备战2017高考数学（精讲 精练 精析）专题8.3 立体几何综合问题试题（江苏版）（含解析）

1、专题3 立体几何综合问题【三年高考】1. 【2016高考新课标1文数改编】平面过正文体ABCDA1B1C1D1的顶点A，,则m,n所成角的正弦值为【答案】考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.2【2016高考新课标1文数】如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.（I）证明G是AB的中点；（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面

2、体PDEF的体积【答案】（I）见解析（II）作图见解析,体积为【解析】试题分析：先证明由可得是的中点. （II）在平面内,过点作的平行线交于点,即为在平面内的正投影.要求四面体的体积可先证明平面,把看作高,求出高及底面积,即可确定体积.试题解析：（I）因为在平面内的正投影为,所以因为在平面内的正投影为,所以所以平面,故又由已知可得,从而是的中点. 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且,可得 在等腰直角三角形中,可得所以四面体的体积考点：线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的

3、平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.3【2016高考新课标文数】如图，四棱锥中，平面，为线段上一点，为的中点（I）证明平面；（II）求四面体的体积.【答案】（）见解析；（）【解析】试题分析：（）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（）由条件可知四面体的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果试题解析：（）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. .3分又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面. .6分（）因为平面

4、，为的中点，所以到平面的距离为. .9分取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故，所以四面体的体积. .12分考点：1、直线与平面间的平行与垂直关系；2、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又推出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解4【2016高考天津文数】(本小题满分13分)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EF|AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，BAD=60，G为

5、BC的中点.()求证：平面BED；()求证：平面BED平面AED；()求直线EF与平面BED所成角的正弦值.【答案】（）详见解析（）详见解析（）【解析】试题解析：（）证明：取的中点为，连接，在中，因为是的中点，所以且，又因为，所以且，即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（）证明：在中，由余弦定理可，进而可得，即，又因为平面平面平面；平面平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（）解：因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.过点作于点，连接，又因为平面平面，由（）知平面，所以直线与平面所成角即为.在中，由余弦定理可得，所以，因此，在中，所以直线与平面所成角的正弦值为考点

6、：直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.5.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE平面ABC，ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（I）求证：BF平面ACFD；（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】（I

7、I）因为平面，所以是直线与平面所成的角，在中，得，所以直线与平面所成的角的余弦值为.考点：空间点、线、面位置关系、线面角.【方法点睛】解题时一定要注意直线与平面所成的角的范围，否则很容易出现错误证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线6【2016高考上海文科】（本题满分12分）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小. 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（

8、1）由题意可知，圆柱的高，底面半径计算体积与侧面积即得.（2）由得或其补角为与所成的角，计算即得试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径圆柱的体积，圆柱的侧面积考点：1.几何体的体积；2.空间的角.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力转化与化归思想及基本运算能力等.7.【2016高考四川文科】（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，

9、PACD，ADBC，ADC=PAB=90，.（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由； （II）证明：平面PAB平面PBD.【答案】（）取棱AD的中点M，证明详见解析；（）证明详见解析.【解析】试题分析：（）探索线面平行，根据是线面平行的判定定理，先证明线线平行，再得线面平行，只要在平面上作交于即得；（）要证面面垂直，先证线面垂直，也就要证线线垂直，本题中有（由线面垂直的性质或定义得），另外可以由平面几何知识证明，从而有线面垂直，再有面面垂直试题解析：（I）取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：因为ADBC,BC=AD，所以BCAM, 且BC

10、=AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMAB.又AB 平面PAB,CM 平面PAB,所以CM平面PAB.(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)（II）由已知，PAAB, PA CD,因为ADBC,BC=AD，所以直线AB与CD相交，所以PA 平面ABCD.从而PA BD.因为ADBC,BC=AD，所以BCMD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=AD，所以BDAB.又ABAP=A,所以BD平面PAB.又BD 平面PBD,所以平面PAB平面PBD.考点：线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直.【名师点睛】本题考查线面平行、面面垂直的判断，

11、考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），证明面面垂直时，要证线面垂直，要善于从图形中观察有哪些线线垂直，从而可能有哪个线面垂直，确定要证哪个线线垂直，切忌不加思考，随便写8【2015高考浙江，文7改编】如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是【答案】椭圆【解析】由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的绕旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成角的平面截圆锥

