三角函数与导数的结合

1、试卷第1页，总31页导数与三角函数的结合试卷第1页，总31页试卷第1页，总31页一、零点的判定与证明1已知函数（）判断函数在区间3上零点的个数;（）函数在区间3上的极值点从小到大分别为，证明：试卷第1页，总31页试卷第1页，总31页【分析】从而得出函（）先由原函数求出其导函数，再研究导函数在，,3的符号问题,，再结合数在区间3上的单调性，从而得出函数在区间3上零点的个数；（）先求出函数的导函数，再结合（）的结论及正切函数的性质可得余弦函数的单调性即可得解.【详解】试卷第1页，总31页试卷第1页，总31页解：1）因为,所以时，在（）上单调递减，时，在0，上无零点；在（）上单调递增，在（）上有唯一

2、零点；试卷第1页，总31页时，在（2，3）上单调递减，3上有唯一零点，试卷第1页，总31页试卷第1页，总31页综上，函数在区间，3上有两个零点试卷第1页，总31页试卷第1页，总31页所以2）因为试卷第1页，总31页试卷第1页，总31页由（1）知无极值点；在有极小值点，即为；试卷第1页，总31页试卷第1页，总31页有极大值点，即为，由试卷第 页，总3页1试卷第 页，总3页1以及的单调性,由函数在单调递增得,由在单调递减得s即故【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及函数的零点，主要考查了三角函数的单调性，重点考查了运算能力，属综合性较强的题型.2已知函数f(x,曲线在点处的切线方程为()求的

3、解析式;(2)判断方程f在内的解的个数，并加以证明【答案】(1)f1()方程在上有个解；证明见解析。【解析】【分析】()根据直线的切线方程，可得斜率即过的定点坐标，对函数求导，代入横坐标即可求得参数；将横坐标带入原函数即可求得，即得解析式。()令，对求导，并可知一，一，根据零点存在定理及单调性可知在一-上只有一个零点。同理，讨论在各区间的端点符号及单调性即可判断零点情况。详解】()直线的斜率为一，过点一，则，即所以()方程在上有个解。证明：令,则又-93_,_,所以在一上至少有一个零点又在一上单调递减，故在一上只有一个零点，TOC o 1-5 h z当一时，故,所以函数在上无零点当时，令，所以

4、在上单调递增，所以，使得在上单调递增，在上单调递减又，所以函数在上有个零点综上，方程在上有个解【点睛】本题考查了导数的性质及综合应用，零点的判断及证明，单调性的应用，综合性强，是高考的常考点，属于难题。3已知函数一，为的导数，证明：（）在区间上有唯一零点；（）有且仅有两个零点.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】，再由零点存要求证，通过，从而先求得，要判断导数存在唯一零点，得先对导数求导，得到在定理进行证明即可（）由（）可知存在，使得一，即一有且仅有两个零点，得先验证存在两点使得，可取一和验证，再证明，由于一无法结合一进行代换，但-，可将进行代换，进一步可证明得到一，即可求

5、证【详解】解:（）一，故在0，上单调递减又，_故在0），上有唯一零点(2)设f“一）在0），上的零点为，由第（1）问知且一在0一0，）上单调递增，在一0，）上单调递减，故因为故一一即一故在有且只有一个零点，在有且只有一个零点故有且仅有两个零点【点睛】本题考查函数的导函数零点个数的判断问题，函数零点个数的求证问题，其中利用零点存在性定理求证函数存在两零点是难点，(2)问和(1)问联系紧密，利用导数为零关系式进行代换是解题核心，利用配方法代换过程并不容易想到，解决此类题型要多思考，多观察，注意关联性。已知函数()求在点处的切线方程；()求证：在一上仅有个零点.【答案】()，()见解析解析】分析】(

6、)求导得到，代入切点得到切线方程()先验证是函数的个零点，再求导得到当一时，函数单调递减1时，函数单调递增，得到，根据零点存在定理得到证明详解】()2，一故切线方法为：2)，易知：，是函数的个零点试卷第 页，总3页1取，即知两函数有一个交点设为当一时,所以，函数单调递减当时，函数单调递增时，根据零点存在定理：当时有且仅有一个零点综上所述：在一上仅有个零点【点睛】本题考查了函数的切线问题，零点问题，根据单调性判断存在是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力5已知函数()求在点处的切线方程;2)求证：在一上仅有个零点.试卷第 #页，总3页1试卷第 页，总3页1【答案】()；()证明见解析解析】分析

