADADBCCCGGGHGHGHCCABFBFBFCBCBCBC图图图图图图 （山东莱芜9分）已知：矩形纸片ABCD,AB=2,BC=3。操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上。探究：（1）如图，若点B与A重合，你认EDA和厶FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说明理由；（2）如图，若点B与CD

21、中点重合，求FCB与厶BDG的周长之比。 图7.（山东威海11分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K,得到MNK。CBCDNK1BAM若Z1=70，求ZMKN的度数;厶MNK的面积能否小于2?若能，求出此时Z1的度数；若不能，试说明理由;如何折叠能够使AMNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值。备用图&(湖北十堰8分)如图，AB是半圆0的直径，点C为半径0B上一点，过点C作CD丄AB交半圆0于点D,将厶ACD沿AD折叠得到厶AED,AE交半圆于点F,连接DF。

22、求证：DE是半圆的切线；连接0D,当0C=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论。(甘肃兰州12分)已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(ADAB),将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F,分别连接AF和CE.求证：四边形AFCE是菱形；若AE=10cm,AABF的面积为24cm2，求ABF的周长；在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=ACAP?若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在,请说明理由. (辽宁抚顺14分)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BCAD,ZBAD+ZCDA=90,且tanZBAD=2,AD在x轴

23、上，点A的坐标(一1,0),点B在y轴的正半轴上，BC=OB.求过点A、B、C的抛物线的解析式；动点E从点B(不包括点B)出发，沿BC运动到点C停止，在运动过程中，过点E作EF丄AD于点F,将四边形ABEF沿直线EF折叠，得到四边形AEF,点A、B的对应点分别是点B设四边形AEF与梯形ABCD事合部分的面积为S,F点的坐标是(x,0).当点A1落在(1)中的抛物线上时，求S的值；在点E运动过程中，求S与x的函数关系式.备用图 (黑龙江牡丹江10分)如图，将矩形0ABC放置在平面直角坐标系中，点D在边0C上，点E在边0A上,一4一把矩形沿直线DE翻折，使点0落在边AB上的点F处,且tanZBFD

24、=3.若线段0A的长是一元二次方程x27x一8=0的一个根，又2AB=30A.请解答下列问题：求点B、F的坐标：求直线ED的解析式：在直线ED、FD上是否存在点M、N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. (湖南怀化10分)在矩形A0BC中，0B=6,0A=4,分別以OB,0A所在直线为x轴和y轴，建立如图所示k的平面直角坐标系.F是BC上的一个动点(不与B、C重合)，过F点的反比例函数y=(k0)的图象与xAC边交于点E.求证：AEAO=BFBO；若点E的坐标为(2,4),求经过0、E、F三点的抛物线的解析式；是否存在这样的点F

25、,使得将ACEF沿EF对折后，C点恰好落在0B上？若存在，求出此时的0F的长:若不存在，请说明理由. （广东珠海9分）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC,AB丄BC,AD=AB=1,BC=2.将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P与D点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F.过点P作PNBC交AB于N、交EF于M,连结PA、PE、AM，EF与PA相交于0.（1）指出四边形PEAM的形状（不需证明）；（2）记ZEPM=，AOM.AMN的面积分别为S、S.12S1求证：】=8PA2.tan2S-S设AN=x，y=12，试求出以x为自变量的函数y的解析式，并确定y的取

26、值范围.tan2TOC o 1-5 h zAEDONM卩BFC （湖北孝感14分）如图（1）,矩形ABCD的一边BC在直接坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m0.（1）求点E、F的坐标（用含的式子表示）；（5分）（2）连接0A，若OAF是等腰三角形，求m的值；（4分）（3）如图（2）,设抛物线ya（x-m-6）2,h经过A、E两点，其顶点为M,连接AM,若ZOAM=9O,求a、h、m的值.（5分）yyADADEEOBFCxOBCM图(1)图(2) （陕西省12分）如图，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E,这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F,然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形厶BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕ABEF”是一个三角形（2）如图、在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,当它的“折痕BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕AB