计量经济学的基础工具

1、 PAGE 70 计量经济学导论第2章 计量经济学的基础工具 PAGE 71柏第颁2吧章 计量经济暗学的基础工具搬在第1章中定义扒了计量经济学的稗主要工具是数学凹，包括优化理论斑和统计分析。这靶些工具的基础知败识是计量经济学办的基础知识。尽版管这些知识在所邦有的专业书籍中瓣都可以找到，但伴是考虑到知识的岸连贯性和应用的按便利，这里将以叭一章来介绍这些肮基本知识，以备霸那些需要的读者啊参考。关于矩阵柏部分，主要参考昂了Sydsae挨ter，Str百om和Berc昂h（2001）胺的文献，关于概坝率统计及其推断啊部分，主要参考扮了古亚拉提（2扳000）的文献霸，古扎拉蒂（2扒004），Sy澳dsa

2、eter拌，Strom和柏Berch（2佰001）以及王败文中（2003扒）的文献。2.1 矩阵凹2.1.1 翱矩阵的定义吧称为背阶矩阵袄，其中鞍a吧ij疤称为位于矩阵的败第搬行和第扳j绊列的元素。简记埃。当败时，称矩阵为稗阶方阵叭，安称为凹的矮n芭阶行列式绊。如果案则称该方阵为氨n案阶单位矩阵唉，记为白。有把=1捌。邦是对角矩阵的特斑殊形式。一般的芭对角矩阵记为绊并有霸 拌 般 吧 胺矩阵挨的名称是由其元背素的变化决定的矮。比如，所有元挨素都为0的矩阵阿叫扮零矩阵碍，所有位于主对扒角线下面的元素佰均为0，则称岸为绊上三角矩阵笆，反之则叫八下三角矩阵摆。定义跋为矩阵凹的矮转置艾，记为瓣。当按时

3、，如果哀，巴称为巴对称矩阵；芭如果哀，坝称为绊反对称矩阵拜；如果百，则懊是罢幂等矩阵邦；如果扳，则稗是爱对合矩阵瓣；若矮，则笆是芭正交阵拔且氨；如果艾或霸，则吧称为背奇异的背或巴非奇异的瓣。一个高阶矩阵肮，根据实际需要扒，可分成若干小翱块。比如艾可分成四块：案其中安为安阶矩阵绊，且蔼如果版是满足条件熬的最大白拌阶方阵，则称八的蔼秩肮为啊r八，记为佰设傲，摆，则有、半设八为拌n伴阶方阵，办的疤迹稗定义为主对角线办上所有元素之和扒，即办2.1.2 唉矩阵的计算及其哀性质斑同阶矩阵的加、袄减等于它们的对昂应元素相加、减霸后的矩阵。靶两个矩阵可乘的澳条件是第一个矩拔阵的列数等于第百二个矩阵的行数半，并

4、且它们的乘唉积所得的矩阵的俺阶数由第一个矩跋阵的行数和第二蔼个矩阵的列数决罢定，其元素由第懊一个矩阵相应的皑行向量和第二个熬矩阵列向量的对懊应元素乘积的和盎组成。稗分块矩阵的加、挨减和乘可形式上巴比照一般矩阵的隘类似做法，此时罢记住分块矩阵的耙每个分块可视做埃相应矩阵的元素板。啊矩阵的加法满足扳结合律和交换律扒。俺矩阵的乘法满足哎结合律。拔矩阵的乘法和加哎法满足分配律。笆不过，记住矩阵斑的乘法一般不满皑足交换律。这一绊点从矩阵的乘积熬定义中很容易理暗解。搬性质2.1 颁方阵蔼可逆的充分必要般条件是绊如果方阵扮可逆，方阵肮的鞍逆矩阵扳的求法如下：叭其中办伴随矩阵隘定义为懊是元素暗的版代数余子式罢

5、，其定义为从矩案阵安中划去第安i霸行和第阿j伴列后剩余的矩阵氨的行列式再乘上捌。版分块矩阵的逆的靶求法霸设方阵笆分成四块如下：霸如果扒存在，则佰的拔逆班可表示成：其中。般如果拜存在，则拌的阿逆哀可表示成：其中。摆矩阵的指数形式熬和导数形式分别凹表示为：，颁矩阵的导数等于败各个元素分别求巴导后的矩阵。对哎于矩阵霸和列向量笆，有以下求导公版式：败性质2.2 摆设俺，霸。则有：板2.1.3 叭复矩阵的定义和板性质哀元素在复数域的罢矩阵称为罢复矩阵办。下面把复矩阵安的某些定义和基奥本性质叙述板 绊如下。颁定义2.1 捌设懊为一个复矩阵，袄则有隘称为袄的共扼矩阵。暗称为啊的共扼转置。巴称为Hermi颁t

6、ian矩阵，板如果班。翱称为把酉矩阵敖，如果稗。爸性质2.3 矮设挨为复矩阵。则颁是实的，当且仅拔当背。挨如果挨是实的，安是Hermit碍ian矩阵，当把且仅当邦是对称的。唉性质2.4 百设袄和耙为复矩阵，盎为复数。则有。氨2.1.4 蔼特征值与特征向斑量阿定义2.2 扮设伴是邦n坝阶方阵。罢称为凹的特征值， 特征值的一个显然性质就是使得方阵的秩小于n。柏如果拔满足以下方程伴根据代数基本原绊理，矮是隘的柏n板阶代数方程，在澳复数域里，存在八n吧个根。这些根叫罢做邦的搬特征值隘。对于每一个特挨征值暗，把，存在一个非零哀向量瓣使得班称为袄关于俺的邦特征向量叭。特征值很重要矮，现在把一些相捌关性质叙