12、，所得图形为椭圆.9【2015高考福建，文20】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且（）若为线段的中点，求证平面；（）求三棱锥体积的最大值；（）若，点在线段上，求的最小值【解析】解法一：（I）在中，因为，为的中点，所以又垂直于圆所在的平面，所以因为，所以平面（II）因为点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为又，所以面积的最大值为又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为（III）在中，所以同理，所以在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示当，共线时，取得最小值又因为，所以垂直平分，即为中点从而，亦即的最小值为解法二：（I）、（II）同解法一10.【20

13、15高考陕西，文18】如图1，在直角梯形中，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.(I)证明：平面；(II)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.【解析】 (I)在图1中，因为，是的中点，所以，即在图2中，从而平面，又，所以平面.(II)由已知，平面平面，且平面平面 ，又由(I)知，所以平面，即是四棱锥的高，由图1可知，平行四边形面积，从而四棱锥的为，由，得.11.【2015高考四川，文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.()请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)()判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.()

14、证明：直线DF平面BEG【解析】()点F，G，H的位置如图所示()平面BEG平面ACH.证明如下，因为ABCDEFGH为正方体，所以BCFG，BCFG，又FGEH，FGEH，所以BCEH，BCEH，于是BCEH为平行四边形，所以BECH，又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH，同理BG平面ACH，又BEBGB，所以平面BEG平面ACH，()连接FH，因为ABCDEFGH为正方体，所以DH平面EFGH，因为EG平面EFGH，所以DHEG，又EGFH，EGFHO，所以EG平面BFHD，又DF平面BFDH，所以DFEG，同理DFBG，又EGBGG，所以DF平面BEG.12.【2015高

15、考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF/BC.()证明：AB平面PFE.()若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.【解析】如题(20)图.由知，为等腰中边的中点，故，又平面平面，平面 平面，平面，所以平面，从而.因. 从而与平面内两条相交直线，都垂直，所以平面.(2)解：设,则在直角中，.从而由，知，得,故，即.由,从而四边形DFBC的面积为 ，由(1)知，PE 平面，所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角中，,体积,故得，解得，由于，可得.所以或.1

16、3. 【2014高考重庆文第20题】如题（20）图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，为上一点，且.（）证明：平面；（）若，求四棱锥的体积.【解析】（）如答（20）图，因为菱形，为菱形中心，连结，则，因，故,又因为，且，在中所以，故,又底面，所以,从而与平面内两条相交直线都垂直，所以平面（）解：由（）可知，设，由底面知，为直角三角形，故由也是直角三角形，故,连结，在中,由已知，故为直角三角形，则即，得，（舍去），即此时所以四棱锥的体积14.【2014高考天津文第17题】如图，四棱锥的底面是平行四边形，,分别是棱的中点.（1）证明平面；（2）若二面角P-AD-B为，证明：平面PBC平面ABC

17、D求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.【解析】证明(1)如图取PB中点M,连接MF,AM.因为F为PC中点，故MF/BC且MF=BC.由已知有BC/AD，BC=AD.又由于E为AD中点，因而MF/AE且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF/AM,又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF/平面PAB. (2)连接PE,BE.因为PA=PD,BA=BD,而E为AD中点，故PEAD,BEAD,所以PEB为二面角P-AD-B的平面角.在三角形PAD中，由，可解得PE=2. 在三角形ABD中，由,可解得BE=1. 在三角形PEB中，PE=2, BE=1, ,由余弦定理，可解得PB=，

18、从而，即BEPB,又BC/AD,BEAD,从而BEBC,因此BE平面PBC.又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD;连接BF，由知BE平面PBC.所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角，由PB=，PA=,AB=得ABP为直角，而MB=PB=,可得AM=,故EF=,又BE=1，故在直角三角形EBF中，所以，直线EF与平面PBC所成角的正弦值为15. 【2014高考全国1文第19题】如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.证明：若,求三棱柱的高.【解析】（1）连结，则O为与的交点. 因为侧面为菱形，所以.又平面，所以，故平面ABO.由于平面ABO，故.（2）作，垂足为D，连结AD，