7、】()求出和，然后利用点斜式写出所求切线的方程;()利用当时,来说明函数在上没有零点，并利用函数的单调性和零点存在定理证明出函数在区间一上有且只有一个零点，并结合，可证明出函数在区间一上有两个零点【详解】()s则，.因此，函数在点处的切线方程为，即；()当时，此时，所以，函数在区间上没有零点；又，下面只需证明函数在区间一上有且只有一个零点，构造函数，则，当一0时，所以，函数在区间一上单调递增，由零点存在定理知，存在一，使得，且当一时，,当时，所以，函数在处取得极小值，则，又一，所以-，由零点存在定理可知，函数在区间-上有且只有一个零点.综上所述，函数在区间一上有且仅有两个零点【点睛】本题考查利

8、用导数求切线方程，以及利用导数研究函数零点个数问题，一般对于函数的零点个数问题，常利用单调性与零点存在定理来解决，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.7已知函数证明I()在区间存在唯一极大值点；()有且仅有个零点试卷第 页，总3页1答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.解析】分析】（）先确定函数定义域，根据函数的正负先判断出的单调性，然后确定的零点分布，由此得到的单调性即可完成证明;（）对区间进行分段：一一的零点仅有1个.【详解】函数的定义域为，分别考虑每一段区间上的零点情况，由此证明()，上单调递减，当所以时，在区间所以在区间-内有唯一零点当时，当所以在区间存在唯一极大值点（2）当时

9、，因，所以存在零点当-时，当时，所以有且仅有1个零点1X八、时在区间一上单调递增点睛】试卷第 页，总3页1本题考查利用导数判断函数的极大值点和零点个数问题，难度较难1）判断函数的极值点个数：可通过函数的单调性也就是的取值正负来判断，若取值正负不易直接判断，可先通过判断的正负来确定的单调性，由此来确定的取值正试卷第 #页，总3页1试卷第 #页，总3页1的值域；，）其中2）用表示实数，的最大值,记函数，讨论函数的零点负；2）利用导数研究函数的零点个数：先分析给定区间的单调性，然后结合零点的存在性定理说明零点存在情况，注意有时需要对定义域进行分类已知函数1）求函数试卷第 #页，总3页1试卷第 #页，

10、总3页1个数答案】（1）；（2）见解析解析】分析】1）求导得到，讨论得到函数,）单调递增，计算得试卷第 #页，总3页1试卷第 #页，总3页1到答案时，恒成立，当时，恒成立，故的零点即为函数零点，讨论的零点个数得到答案详解】时，所以时，所以所以：当时，成立，即函数,）单调递增所以函数）的值域为,即值域为一试卷第 #页，总3页1试卷第 #页，总3页1（）函数的定义域为由（）得，函数在单调递增,试卷第 页，总3页1当时,，又所以时,恒成立,即时,无零点时,恒成立,所以的零点即为函数的零点面讨论函数的零点个数,所以时,因为又函数在区间递减，所以即当时，所以单调递减，由得：当递增递减时，函数个零点；IX

11、八、9时，函数个零点；IX八、9时，函数个零点；IX八、9、当时，由得：当时，时，递减，所以递增，所以当时函数有2个零点、当时，即成立，由所以当时函数有1个零点综上所述：当或时，函数有1个零点；试卷第1页1，总31页时，函数有2个零点；试卷第1页1，总31页当时，函数有个零点【点睛】本题考查了函数的单调性，值域，零点个数，综合性强，分类讨论是函数问题的常用方法，需要熟练掌握二、最值与范围问题1已知函数()=-x)为()的导数.()求曲线在点(0()处的切线方程；()设，求在区间，上的最大值和最小值。【答案】()；()一【解析】【分析】()切线方程的求法：切点横坐标代入原方程求切点纵坐标，代入导

12、函数求切线斜率()对求导，得。对求导，判断在区间0上的单调性与极值，从而判断最大最小值.【详解】所以0从而曲线在点处的切线方程为当一时，当一时，所以在一单调递增，在一单调递减又一一故一【点睛】()函数在处的切线方程为(2)研究函数最值问题，求导分析单调性与极值，从而判断最值试卷第1页 ，总3页1已知函数（）当时，求函数的单调区间；532（）若一1，记函数的最小值为，求的取值范围.【答案】（）单调递减区间为单调递增区间为（）-【解析】【分析】（）首先求得和，当一时，可确定，得到,可得到的符号，从而得到单调区间；（）首先确定增，由零点存在定理可确定存在唯一的一，使得，得到的符号确定单调性，得到设，

13、可利用导数求得的范围可求得对应的的取值范围；设n利用导数可得到的取值范围，即为的取值范围【详解】（）当时，-单调递增，再根据，得到单调递，并根据单调递增，利用，单调性，从而求得当一时，在一上单调递增试卷第1页 ，总3页1时，时，单调递减区间为()由()知：42当亠时，在一上单调递增,存在唯一的一，使得当一时，；即在一上单调递减，单调递增区间为,即时，上单调递增设则当一时,试卷第1页 ，总3页1在一上单调递减当5L时，由得：当23-时，由得：试卷第1页 #，总3页1试卷第1页 #，总3页1当时,在上单调递增【点睛】本题考查导数在研究函数中的综合应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、构造函数求解