7、述如下隘。安性质2.5 跋设皑为多项式。如果半为跋的特征值，则敖为阿的特稗 盎征值。败性质2.6 跋当且仅当0不是胺的特征值时，方袄阵佰可逆。若拔可逆且懊为案的一个特征值，斑则懊为矮的一个特征值。摆性质2.7 唉当且仅当爸的极限是零矩阵笆（爱）时，啊的所有特征值的百模严格小于1。按性质2.8 颁设翱和皑为同阶矩阵。则懊和扮有相同的特征值傲。靶性质2.9 瓣如果肮是对称矩阵且仅绊有实元素，则挨的所有特征值是般实的。柏性质2.10 皑 袄如果拌是佰的特征多项把式，则爱是柏的所有挨阶主子式的和（捌共有岸个主子式的和）凹。扒称为把的昂特征值方程哀或坝特征方程霸。跋性质2.11 挨 半是可对角化的充哎分

8、必要条件是存挨在稗矩阵和对角矩阵柏使得白，氨与笆有相同的特征值爸。八性质2.12 澳 袄如果邦有敖n皑个不同的特征值拜，则笆可对角化。扒谱定理 吧如果邦是对称的且有特澳征值叭，则存在一个正扳交阵蔼，使得耙Jordan分捌解定理 懊如果笆有碍n氨个特征值佰，则存在可逆矩翱阵凹，使得白其中，拔且罢是翱矩阵，袄，背Shur引理 耙 熬设碍为一个复矩阵。巴则存在酉矩阵俺使得坝是一个上三角矩啊阵。氨Hermiti隘an矩阵的谱定俺理 唉设爱是一个Herm罢itian矩阵叭。则存在酉矩阵斑使得坝是一个对角矩阵按。所有罢的特征值都是实凹的。捌性质2.13 案 皑给定唉，对任意扮，存在矩阵摆有昂n罢个不同的特

9、征值懊，使得跋考虑二次型 办，其中，且性质2.14扳是正定的，当且版仅当岸对所有隘x癌成立或般或版的所有特征值都佰是正的。搬是半正定的，当瓣且仅当摆笆对所有绊x唉成立或埃凹或颁的所有特征值都矮是非负的。昂是负定的，当且凹仅当暗对所有敖x扒成立或碍或昂的所有特征值都澳是负的。叭是半负定的，当唉且仅当袄对所有笆x盎成立或岸哀或爸的所有特征值都叭是非正的。哀是不定的，当且敖仅当挨对某些傲x鞍成立或拌对某些捌i翱成立或办的特征值有正有拜负。奥本节的所有性质耙都有很好的含义阿，考虑到篇幅有捌限以及解释所依碍据的相关知识已盎经超出了本书的熬设想，我们只好拜把这些性质罗列按出来，仅供参考耙。笆2.2 概率暗

10、与统计初步板本节主要回顾一拜些概率与统计的拔基本知识。鞍2.2.1 拜基本概念扒对世界上各种事敖物或现象的描述巴方式有确定性描跋述和不确定性描凹述。比如根据经挨验，地球上的每熬一天，太阳总是白从东边升起，西碍边落下，以及明癌天中午12点整皑，广州将会下雨拌。前者为确定性皑描述，后者则是半不确定性描述，爱或者说是一个概奥率事件。概率统罢计是研究不确定皑性现象的理论。皑这个理论无疑变斑成了计量经济学跋的重要工具。邦“百不确定性奥”绊，比如抛一枚硬岸币 这里所提到的“硬币”、“骰子”等都暗含着这样一层意思：它们的质地均匀，没有瑕疵。挨到桌面上，理论摆上出现两种等可叭能结果：正面朝鞍上或反面朝上，白这

11、种不确定现象奥的实验就叫做搬统计或随机实验败。所有可能的随伴机实验结果的集碍合就叫做暗样本空间或总体皑。样本空间的每艾一个元素，如抛奥一次硬币实验中败的瓣“袄正面朝上吧”安或凹“版反面朝上昂”罢，称为样本空间败的一个背样本点扮。样本空间的每挨一个子集称为班事件埃，即随机实验的袄可能结果的集合笆。最大的事件就搬是样本空间，即爸是必然事件，理扒论上最小的事件芭是空集，也就是矮说随机实验没有把发生。在实际应巴用中，人们剔除把空集这一事件和肮必然事件。因此暗，抛一次硬币实邦验的事件有两个暗，即扳“隘正面朝上罢”背、矮“靶反面朝上耙”熬。如果等可能抛按硬币按次，坝“拜正面朝上的次数吧”颁是一个随机事件癌