19、作，垂足为H.由于，故平面AOD，所以，又，所以平面ABC.因为，所以为等边三角形，又，可得.由于，所以,由，且，得，又O为的中点，所以点到平面ABC的距离为.故三棱柱的高为.16.【2014高考江西文第19题】如图，三棱柱中，.（1）求证：；（2）若，问为何值时，三棱柱体积最大，并求此最大值.【解析】（1）证明：由知,又,故平面即,又，所以（2）设在中同理在中, ，所以从而三棱柱的体积为因故当时，即时，体积取到最大值【2017年高考命题预测】纵观2016各地高考试题，高考对立体几何的考查，主要考查学生的化归与转化能力、空间想象能力以及基本运算能力. 从高考试题来看，线线垂直的判定、线面垂直的

20、判定、面面垂直的判定与性质、线面角等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高，客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查线面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上内容，同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力而直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定高考大题没涉及，而在小题中考查，直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定是高考的热点，预测2017年高考，可能以柱体，锥体为几何背景，第一问以线面位置关系，面面位置关系为主要考查点，第二问仍以求体积或表面积为主，突出考查空间想象能力和逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题的能力复习建

21、议：空间图形中的角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”090，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是090，其解法是作垂线、找射影；二面角0180.平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变.【2017年高考考点定位】对立体几何中的角与距离，主要以选择题的方式进行考查，而综合性问题，主要在解答题中考查，一般第一问证明平行与垂直，第二问求体积，面积，或涉及一些探索性命题，难度不算太大，重点考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力【

22、考点1】空间角，距离的求法【备考知识梳理】1空间的角(1)异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线，经过空间任一点作直线.则把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)异面直线所成的角的范围是.(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是的角直线与平面所成角的范围是.(3)二面角的平面角：如图在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则叫做二面角的平面角二面角的范围是.(4)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相

23、同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.3.空间距离:（1）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法先证线段为异面直线的公垂线段，然后求出的长即可找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离根据异面直线间的距离公式EF （“”符号由实际情况选定）求距离.（2）点到平面的距离：点到直线的距离为点到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为，过作的垂线，垂足为

24、连，则由三垂线定理可得线段即为点到直线的斜线上两点，到斜足的距离，的比为，则点，到平面的距离之比也为特别地，时，点，到平面的距离相等；体积法（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离.【规律方法技巧】1空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角.（1）异面直线所成的角的范围是.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个

25、特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角; 补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角.（2）直线与平面所成的角的范围是.求线面角方法:利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径.利用三棱锥的等体积，省去垂足,在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法-等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h，然后

26、利用进行求解.妙用公式，直接得到线面角课本习题出现过这个公式：，如图所示：.其中为直线AB与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴.（3）确定点的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置

27、：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围，解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法:直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从

28、以下几个方面着手:利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角, 自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；利用定义确定平面角, 在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；射影面积法.利用射影面积公式 ；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等.2

29、. 求距离的关键是化归.即空间距离向平面距离化归，具体方法如下：（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形.（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法.（3）求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：找出或作出表示有关距离的线段；证明它符合定义；归到解某个三角形若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之.异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂

30、线AA的长度为d ，在a 上有线段AE m ，b 上有线段AF n ，那么EF （“”符号由实际情况选定）3.求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置.作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理.求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种： ”求二面角否则要适当扣分.求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质.而间接

31、法中常用的是等积法及转移法.求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离.【考点针对训练】1.如图所示，正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于 【答案】2.如图1,在直角梯形中, 点 为中点将沿折起, 使平面平面,得到几何体,如图2所示BACD图1EABCD图2E（1）在上找一点,使平面； （2）求点到平面的距离【解析】（1） 取的中点,连结,，在中, ,分别为,的中点，为的中位线 ， ，平面 平面 ，平面 ；（2）设点到平面ABD的距离为 ，平面平面且，平面 ， 而 ，平面， 即

