2022年九级数圆的知识点归纳总结大全

1、第四章：圆 一,学问回忆 圆的周长 ： C=2 r 或 C= d ,圆的面积 ： S=r 2 圆环面积运算方法： S= R2- r2 或 S= （R2-r 2） R 是大圆半径, r 是小圆半径） 二,学问要点 一,圆的概念 集合形式的概念： 1 , 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2 ,圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3 ,圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1 ,圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆； 固定的端点 O 为圆心；连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径；圆上任意两点之

2、间的部分叫做圆弧,简称弧； 2 ,垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3 ,角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4 ,到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5 ,到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直 线； 二,点与圆的位置关系 1 ,点在圆内 dr点 C 在圆内； A B rddO 2 ,点在圆上 dr点 B 在圆上； C3 ,点在圆外 dr点 A 在圆外； 三,直线与圆的位置关系 1 ,直线与圆相离 dr无交点； 1第 1 页,共 8 页2 ,直线与

3、圆相切 dr有一个交点； rd3 ,直线与圆相交 dr有两个交点； rdd=r 四,圆与圆的位置关系 外离（图 1） 无交点 dR r ； d外切（图 2） 有一个交点 dRr ； 相交（图 3） 有两个交点 RrdR r ； 内切（图 4） 有一个交点 dR r ； 内含（图 5） 无交点 dR r ； ddR图 1 rdRrR图 2 rdrRr图 3 R图 4 图 5 五,垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧； 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧； 2第 2 页,共 8 页（2 ）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； （

4、3 ）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理, 简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中, 只要知道其中 2 个即可推出 其它 3 个结论,即： AB 是直径 AB CD CE DE C 弧 BC 弧 BD 弧 AC 弧 AD O A 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论； D推论 2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等； DO 即：在 O 中, AB CD E B A CB 弧 AC 弧 BD 六,圆心角定理 顶点到圆心的角,叫圆心角； 圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等； 此 定理也称 1 推 3 定

5、理,即上述四个结论中, E 只要知道其中的 1 个相等,就可以推出其它的 3 个结论, F 即： AOB DOE ； AB DE ； A O B D OC OF ； 弧 BA 弧 BD C七,圆周角定理 C顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角； 1 ,圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的 B O 角的一半； A 即： AOB 和 ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 AOB 2 ACB 3第 3 页,共 8 页2 ,圆周角定理的推论： 推论 1 ：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中, B DO CA 相等的圆周角所对 的弧是等弧； 即：在 O 中,C , D 都是所

6、对的圆周角 C对的弧是半圆, CD推论 2 ：半圆或直径所对的圆周角是直角； 圆周角是直角所 所对的弦是直径； B O CA 三角形是直角 即：在 O 中,AB 是直或 C 90 径 C90 AB 是直径 推论 3：如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个 三角形； C 90 B O A 即：在ABC 中,OC OA OB ABC 是直角三角形或 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论： 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定 理； 八,圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角； 即：在 OCD中, 四边形 ABCD 是内接四边形 CBAD 1

7、80 B A E 4第 4 页,共 8 页B D 180 DAE C九,切线的性质与判定定理 （1 ）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不行 即： MN OA 且 MN 过半径 OA MO N外端 MN 是 O 的切线 （2 ）性质定理： 切线垂直于过切点的半径 （如上图） A 点； 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切 推论 2 ：过切点垂直于切线的直线必过圆心； 以上三个定理及推论也称二推确定理： 即：过圆心；过切点；垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个； 十,切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线,

8、 它们的切线长相等, 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角； 即：PA , PB 是的两条切线 P B A O PA PB PO 平BPA 分 十一,圆幂定理 （1 ）相交弦定理 ：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘 B CO D积相等； P A 5第 5 页,共 8 页即：在 O 中,弦 AB , CD 相交于点 P , PA PB PC PD B A O CA 径所成的两条 （ 2 ）推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直 E 线段的比例中项； 即：在 O 中,直径 AB CD , DO D线,切线长是这 2CE AE BE E （ 3 ） 切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割

9、 点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； P CB 即：在 O 中,PA 是切线, PB 是割线 PA2PC PB （4 ） 割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相 等（如上图）； 即：在 O 中,PB , PE 是割线 PC PB PD PE 十二,两圆公共弦定理 A 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这 O1 B O2 两个圆的的公共弦； 如图： O1O2 垂直平分 AB ； 即：O1 , O2 相交于 A, B 两点 O1O2 垂直平分 AB 2 CO1 2 O1O2 2 CO2 ； CA B 十三,圆的公切线 O2 O1 两圆公切线长

10、的运算公式： （1 ）公切线长： Rt O1O2 C 中,AB 26第 6 页,共 8 页（2 ）外公切线长： CO2 是半径之差； 内公切线长： CO2 是半径之和 ； 十四,圆内正多边形的运算 B B CA （1 ）正三角形 O 在 O 中ABC 是正三角形,有关运算Rt BOD 中进行： D在 OD : BD : OB 1: 3 : 2 ； C（2 ）正四边形 O DA 同 理 , 四 边 形 的 有 关 计 算 在 Rt OAE 中 进 行 , E OE : AE : OA 1:1: 2 ： （3 ）正六边形 同 理 , 六 边 形 的 有 关 计 算 在 Rt OAB 中 进 行 , A O A AB : OB : OA 1: 3 : 2 . B 十五,扇形,圆柱和圆锥的相关运算公式 1 ,扇形：（ 1 ）弧长公式： lnR； O S B lD1 180 （ 2）扇形面积公式： S n R 2 360 1 2lR n ：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S：扇形面积