12、，其可能取值的败结果是：肮。跟所有可能结摆果联系起来的唉“摆正面朝上的次数爱”背就是随机变懊 败量，也就是说以矮随机实验的结果疤为取值范围的变凹量就叫做疤随机变量稗。随机变量所取败值的集合如果是芭离散的就称为背离散型随机变量坝；扳如果是连续的就笆叫做板连续型随机变量佰。翱在随机变量的取靶值范围内，对离胺散随机变量而言半，随机变量取到暗某个或某些值的班可能程度有多大鞍？在探讨这个问把题之前，本书将背要引入概率的相胺关知识。爱掷一颗骰子，向板上的数字只有六拌个等可能结果：捌1，2，3，4班，5，6。如果案求事件扒“敖数字小于4的面板朝上翱”伴的可能概率是多背少，结果就是1凹/2。因为掷一搬次骰子数

13、字向上埃的可能结果有6跋个，事件盎“拌数字小于4的面霸朝上邦”背含有三个样本点扳，后者比前者就奥得到所要的结果挨。此时的样本空盎间或总体是指集办合盎。到此，我们可奥以给出事件斑发生的古典概率斑如下：案表示在所有可能笆的实验结果中，叭就某一个事件罢发生的可能程度安。奥例2-1 凹房地产开发企业摆的资产负债率如昂表2-1所示。碍表2-1 房肮地产开发企业的百资产负债率罢年 份版资产负债率（%般）挨1997案76.2傲1998伴76.1靶1999案76.1绊2000埃75.6皑2001板7坝5.0疤2002笆74.9背2003拔75.8叭资料来源：20敖04年中国统计摆年鉴稗按照1%的幅度罢把资产负

14、债率分巴成三个区间：艾74%颁, 碍75%挨)半，75%奥, 伴76%背)爸，胺 靶76%澳, 拜77%把)岸，并计算相应的哀频数和频率如表坝2-2所示。翱表2-2 资碍产负债率的频数昂和频率巴区 间懊频 数扒频 率拌74%，75袄%半)百1岸75%，76按%霸)巴3艾76%，77霸%按)靶3把通常情况下，频胺率可以当作概率伴来使用。因此，芭关于资产负债率肮的概率柱状分布岸图，如图2-1埃所示。百在本节中，罢表示事件，邦表示事件背的概率。概率的艾基本性质 安 如下：笆搬 熬任何事件耙的概率都位于0百与1的闭区间内皑，即0胺,鞍1。邦概率等于0的事芭件是不可能或没盎有发生的事件，按概率等于1的事

15、柏件是必然发生的扒事件。比如，每隘天太阳都从东边跋升起这一事件是哎必然事件，其概靶率为1，爱“颁农历初一月圆岸”肮这一事件是不可斑能的事件，其概扮率为0。用公式熬表示如下：熬0办奥P稗(稗A唉)啊爸1区间概率颁图2-1 资霸产负债率的概率懊柱状分布盎半 相互独立事件艾的和或积的概率半等于各个事件概芭率的和或积。霸比如事件颁相互独立，则班称为傲联合概率哀，把称为澳非条件概率奥或霸边缘概率碍。如果事件笆不相互独立，则翱有：半此时，联合概率办就等于边缘概率阿乘上条件概率，隘即扳其中芭表示在事件靶B败发生的情况下事败件熬A办发生的概率。上佰式给出了条件概坝率的求法：按澳 癌如果相互独立事艾件组成一个完

16、备昂事件组，则所有氨事件的和就是必般然事件，其概率瓣为1。伴例2-2 哎假设盒子里装有皑两枚骰子，随机跋抽取一枚骰子并巴抛到桌面上，计隘算数字3朝上的氨概率为多少？如搬果假设拌A柏表示奥“鞍随机抽取一个骰碍子阿”白，碍B把表示拔“阿数字3朝上搬”瓣，试求办A跋+颁B艾的概率。捌第一个问题的事矮件是氨AB搬，这样，所要求俺的结果全部列在白表2-3中。绊表2-3 随邦机事件的概率癌事 件唉概 率搬B埃B案|蔼A哀A俺B扮A摆+凹B矮事件是样本空间斑的子集，随机变瓣量所取的值是事伴件可能的数字表百征，由事件的概背率也就可求得随熬机变量的概率。碍接着，概率密度挨函数也随之给出疤。懊2.2.2 拌 跋概

17、率密度函数昂概率密度函数暗的曲线表示随机碍变量靶X哎取所有可能值概百率的集合的几何白表述。对于随机扒变量熬X氨所取的每一个可跋能值按，通过对应关系挨“笆”败，存在一个惟一疤的概率爸，即暗，与之对应。事拌件与随机变量通昂过概率密度函数傲和概率联系起来吧了。当傲是离散型随机变摆量时，概率密度爸函数可表示为：稗当暗是连续型的随机胺变量时，癌累积分布函数伴可表示为：版如果实验结果由百至少两个随机变唉量来表示，即一艾个结果是通过两百个变量取值后才柏能确定。这时的袄相应概率密度函吧数就是多元的。啊类似地，多元密捌度函数也一样表艾示，比如离散型吧二元密度函数芭可表示为：盎其中芭表示办联合概率般。相应的傲条件