32、，三棱锥的高, ，即， .【考点2】立体几何综合问题【备考知识梳理】空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点.归纳起来常见的命题角度有：1以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明.2探索性问题中的平行与垂直问题.3折叠问题中的平行与垂直问题.【规律方法技巧】1. 证线面平行，一般都考虑采用以下两种方法：第一，用线面平行的判定定理，第二用面面平行的性质定理；2、证面面垂直，关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；3、条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理.比如本题中已知两平面互相垂直，我们就要两平面互相垂直的性质定理；4、在立体几

33、何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线；若是给出了一些比例关系，则通过比例关系证明线线平行.线线平行是平行关系的根本.5、在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直2. 探索性问题探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得

34、出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点3折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，弄清哪些角度和长度变了，哪些没有变；哪些线共面，哪些线不共面，翻折后的线与原来的线有什么联系，尤其要注意找出互相平行或垂直的直线. 尤其是隐含着的垂直关系4把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决.求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”.（1）常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；（2）常用平行

35、线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置；（3）常用割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题.5. 向量为谋求解立体几何的探索性问题空间向量最合适于解决立体几何中探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解集更加简单、有效，应善于运用这一方法解题.【考点针对训练】1. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，四棱锥中，底面是矩形，底面，分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）详见解析（2）

36、详见解析【解析】（1）取的中点，连接. 因为分别是的中点，所以，且，又是的中点，所以，且，所以，且，所以是平行四边形，故. 又平面，平面，所以平面. （说明：也可以取中点，用面面平行来证线面平行）（2）因为底面，底面，所以. 取中点，连接.因为是矩形，且，所以都是正方形，所以，即. 又是平面内的两条相交直线，所以平面. 而平面，所以平面平面. 2.如图,矩形中,、分别为、边上的点,且,将沿折起至位置(如图所示),连结、,其中.() 求证:平面； () 在线段上是否存在点使得平面?若存在,求出点的位置；若不存在,请说明理由.() 求点到平面的距离.【解析】 ()连结,由翻折不变性可知,在中,所以

37、， 在图中,易得,在中,所以，又,平面,平面,所以平面.【两年模拟详解析】1. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】如图，在四棱锥中，平面，分别是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）设，连结，因为，为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，所以又因为平面，平面，所以平面.（2）（方法一）因为平面，平面所以，由（1）同理可得，四边形为平行四边形，所以，所以因为，所以平行四边形为菱形，所以，因为平面，平面，所以平面因为平面，所以平面平面.（方法二）连结，因为平面，平面，所以因为，所以，因为平面，平面，所以因

38、为为的中点，所以，由（1），所以又因为为的中点，所以因为，平面，平面所以平面，因为平面，所以平面平面.2【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试数学试题】在体积为的四面体中，平面，则长度的所有值为 【答案】或【解析】由题意得因此由余弦定理得：或，因此或3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2、锐角为的菱形，侧棱PA底面ABCD,PA=3.若点M是BC的中点，则三棱锥M-PAD的体积为 【答案】【解析】因,又故三棱锥M-PAD的体积为4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】已知三棱锥的体积为1，是的中点，是的中点，则三棱锥的体积是【答案】5【

39、2016年第四次全国大联考【江苏卷】已知正三棱柱的各条棱长均为1，圆锥侧面展开图为半径为2的半圆，那么这个正三棱柱与圆锥的体积比是【答案】【解析】由题意得圆锥母线为2，设圆锥底面半径为、高为，则因此圆锥体积为而正三棱柱体积为，因此正三棱柱与圆锥的体积比是6【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）如图，平行四边形平面， .（）求证： 平面；（）若为线段中点，为线段的一个三等分点，求证：不可能与平面平行.【答案】（）详见解析（）详见解析【解析】证：（1）过作交于.平行四边形平面，平面，又平面，. 由已知，, . 由得，平面； （2）假设直线平行平面，由于平面，且平面 平面，所

