基本不等式题型归纳教学内容

1、只供学习与交流只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除基本不等式题型归纳【重点知识梳理】a b1基本不等式：、ab2 基本不等式成立的条件：a 0, b 0. 等号成立的条件：当且仅当a b时，等号成立.22b a2.几个重要的不等式：(1) a b 2ab ( a, b R) ；(2) 2 ( ab 0)；a ba b 2222(3) ab ()( a,b R);(4) 2(a b ) (a b) ( a,b R).23算术平均数与几何平均数a b设a 0, b 0，则a,b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算2术平均数不小于它们的几何平均数.已

2、知a 0,b0，则(1)如果积ab是定值p，那么当且仅当ab时，ab有最小值疋2_p.(简记:积定和最小)(2)如果和ab是定值p，那么当且仅当a b时，ab有最大值疋2P(简记：和疋积最大)4利用基本不等式求最值问题4题型一览11、已知a 0 , b 0，且4a b 1，则ab的最大值为 ，则的最小值为 ab2、已知x 2y 1，则2x 4y的最小值为 3、设0 x 3，则函数y 4x(5 2x)的最大值为 4、若x 0 ,则x 4的最小值为x15、若x 2，则x的最小值为x 24；若x 0 ,则x -的最大值为x1;若x 2，则x 的最大值为x 2若函数f(x)6、已知 a,b R，且2a

3、 b 2，则 1 a-()的最小值为b ab，此时a, b的值分别是1x(x 2)在x a处有最小值，则 a x 27、已知x 0, y0 , -2 ( x 2y 2xy 或 x 2y 2xy 0 )，则 x 2y 的最小值为 x y此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除8、已知a 0,b0，如果不等式 -1 m 恒成立，那么a b 2a bm的最大值等于9、几个分式的变形:(1)0，则函数yJ的最小值是x(2)已知t 0，则函数t色的最小值为(3)函数x2+5x+15 y=x 2 (x0）的最小值为分析：变形得x2 5x 15x 22(x 2) x 2 9x 2(x2)2(x 2)x9

4、21当且仅当（x2)，即xx 21时取等号,故函数x2(4)已知b0， ab 2，解:a2 b2(a(5)(6)(7)解:5x 150）的最小值为7设 f (x)已知已知2b2 b2则aL的取值范围是a b2b) 2ab a b2(a b) 4 (a b)2x( x 0),则f (x)的最大值为x2 420,b 0，则电a2 2ab23ab 的最小值是a,b都是负实数，则一?一a 2ba2b2 2a 2ab 2b2a 3ab2b22/23，a 2ba b (b a)b的最小值是a b1a210、（1）已知非负实数 x, y满足x y 1分析：因为x y1，所以x1 y 1因为非负实数x, y,

5、所以x 10,y 1111 11所以(（xba0，xyxya b则x 1ab3ab2b21 a2b_，a 2b 小- 3b a的最小值为y 113，即；(x 1) (y 1) 1，1) (y 1)只供学习与交流+1,只供学习与交流(2)已知实数x,y满足0，2x 3y1的最小值为x y解：【法一】由题知1尹3y)(xy)，则(x3y) (x y) 1x 3y x y1)(x 3y)x y(xy)(2(x y) x 3y x 3y)3 22x y【法二】令x y t，3y s ( t 0, s此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除1y-1 414(x15 2y 14(x1-(5 4)933

6、x1y13,x 1 y133当且仅当y 14(x 1)，即y12(x1)，x 0,y1时取等号，所以14的最小值为3x 1y 1x 1y 1则 x 1 (s 3t)，y 1 (s t)，44由xy1，可得s t21，则21 2 1(-)(s t) 3 (- -)3 2.2,x3yx y s ts ts t当且仅当s 2t 2 迈时，等号成立11、( 1)已知x, y均为正实数，且 xy x y 3，则xy的最小值为 解：因为x, y均为正实数，所以x y 2 xy， xy x y 3可化为xy 2 xy 3，即G, xy 3)(、. xy 1)0，所以,xy 3,xy 9,故当且仅当x y时，

7、xy取得最小值9(2)已知x,y均为正实数，x3yxy 9，则 x3y的最小值为解:因为x, y均为正实数，所以x 3y xy3y 3x3y x 3y 1(宁，12、(1)若正实数x, y满足xxy1，则y的最大值是解:xy1，得1(xy)2xy，(xy)2 1 xy 1 区五，4y得最大值为2.33(2)设x,y为实数,若4x2xy 1，则2x y的最大值是解：由4x2xy 1 得 14x2xy (2x y)2 3xy (2x y)2- 2x y221(2x y)(/8(2xy)2此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除则 2d02x y 2卫5513、若 x, y(0,2且xy 2，使

8、不等式a(2x y) (2x)(4 y)恒成立，则实数a的取值范围为2-的最大值为x y z3xy 4y2 z 0 ,则当型取得最大值时，zA.0B.19C.4D. 3答案：由2 x3xy4y2 z0得z2 x3xy 4y2,则xyxy11z2 x3xy4y2 x丝32x4y 3yxyx21221 22 11(2丄)1 .2y22xyzy 2yy yyy16、( 2013 天津理 14)设 a b2 , b 0，则当a1，当且仅当x 2y时等号成立，此时 z 2y2时，盘 罟取得最小值.a 2 C. a分析：由x, y (0,2 , xy 2，得a 邑葩刃10 2 2x y 山 2 .2x y

9、2x y 2x y1又 2x y 2 2xy 4 由，二 a ，选 D .14、若 a 0,b0,且ab 4，则下列不等式恒成立的是()A1 1B .1 11C.、一 ab 22 2D. a b8ab 2a b分析:因为a0, b0利用基本不等式有2 . aba b 4, . ab2，当且仅当a b时等号成立，C错；由.ab2得，1 12,A 错；ab2 (ab)2 2ab 1688，当且仅当a b时，等号成ab 4立，D正确；1 1a b41，当且仅当ab时等号成立，B错；综上可知，选D .a bab4215、设正实数x, y,z满足xa b解：因为a b 2，所以仁21 回2|a| ba b|a| a b |a| 2|a| b 4|a| 4|a| b|a|2.4|a| ba4