18、密度函数扒是：鞍如果随机变量是扮相互独立的，则坝联合密度函数等奥于边缘密度函数摆之积：翱图2-1给出了俺概率密度分布。皑设扮X啊表示资产负债率把的频数，氨表示与 叭之相应的概率密隘度，则根据例2碍-1，得到以下拔概率密度和累积哀分布函数如表2翱-4所示。搬表2-4 哀 俺概率密度和累积巴分布函数哀X斑f哎(翱X澳)版X把F坝(稗X疤)摆1凹根据表2-4，坝可以做出累积分疤布函数的图形，稗如图2-2所示罢。办图2-2 捌 颁资产负债率的概罢率的累积分布函百数半密度函数的数字坝特征有：瓣（1）离散型随氨机变量吧X按的期望值瓣，即总体趋势的伴度量，也就是所皑有离散型随机变办量耙X搬与其概率密度函凹数

19、笆乘积的和，即袄在这里，应注意芭的是概率密度函爱数起到了权重的袄作用。比如表2邦-1的房地产企柏业的资产负债率澳的期望是：捌（2）期望的性爸质：不变性，即巴常数的期望等于疤自己；线性性，百即随机变量和的案期望等于随机变拌量期望的和；分熬离性1，即相互挨独立随机变量积疤的期望等于随机凹变量期望的积；板分离性2，即数拜与随机变量乘积伴的期望等于该数暗乘上随机变量的俺期望。拔（3）离散型随艾机变量巴X艾的方差肮或芭，即离散程度的奥度量，也就是随把机变量与期望差岸的平方的期望，疤记作：傲称为标准差。方巴差描述了随机变啊量取值的集中程白度，也就是说，岸方差越小，随机摆变量取值的范围坝就越小，或数值隘越集

20、中于均值或把期望。办表2-1的房地跋产企业的资产负把债率的方差， 注意公式的分母是“7”，这是严格按照定义计算的。实际上，分母应该是“6”。关于这点，将在后面说明。爸其计算如下：俺（4）方差的性稗质：常数的方差敖等于0；两个独罢立随机变量相加班或相减的方差等半于相应随机变量埃方差的和；数与疤随机变量乘积的挨方差等于该数平袄方再乘上随机变岸量的方差。凹期望和方差描述蔼的是单变量的密伴度函数的数字特瓣征。对于多维的埃密度函数的数字疤特征，要用协方矮差和相关系数来懊描述。 傲设敖为两个离散型随佰机变量，其协方胺差把定义为：坝这个表达式可改霸写成：碍当邦时，柏，即方差是协方靶差的特殊情形。盎（5）随机

21、变量耙X癌,拜Y奥的埃cov(凹X肮,办Y板)背的性质如下：傲若按相互独立，则伴。艾对于任意常数胺，有袄。坝（6）协方差和绊方差的关系如下艾：埃协方差八描述了爸的相关关系。对绊于这种关系，有暗更好的表示：相巴关系数扒。即阿相关系数艾描述了吧的相关关系，即啊为正数表示氨是正相关关系，搬为负数表示捌是负相关关系，熬等于0表示稗没有相关关系。氨相关系数与协方爸差的符号一致，癌同为正或负或零盎，而且相关系数袄界于拌-坝1和+1之间。扒例2-3 敖现在考虑全国别啊墅、高档公寓与办经济适用房的平扒均售价的相关系熬数和协方差。有胺关原始数据如表摆2-5所示。罢表2-5 全盎国别墅、高档公摆寓和经济适用房芭屋

22、的平均售价摆年 份爱别墅、高档公寓霸（元/盎m绊2懊）扮经济适用房屋（肮元/哎m埃2霸）叭1997八5382班1097摆1998袄4596白1035疤1999盎4503敖1093艾2000安4288吧1202搬2001暗4348岸1240隘2002捌4154爸1283白2003版4145吧1380背资料来源：20靶04年中国统计懊年鉴计算结果如下：稗别墅、高档公寓背与经济适用房的班相关系数协方差坝分别为：白-八0.659疤盎734矮绊958半盎233班和埃-耙344挨俺94.833俺胺758百板6八别墅、高档公寓坝与经济适用房的哀平均售价是负相哎关的，如图2-案3所示。别墅、高档公寓平均售价年

23、份平均售价（元/m2）经济适用房屋平均售价盎图2-3 别熬墅、高档公寓与版经济适用房的平拌均售价的相关性啊概率密度函数的袄数字特征除了以爱上介绍的外，这扒里再介绍三个：拜条件期望值和概凹率密度函数的偏八度及峰度。胺（7）条件期望摆值定义为：盎（8）随机变量澳X矮的挨n澳阶中心矩定义为案：盎当艾时，一阶中心矩伴是0；当败n凹=2案时，二阶中心矩唉就是随机变量的扮方差。方差衡量昂了分布的紧疏状氨况，然而，概率拜密度函数的对称笆性和分布的宽窄碍则分别由概率密疤度函数的偏度和绊峰度来刻画。扮概率密度函数的板偏度袄S班定义为：佰当靶碍0时，概率密度坝函数的几何图形哀右偏；当按3办时，概率密度函跋数的分布

24、是高峰哀态的；当霸3扳时，概率密度函鞍数的分布是低峰白态的，如图2-芭5所示。邦图2-5背 俺概率密度函数分柏布的峰度示意图邦从表2-5的经霸济适用房的平均岸售价数据可做出搬以下频数柱状分搬布图：澳图2-6是右偏挨低峰态的渐进正佰态分布图，其偏癌度为：班0.2322板23扮，峰度为：盎1.8578蔼36拔。相比之下，别搬墅、高档公寓的案平均售价呈现出拜较大的右偏高峰暗态柱状分布，其挨偏度和峰度分别哎为：盎1.4390捌03爱和艾3.8602隘36罢。2.02.50.00.51.0 1.51100 1400 1300 1200 1000 绊图2-6 经白济适用房平均售罢价频数的柱状分伴布图斑2.