40、以.因为为线段中点，所以为线段中点，这与为线段一个三等分点相矛盾，故假设不成立，即不可能与平面平行. 7【2016年第三次全国大联考【江苏卷】（本小题满分14分）如图所示,在直四棱柱中, ,点是棱上的一点.(1)求证：面；(2)求证：；(3)试确定点的位置,使得平面平面. 【答案】（）详见解析（）详见解析. (3) 点为棱的中点【解析】 (1)证明：由直四棱柱,得,所以是平行四边形,所以而,所以面(2)证明：因为, 所以又因为,且，所以而，所以(3)当点为棱的中点时,平面平面取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接交于,连接.因为N是DC中点,BD=BC,所以；又因为DC是面ABCD与面的交线

41、,而面ABCD面,所以又可证得,是的中点,所以BMON且BM=ON,即四边形BMON是平行四边形,所以BNOM,所以OM平面,因为OM面DMC1,所以平面平面.8【2016高考押题卷（3）【江苏卷】（本小题满分14分）在三棱锥中，若分别为的中点，且平面（1）求证：平面；（2）求证：平面【答案】（）详见解析（）详见解析【解析】证明：（1）由、E分别为的中点可知,，所以， 平面， 而平面，因此平面；9. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，分别为的中点(1)求证：平面；(2)求证：平面平面的充要条件是【答案】（）详见解析（）详见解析【解析】（1）

42、连接BD，由已知，M为AC和BD的中点，又因为N为PD的中点 平面ABP （2）,BP、BC在平面BPC内交于B， 充分性：，平面平面 必要性：过点B作于E平面平面 10【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】(本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，M，N分别为AB，PA的中点（1）求证：PB平面MNC；（2）若ACBC，求证：PA平面MNC.【答案】（）详见解析（）详见解析【解析】证：（1）因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MNPB 因为MN平面MNC，PB平面MNC， 所以PB平面MNC. （2）因为PAPB，MNPB，所以PAMN. 因为ACBC，A

43、MBM，所以CMAB. 因为平面PAB平面ABC，CM平面ABC，平面PAB平面ABCAB，所以CM平面PAB 因为PA平面PAB，所以CMPA 因为PAMN，MN平面MNC，CM平面MNC，MNCMM，所以PA平面MNC.11在半径为2的球面上有不同的四点A、B、C、D，若，则平面BCD被球所截面图形的面积为 .【答案】12.【浙江省效实中学2015届高三上学期期中考试】异面直线所成的角为，过空间中定点，与都成角的直线有四条，则的取值范围是 【答案】【解析】将异面直线平移使它们相交点，如图平移后的直线分别用表示，作,则,满足与都成角的直线有四条，所以必须在区域SOAB,SOBC,SOCD,S

44、OAD内各有一条直线与AC,BD成60角，当时，在区域SOAB没有满足条件的直线，当，在区域SOAB满足条件的直线只能在平面ABCD内，此时只能有3条，所以，因为异面直线所成的角的范围，所以的取值范围是.13.【河南省开封市2015届高三上学期定位考试模拟】三棱柱侧棱与底面垂直，体积为，高为，底面是正三角形，若是中心，则与平面所成的角大小是_.【答案】14. 【吉林省实验中学2015届高三第三次模拟考试】已知四棱锥中,底面是直角梯形, 平面平面R、S分别是棱AB、PC的中点, （）求证：平面平面（）求证：平面（III）若点在线段上,且平面求三棱锥的体积.【解析】（）证明：因面面且相交于直线AB

45、， 而面,， 所以面，,又，所以面，因面，所以平面平面15. 【2015届黑龙江省哈尔滨六中高三下学期第四次模拟】如图，直三棱柱的底面是边长为的正三角形，点M在边BC上，是以M为直角顶点的等腰直角三角形（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的高【解析】（1）连接，交于点N，连接MN,直三棱柱，平面,又平面，,平面，故为的中点，而为的中点，则, 平面 （2）设三棱锥的高为，平面，即，16.【2015届浙江省桐乡一中高三下学期联盟学校高考仿真测试】如图，四棱锥中，面EBA面ABCD，侧面ABE是等腰直角三角形，（）求证：；（）求直线与面的所成角的正弦值17. 【江苏省启东中学2015届高三下学期期初调研】如图1所示，在RtABC中，AC6，BC3，ABC90，CD为ACB的平分线，点E在线段AC上，CE4.如图2所示，将BCD沿CD折起，使得平面BCD平面ACD，连结AB，设点F