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文档简介

1、第四章:圆 一,学问回忆 圆的周长 : C=2 r 或 C= d ,圆的面积 : S=r 2 圆环面积运算方法: S= R2- r2 或 S= (R2-r 2) R 是大圆半径, r 是小圆半径) 二,学问要点 一,圆的概念 集合形式的概念: 1 , 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2 ,圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3 ,圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1 ,圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 固定的端点 O 为圆心;连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径;圆上任意两点之

2、间的部分叫做圆弧,简称弧; 2 ,垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线; 3 ,角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4 ,到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5 ,到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直 线; 二,点与圆的位置关系 1 ,点在圆内 dr点 C 在圆内; A B rddO 2 ,点在圆上 dr点 B 在圆上; C3 ,点在圆外 dr点 A 在圆外; 三,直线与圆的位置关系 1 ,直线与圆相离 dr无交点; 1第 1 页,共 8 页2 ,直线与

3、圆相切 dr有一个交点; rd3 ,直线与圆相交 dr有两个交点; rdd=r 四,圆与圆的位置关系 外离(图 1) 无交点 dR r ; d外切(图 2) 有一个交点 dRr ; 相交(图 3) 有两个交点 RrdR r ; 内切(图 4) 有一个交点 dR r ; 内含(图 5) 无交点 dR r ; ddR图 1 rdRrR图 2 rdrRr图 3 R图 4 图 5 五,垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧; 推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; 2第 2 页,共 8 页(2 )弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (

4、3 )平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理, 简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个结论中, 只要知道其中 2 个即可推出 其它 3 个结论,即: AB 是直径 AB CD CE DE C 弧 BC 弧 BD 弧 AC 弧 AD O A 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论; D推论 2 :圆的两条平行弦所夹的弧相等; DO 即:在 O 中, AB CD E B A CB 弧 AC 弧 BD 六,圆心角定理 顶点到圆心的角,叫圆心角; 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等; 此 定理也称 1 推 3 定

5、理,即上述四个结论中, E 只要知道其中的 1 个相等,就可以推出其它的 3 个结论, F 即: AOB DOE ; AB DE ; A O B D OC OF ; 弧 BA 弧 BD C七,圆周角定理 C顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角; 1 ,圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的 B O 角的一半; A 即: AOB 和 ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 AOB 2 ACB 3第 3 页,共 8 页2 ,圆周角定理的推论: 推论 1 :同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中, B DO CA 相等的圆周角所对 的弧是等弧; 即:在 O 中,C , D 都是所

6、对的圆周角 C对的弧是半圆, CD推论 2 :半圆或直径所对的圆周角是直角; 圆周角是直角所 所对的弦是直径; B O CA 三角形是直角 即:在 O 中,AB 是直或 C 90 径 C90 AB 是直径 推论 3:如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个 三角形; C 90 B O A 即:在ABC 中,OC OA OB ABC 是直角三角形或 注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论: 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定 理; 八,圆内接四边形 圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角; 即:在 OCD中, 四边形 ABCD 是内接四边形 CBAD 1

7、80 B A E 4第 4 页,共 8 页B D 180 DAE C九,切线的性质与判定定理 (1 )切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不行 即: MN OA 且 MN 过半径 OA MO N外端 MN 是 O 的切线 (2 )性质定理: 切线垂直于过切点的半径 (如上图) A 点; 推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切 推论 2 :过切点垂直于切线的直线必过圆心; 以上三个定理及推论也称二推确定理: 即:过圆心;过切点;垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个; 十,切线长定理 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,

8、 它们的切线长相等, 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角; 即:PA , PB 是的两条切线 P B A O PA PB PO 平BPA 分 十一,圆幂定理 (1 )相交弦定理 :圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘 B CO D积相等; P A 5第 5 页,共 8 页即:在 O 中,弦 AB , CD 相交于点 P , PA PB PC PD B A O CA 径所成的两条 ( 2 )推论:假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直 E 线段的比例中项; 即:在 O 中,直径 AB CD , DO D线,切线长是这 2CE AE BE E ( 3 ) 切割线定理 :从圆外一点引圆的切线和割

9、 点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项; P CB 即:在 O 中,PA 是切线, PB 是割线 PA2PC PB (4 ) 割线定理 :从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相 等(如上图); 即:在 O 中,PB , PE 是割线 PC PB PD PE 十二,两圆公共弦定理 A 圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这 O1 B O2 两个圆的的公共弦; 如图: O1O2 垂直平分 AB ; 即:O1 , O2 相交于 A, B 两点 O1O2 垂直平分 AB 2 CO1 2 O1O2 2 CO2 ; CA B 十三,圆的公切线 O2 O1 两圆公切线长

10、的运算公式: (1 )公切线长: Rt O1O2 C 中,AB 26第 6 页,共 8 页(2 )外公切线长: CO2 是半径之差; 内公切线长: CO2 是半径之和 ; 十四,圆内正多边形的运算 B B CA (1 )正三角形 O 在 O 中ABC 是正三角形,有关运算Rt BOD 中进行: D在 OD : BD : OB 1: 3 : 2 ; C(2 )正四边形 O DA 同 理 , 四 边 形 的 有 关 计 算 在 Rt OAE 中 进 行 , E OE : AE : OA 1:1: 2 : (3 )正六边形 同 理 , 六 边 形 的 有 关 计 算 在 Rt OAB 中 进 行 , A O A AB : OB : OA 1: 3 : 2 . B 十五,扇形,圆柱和圆锥的相关运算公式 1 ,扇形:( 1 )弧长公式: lnR; O S B lD1 180 ( 2)扇形面积公式: S n R 2 360 1 2lR n :圆心角 R:扇形多对应的圆的半径 l :扇形弧长 S:扇形面积

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