25、2熬.3 败 败样本与样本空间吧前面求得的期望捌值、方差、协方扒差、条件期望值暗、峰度、偏度等安都是在样本空间半内求的总体概率拌密度函数的数字碍特征。在实际工啊作中，人们往往半难于掌握样本的皑总体状况，而只罢是掌握其中某些癌数据，如何通过蔼这些样本来估算俺或判断总体样本霸的情况，则是一扒个艰巨的任务。瓣比如，要评估全啊国人口平均的生澳活水平，人们很把难通过全国人口癌普查来实现，而伴是通过局部抽样叭调查来提供判断霸的依据。为此，笆掌握样本的数据百特征求法是必要搬的步骤。下面就半来实现这样的步昂骤。1样本均值翱设白(靶)板是随机抽取关于啊随机变量凹的某个实验的懊n芭个样本值，则随罢机变量案的样本均

26、值拔定义为：懊这个定义的阿n翱表示样本的容量肮。通常情况下，拜总体期望往往是拌不清楚的，需要斑通过样本的均值昂来估计。如何去颁评估样本均值与胺总体期望之间的哀偏差，这是 霸衡量抽样成功与颁否的关键之所在芭。这个问题留到阿以后需要时再讨懊论。后面所介 吧 绍的样本数字挨特征都是对总体案数字特征的估计叭，有关的讨论也柏将留到以后适当办时做出。2样本方差按设安(案)挨是随机抽取关于捌随机变量盎的某个实验的艾个样本值，则埃的样本方差跋定义为：安在样本方差定义瓣中，分母是罢，而不是阿，原因是随机变捌量扳，柏，不是独立的，扮而把(霸)案的任意背个变量是线性无柏关的。由于这个邦缘故，分母为吧。3样本协方差百

27、设翱和挨(百)艾是随机抽取分别芭关于随机变量癌X笆和敖Y案的某个实验的胺个样本值，则关皑于随机变量癌X巴和蔼Y把的样本协方差翱定义为：靶4样本相关系按数阿通过样本协方差板和样本方差计算拔样本相关系数癌r艾表示为：5样本偏度把关于随机变量板X案的样本偏度定义矮为： 见王文中（2003）。6样本峰度傲关于随机变量疤的样本峰度定义巴为：半2.2.4瓣 皑 瓣概率分布简介蔼当求随机变量的斑数据特征时，注哎意到离散型密度稗函数或连续型密败度函数扮演着重懊要角色。实际上霸，概率密度函数隘描述了随机变量芭的分布状况。人鞍们通常使用的四鞍种概率分布是：芭正态分布盎、爸分布、安t艾分布和蔼F佰分布。下面将简伴要

28、介绍这四种基颁本的概率分布。1正态分布稗几何上，随机变办量所取得的所有芭可能值的概率值傲集合就形成了对俺应的概率分布。扳比如在一个充分阿大的区域里，位敖于该区域内某年笆龄段内人们的身半高数的集合具有八正态分布的特征伴。也就是说关于肮身高这一随机变肮量，身高数围绕班着全体身高数平癌均值对称分布，蔼使得这些数据的班相应概率值所形肮成的图形面积刚板好以平均值为中坝心分成面积对等斑的两部分，并且蔼整个面积恒为1办。而且，越靠近白中心，数据分布扳得越稠密，其概半率所占的面积也扳越大，离中心越袄远，数据分布越俺稀疏，其概率所奥占的面积也越小瓣。象此类随机变芭量的概率分布，蔼由其总体期望邦和方差捌刻画出来，

29、如图隘2-7所示。随稗机变量的概率密安度的分布有大约敖68%落在区间爱和密度函数所围癌成的区域内，大搬约95%落在区佰间爸和概率密度函数俺所围成的区域内班，而约有99.懊7%的概率分布癌落在败和密度曲线所围搬成的区域内。芭图2-7描述的阿几何图形是正态把分布的情形。一百般情况下，样本八的概率分布未必绊总能呈现出严格扒的正态分布，而胺是往往呈现出有凹偏的渐进正态分拔布或非正态分布白。比如，图2-板6已经呈现出了靶右偏低峰态的渐霸进正态分布。傲图2-7 正哎态曲线下的区域肮面积分布罢关于随机变量罢正态分布的概率哀密度函数如下所霸示：蔼记做：班。关于随机变量埃的密度函数值的百计算是比较复杂捌的。所幸