14、函数的最值等知识；本题解题的关键是能够将所求的最小值表示为关于的函数的形式，利用导数求得函数的值域;易错点是忽略自身所对应的范围，造成求解错误，属于较难题4已知函数，.()若时，取得极小值，求实数及的取值范围；()当，时，证明：【答案】()S1)见证明【解析】【分析】试卷第1页 ，总3页1()根据时，取得极小值，可得，解方程得，将代进一步求出的范围；()证明成立，即证明成立，构造函数详解】解：()由函数，利用导数求得的最小值，结合即可证得该不等式成立，得.当时，取得极小值的取值范围为：时，要证成立，即证成立，则，则当-时,，此时递减；时，此时递增，试卷第1页 ，总3页1显然时，成立。即时，【点

15、睛】本题主要考查了极值与导数的关系及方程思想，还考查了利用导数求函数的最值，考查转化能力及计算能力，属于难题。5已知函数，其中，为自然对数的底数()当时，证明：对；()若函数在一上存在极值，求实数的取值范围。答案】(1见)证明；解析】分析】1)利用导数说明函数的单调性，进而求得函数的最小值，得到要证明的结论；()问题转化为导函数在区间上有解，法一：对分类讨论，分别研究的不同取值下，导函数的单调性及值域，从而得到结论.法二：构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域，再利用零点存在定理说明函数存在极值详解】时，于是,又因为，当时，故当时，即试卷第1页 #，总3页1试卷第1页 #，总3

16、页1所以，函数上的增函数，于是，因此，对试卷第1页 #，总3页1试卷第1页 #，总3页1方)法一：由题意上存在极值，则在一上存在零点,当时1，为一上的增函数,试卷第1页 ，总3页1注意到所以，存在唯一实数，使得成立于是，当时，上的减函数；时，上的增函数；所以为函数的极小值点；当时，上成立,所以在一上单调递增，所以上没有极值;当时，一上成立,所以在一上单调递减，所以上没有极值,综上所述，使在一上存在极值的的取值范围是方法二：由题意,函数在一上存在极值，则上存在零点在一上存在零点一，则由单调性的性质可得上的减函数的值域为，1所以，当实数时1，上存在零点面证明，当时1，函数在一上存在极值事实上，当时

17、1，为一上的增函数,试卷第-页9，总3页-试卷第，页8，总3页，注意到，所以，存在唯一实数使得成立于是，当时,为0 x上的减函数；当一时,为一上的增函数;试卷第-页9，总3页-试卷第，页8，总3页，试卷第-页9，总3页-试卷第，页8，总3页，为函数的极小值点试卷第-页9，总3页-试卷第，页8，总3页，试卷第-页9，总3页-试卷第，页8，总3页，综上所述，当时，函数在一上存在极值试卷第-页9，总3页-试卷第，页8，总3页，【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，涉及函数的单调性，导数的应用，函数的最值的求法，考查构造法的应用，是一道综合题已知函数一()若在上有唯一极大值点，求实数的取值范围；()

18、若，且，证明【答案】()(2)见解析解析】分析】()求出函数的导数，对实数分和0两种情况讨论，结合导数的单调性、零点存在定理以及导数符号来判断，于此得出实数的取值范围；C)利用分析法进行转化证明，构造新函数2求出新函数的导数，判断该函数的单调性进行证明即可.【详解】()已知当时，0在-上单调递增，此时在-上，不存在极大值点；当时，0在-单调递减，又，J)-，故存在唯一-)使得W，单调递增，W-)，单调递减此时，是函数的唯一极大值点综上可得a0；()依题n_I-在单调递增，g(=0-),:x欲证0等价证，等价证，等价证令F(=g)(-x+)g(-2)=e+e-x-x2-2(x0，)，0故时，单调

19、递增0单调递增，0得证【点睛】本题主要考查导数的应用，涉及极值点的存在性问题，以及二阶导数的应用，构造函数解决函数不等式的证明，考查函数思想，考查转化与化归数学思想的应用，属于难题。三、单调性与恒成立问题-已知(I若，判断函数在的单调性；()设，对，有恒成立，求的最小值；()证明：i一【答案】()在单调递增；()；(I证明见解析【解析】【分析】()，函数，-一.根据，可得一，而-.即可得出单调性.(2)由题意知，,对，0，有F恒成立.，设，由，可得时，单调递增，又，因此在内存在唯一零点，使，即0，利用试卷第页1，总3页1其单调性可得：，故试卷第2页，总3页1，设_其单调性即可得出所求的最小值.