30、的是这翱些密度函数值可八以通过正态分布班表直接查到。癌性质2-15 澳 岸多个服从正态分背布的随机变量的啊线性组合仍然服碍从正态分布。这叭些随机变量称为岸正态变量跋。叭设昂和搬为两个随机变量熬且分别满足凹和搬，令笆，则败为服从正态分布疤的随机变量，且拜如果百和拌相互独立，则案设翱为正态变量且满拜足扳，令安则捌称为哎标准正态变量般，记为癌。氨统计学上，如果艾知道数据的总体拌分布是正态的，板但是不知道总体癌期望和方差，那吧么如何从总体中拜抽样估计出均值凹和方差呢？一般皑情况下，从正态矮总体得到的随机安样本均值和方差碍可以作为总体的巴期望和方差的估爱计值。但是，如芭果抽样均值和方颁差未能客观地反艾映

31、总体的期望和昂方差，而且当独皑立地得到若干个案随机样本时，样把本的均值和方差埃仍然与总体的均捌值和方差有偏，阿那么该如何处理澳呢？大家知道，安随机样本的均值岸仍然是随机变量熬，如果把这些估熬计量如样本均值捌作为抽样样本，昂能否估计得到真板实的总体值呢？拌为了回答这个问扮题，先得寻找理翱论支持，因为要暗弄清楚局部与整艾体的关系。如果唉还没有从理论上罢了解局部与整体笆的关系，那么，碍任何局部抽样可爸能面对着这样一奥个问题：抽样分扒析结果可信吗？板的确，如果理论靶上未能给予肯定癌的回答，那么抽绊样分析基础是不澳扎实的。应该指挨出的是，这里的懊抽样是有坚实理爸论基础的。下面扮将回顾一下相关绊理论。傲独

32、立同分布随机坝变量扳是指构成容量为昂的样本：蔼，其中每一个跋是从服从同一个癌概率密度函数的败样本总体中独立靶抽取的。比如，阿且每个翱是独立抽取的，隘，则霸是独立同正态分哎布的随机变量。唉统计理论叭 傲若皑且每个版是独立抽取的，傲，则柏以上定理就是中摆心极限定理。一胺般情况下，可知绊：般中心极限定理哎 肮如果拜是服从期望为坝，方差为百的分布的随机样挨本，则随着样本般容量的无限增大按，样本均值鞍趋于正态分布。奥即颁中心极限定理说哎明：独立同正态隘随机变量，以其按均值作为样本，蔼其更向真实的总吧体期望集中，并般且，随着均值的癌均值作为样本，熬样本将以幂递增胺的速度向总体均扒值集聚。 若随机变量独立且

33、其概率密度函数未必一致，则当样本容量无限增大时，在一定条件下，样本均值仍然近似服从正态分布（Linberg Fell理论）。见古亚拉提（2000）。凹因此，随着样本敖容量的增加，样奥本的均值和方差罢可以在统计意义暗上替代总体的期埃望和方差。绊现在可以讨论从扒正态总体抽样的伴方法了。本书将拜介绍两种方法：瓣解鞋带抽样法和扳Monte C扮arlo实验。邦解鞋带抽样法 懊 耙解鞋带抽样法实翱际上就是复原随巴机抽样法。具体拔做法是：任给一笆个有限样本，当巴第一次等可能抽捌取一个结果后，板再把它放回原样唉本，然后重复第伴一次的过程，直敖到抽到符合容量扳要求的样本。扮现在举一个例子奥来说明如何使用奥解鞋

34、带抽样法。奥假设有八个序号啊，如000，0跋01，010，白011，100拜，101，11蔼0，111，并唉以这8个序号作蔼为第一个样本，扒然后按照解鞋带版抽样法生成其他斑样本，标号为样罢本1，样本2等板，直到抽到所需靶的样本容量为止矮。解鞋带抽样法爸适合于那些通过拔有限样本信息来靶解读某些特定特敖征的实验。不妨啊通过解鞋带抽样扒法抽出七个样本摆，如表2-6所矮示。昂表2-6 解八鞋带抽样法举例凹样熬 邦本翱样本1碍样本2绊样本3翱样本4哎样本5懊样本6肮样本7罢000拔100鞍100办111般010暗110唉100扒010颁001俺010案010按110跋010吧111瓣001艾110唉01

35、0熬000邦001爱010敖110敖010懊101熬101吧011碍100澳101凹000按011百001碍001岸011瓣100扳111疤111瓣110耙001案011奥111瓣010傲续表坝样扳 鞍本氨样本1佰样本2斑样本3般样本4澳样本5啊样本6扮样本7啊101唉110暗101半101肮000艾110搬010澳000白110班001百001俺110艾100唉010阿101昂001败111绊101啊110笆001拜101办101哎110拜101白Monte C爸arlo实验 鞍 鞍Monte C昂arlo实验简安单来讲就是估计碍量（比如样本均袄值）的样本分布版法。具体来讲就疤是对于给定的任

36、拜意一个有限样本澳，由解鞋带方法癌，抽取败个样本，再求各板个样本的均值，把然后再求均值样巴本的估计量。这板个过程就叫做M疤onte Ca瓣rlo实验。氨为了求某个总体安的期望和方差，安可采用Mont癌e Carlo稗实验。比如，研懊究1995案扮2002年期间巴外国人到中国旅案游人数的总体均爸值和方差。考虑熬到总体样本采集蔼的困难性，这里瓣希望通过七个国哎家到中国旅游人肮数的统计数据来摆估算所有外国人跋到中国旅游人数佰的均值和方差。按通常情况下，如哎果直接对某个样捌本求其均值和方拔差，将得到较为唉明显的估计偏差案。为此，应用M矮onte Ca翱rlo实验，根佰据1995颁岸2002年的统叭计数

37、据来估计总芭体均值和方差如挨表2-7所示。 本书只是介绍Monte Carlo实验的方法，并没有对所估计的值作任何检验。类似的检验将在后面介绍。挨表2-7 M捌onte Ca胺rlo实验的应般用单位：万人爱国斑 笆 爱别稗1995敖1997把1998扮1999按2000搬2001碍2002氨德国爸16.65扮18.47俺19.19斑21.76搬23.91颁25.34佰28.18矮法国白11.85绊13.13白13.80拔15.56鞍18.50奥19.95挨22.21版意大利扒0澳6.37矮6.51哎7.25阿7.22扒7.78稗7.77斑9.17凹荷兰霸3.49罢5.23昂5.89鞍7.01搬

38、7.60邦9.30昂10.04拌葡萄牙搬2.56坝3.58板3.85摆4.02氨2.28柏2.68伴3.61氨瑞典伴3.52哀3.85鞍4.06扳4.68安5.36绊5.28凹6.28昂瑞士佰3.43澳3.03拜2.84白2.99癌3.07隘3.08隘3.24癌人数澳人数澳人数碍人数隘人数傲人数半人数板平均值邦6.84熬7.69罢8.13熬9.03稗9.79隘10.49艾11.82稗平均值样本的平俺均值氨9.11癌平均值样本的方般差傲0.737板资料来源：20柏04年中国统计跋年鉴哀注：第一列的国隘别是指七个国家翱，与其相对应的搬各行数据是相应把各年的旅游人数捌。22分布氨设稗，则罢。由统计学

39、知识巴可知，败服从自由度为1艾的扮分布， 的英文读法是chikai。跋记做坝。一般情况下，傲设艾且搬互相独立，则暗自由度是敖分布的重要参数般。一般来讲，自隘由度是指刻画某敖个特征，比如样半本均值或方差，澳以及独立观察量绊的个数。例如，柏样本方差吧的自由度为澳，因为隘，而任意靶个艾是线性无关的。八分布随着自由度暗的增加而趋向正绊态分布，如图2安-8所示。22分布的概率密度自由度增加0癌图2-8 案变量的密度函数巴分布示意图版从图2-8可看般出，柏分布的密度函数把的定义域是正实岸数域。自由度越澳小，哀分布越右偏，自昂由度越大，笆分布越呈现出对矮称的形态。自由埃度是碍分布的重要特征唉。事实上，可得扒

40、以下性质：八性质2-16 耙 按分布的期望是其笆自由度，方差是奥其自由度的两倍佰。胺理论上可证明 澳 皑设样本方差碍是来自于总体方爱差为靶的正态分布的随搬机抽样样本，则扳有吧例2-4 安依2003年中艾国35个城市的蔼住宅建设所投入埃的资金（万元）唉作为原始数据，挨然后把这些数据板扩大一倍，并按背顺序把前半部分芭或后半部分加上罢负号，形成样本胺容量为70的新败数据。同时，让瓣每一个数据均除暗于1瓣拜936板暗034，则这些柏数据的概率分布巴呈现出标准正态敖分布。那么，这半些数据的平方就班是服从自由度为胺1的笆分布。考虑到数罢据在运算过程中安的系统误差，所伴得到的数据未必胺呈现出严格的标拌准正态

41、分布和安分布，但是可以皑近似地认为样本扒数据满足理论的癌要求。因此，加哎工后的原数据如肮表2-8和表2办-9所示。罢表2-8 左佰偏高峰态正态分氨布的样本数据爸-矮3.27办E拔+00熬-澳1.00啊E昂+00班-耙0.1172安38拜-胺5.35败E芭-坝01邦6.75班E摆-疤01安0.3312氨421疤0.4048澳834安-跋7.80艾E拔-靶01暗-捌0.3311背14昂-扒9.16八E拜-唉01傲-板0.4848扒29叭0.2489扒998佰6.45颁E败-拜01懊0.1023肮515俺-捌0.1865板08敖-氨5.87蔼E挨-扒01板-佰9.76哀E拔-叭01疤-艾7.07俺E

42、碍-颁01白0.2587巴491斑0.3913氨909哎0.0657澳318扒-翱0.0882颁51白-澳0.2301百48暗-板0.1551白37佰-摆0.2834柏61安3.49背E败+00隘1.64巴E办+00佰0.1444邦432疤-矮0.0639傲31八-凹0.3826耙78爱-肮0.2693把34阿-哀1.29安E把+00坝6.68霸E坝-爱01拌0.1187扒624扮0.1234班069傲-矮6.75碍E捌-氨01昂-碍0.3312捌42埃-矮0.4048把83摆-霸3.27柏E班+00熬1.00板E般+00哀0.1172伴381扒5.35霸E白-熬01摆-坝0.249唉-昂6.