20、()由可知时，()，即：一.设，可得可得出.【详解】解：()，函数，.利用导数研究，可得，求和利用对数的运算性质即故在上单调递增.()由题意知，对有恒成立.设，贝I，由于，故，时，单调递增，又1因此在内存在唯一零点，使，即且当，单调递减;，单调递增.故，故，又，一，而又设故在上单调递增，因此-，即,，又，故所求的最小值为在上单调递增,()由()可知时,，即：设，则因此匕即一一得证【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、换元法、放缩法、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题已知函数，且曲线与直线相切于点，(1)求f(x-；()若，求实

21、数的取值范围【答案】I【解析】【分析】()先由题意得到一一一，求出1再对函数求导，根据一求出，从而可得到解析式；()先令，先由题意确定，再由函数奇偶性的概试卷第2页 ，总3页1其单调性可得：，故试卷第2页，总3页1念，易得到为偶函数，因此只需时，;对函数求导，分别讨论两种情况，用导数的方法研究其单调性，最值等，即可得出结果【详解】()由题意可得：一一，解得由得所以(2)令，由得0，所以m0.显然为偶函数，所以只需时，.当时，即，在，上单调递增，所以，从而时，成立.当一时，因为在-上单调递增，又时，；时，所以字在一，使得，因此，时，即在所以，时，(0)=，0与矛盾，因此-时不成立.综上满足题设的

22、的取值范围是一点睛】上单调递减，试卷第2页3，总3页，其单调性可得：，故试卷第2页，总3页1本题主要考查导数的应用，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.3设函数一.()当时，求证：0()如果恒成立，求实数的最小值.【答案】()见解析；()【解析】【分析】()求得，利用导数证明在区间一上单调递增，从而可得；()讨论三种情况：当时，由()知符合题意；当时，因为一，先证明在区间一上单调递增，可得符合题意；当时，存在唯一一使得任意时,，不合题意，综合即可得结果试卷第2页3，总3页，其单调性可得：，故试卷第2页，总3页1试卷第2页3，总3页，其单调性可得：，故试

23、卷第2页，总3页1详解】()因为，所以当一时，恒成立，所以在区间一上单调递增,所以()因为所以当时，由()知,恒成立;当时，因为一，所以因此在区间一上单调递增,试卷第2页 ，总3页1其单调性可得：，故试卷第2页，总3页1所以恒成立;当时，令，则因为，所以恒成立,因此在区间一上单调递增，且0_,所以存在唯一一使得，即所以任意时，所以在上单调递减所以，不合题意综上可知，的最小值为【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题与不等式的证明问题，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，

24、求出函数的最值即可;二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.重点考查了逻辑推理能力及运算能力，属综合性较强的题型.4已知函数()若，求实数的取值范围；()若不等式对一，一恒成立，求实数的取值范围【答案】()；()一一一一【解析】【分析】试卷第一页5，总3页，其单调性可得：，故试卷第2页，总3页1的范围；(一)有，当,，从而得()由得到单调增，不等式转化为,可得解出，而函数为单调增函数，且一，故存在唯一一，当一，得到,设,则恒成立，利用导数求出时，有,设,则恒成立，利用导数求出到的取值范围【详解】(

25、)s所以，在上单调递增不等式转化为则，解得()TOC o 1-5 h z函数为单调增函数，且一，故存在唯一一，有当一时，有所以s令，则，所以试卷第2页 ，总3页1其单调性可得：，故试卷第2页，总3页1所以单调递减，所以当时，有TOC o 1-5 h z则，即,_所以J1所以一所以所以单调递减，一一所以一e,综上所述，一一一e【点睛】本题考查利用导数函数考查函数的单调性，参变分离的方法研究恒成立问题，利用导数求函数最值，属于难题.5已知函数f(x)xsixn()求曲线在点一一处的切线方程；()若不等式对任意一恒成立，求实数的取值范围.【答案】()1()见解析【解析】【分析】()利用导数求出一的值

26、，作为切线的斜率，求出一，确定切点坐标，再利用点斜式写出所求切线方程；()由不等式对任意的一恒成立转化为对任意的恒成立，并构造函数，利用导数求出函数在区间-上的最小值，于此可求出实数的取值范围。详解】)因为所以曲线处)的切线方程对对任意恒成立时，显然成立，时，等价于.则，,则对任意恒成立,在一单减，于是即.从而在一单减,所以综上所述,点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，以及利用导数研究函数不等式恒成立问题，通常利用参变量分离法进行转化为定函数的最值问题来求解，考查分析问题的能力与计算能力，属于难题。已知函数处的导数为()求的值和的)最大值；()若实数，对任意，不等式恒成立，求的取值范围试卷第2页8，总3页，其单调性可得：，故试卷第2页，总3页1答案】（1）的最大值为