43、45巴E凹-跋01颁-隘0.10235岸2瓣-扒7.80翱E霸-鞍01芭0.3311唉135隘9.16扒E巴-邦01肮0.4848胺293搬-伴0.2587笆49背-蔼0.3913拜91笆-吧0.06573摆2扒-爸0.1865扳081拜5.87班E版-白01耙6.68拜E哎-案01澳7.07唉E澳-颁01耙-般3.49懊E熬+00案-碍1.64蔼E袄+00哎-傲0.1444敖43疤-败0.0882懊51岸0.2301办478凹0.1551澳373扳0.2834罢609罢-隘6.68按E啊-百01懊-岸0.1187安62芭-霸0.123奥407敖-颁0.0639唉307白0.3826袄777癌

44、0.2693艾336罢1.29袄E蔼+00靶资料来源：20矮04年中国统计扳年鉴阿表2-9 疤 阿服从自由度为1绊的阿分布的样本数据岸1.07矮E熬+01阿1.00敖E扳+00皑0.01374佰5稗2.86吧E爱-扒01隘4.55敖E佰-俺01办0.1097罢21颁0.1639爱31半6.08柏E版-百01跋0.1096邦36矮8.40暗E艾-翱01俺0.2350凹59碍0.0620暗01敖4.16邦E版-凹01鞍0.0104案76盎0.034笆785案3.45办E扒-瓣01叭9.53埃E耙-把01疤5.00半E艾-扒01叭0.0669办51昂0.1531奥87拜0.0043般21靶0.007

45、7坝88敖0.0529般68岸0.0240扳68唉0.0803吧5氨1.22扒E翱+01邦2.68罢E肮+00翱0.0208昂64安0.0040半87白0.1464背42败0.0725邦41霸1.67败E癌+00氨4.46百E胺-氨01澳0.0141般05笆0.0152霸29叭4.55瓣E巴-八01罢0.1097拔21稗0.1639爸31疤1.07俺E八+01扒1.00爱E案+00俺0.0137绊45盎2.86氨E巴-巴01艾续表版0.0620斑01耙4.16百E哀-扒01班0.0104背76巴6.08挨E疤-板01蔼0.1096斑36敖8.40版E袄-傲01肮0.2350巴59懊0.0669

46、伴51巴0.1531笆87捌0.0043芭21昂0.0347百85按3.45胺E霸-捌01白4.46佰E熬-肮01挨5.00板E奥-懊01爸1.22绊E白+01佰2.68吧E白+00敖0.0208翱64般0.0077疤88鞍0.0529爸68阿0.0240坝68敖0.0803俺5俺4.46把E瓣-敖01罢0.0141拌05氨0.0152盎29斑0.0040暗87傲0.1464按42摆0.0725翱41叭1.67芭E办+00搬资料来源：表2罢-8隘表2-8和表2奥-9的频数柱状鞍分布图分别如图袄2-9和图2-靶10所示。14810462.251.250.00-1.2502-2.25频数12爱图2

47、-9 左斑偏高峰态正态分翱布凹注：中值：0.般012百霸371，标准差碍：0.995扒跋919，偏度：隘-挨0.040案懊894，峰度：巴8.266搬摆771。0俺图2-10 昂自由度为1的样坝本埃跋2办分布3t分布岸设样本方差爱是来自于总体方斑差为坝的正态分布的随摆机抽样样本，正佰态分布的期望为绊。则半如果不知道总体把方差版，而只知道样本霸方差作随机变量疤则称随机变量翱满足自由度为靶的懊分布，记做按。绊分布的定义说明办，如果总体分布敖是均值为袄的正态分布，其笆方差由随机抽样熬样本方差般代替，则样本均疤值服从扳分布，袄分布的自由度等皑于样本方差的自瓣由度。扒分布随着自由度盎的变化而变化，奥如图

48、2-11所拜示。伴当自由度趋向无哀穷大时，邦t氨分布曲线逼向标疤准正态分布曲线哎。氨图2-11形象板地说明了柏t八分布曲线随着自稗由度的变化而变蔼化。实际上有以霸下 性质：自由度增加标准正态分布0t埃图2-11 板 吧不同自由度下的胺t扮分布般性质2-17胺 盎t氨分布的期望为0靶，方差为袄，其中拜k班为坝t叭分布的自由度。稗从形态上看，百t佰分布比标准正态隘分布略显般“叭肥大矮”版一些。但是，随柏着翱t俺分布的自由度不胺断增长，氨t埃分布逐渐趋同于氨标准正态分布。皑例2-5 傲 翱根据全国35个澳城市于2003罢年所投入住宅建芭设资金的实际数隘（万元），对其霸加工后形成样本罢数据，如表2-案

49、10所示。拜表2-10 把 艾服从自由度为3案的败t佰分布的样本败-半2.47耙E吧+00百-哎0.2976扳23坝-拜1.07敖E皑+00矮-胺7.81靶E哀-绊01班4.37吧E昂-翱01芭-坝8.68阿E矮-耙01绊-绊9.17扒E百-奥01柏-安3.65版E搬+00笆-靶4.78案E袄-蔼01扮-八4.21艾E扮-版01爱3.58按E白+00袄-啊2.42岸E绊-隘02靶-熬8.02板E罢-澳02俺-盎9.09袄E胺-案01败-败9.94办E翱-蔼01稗-般2.13版E捌-翱01捌6.56拌E坝-斑01安-半1.01矮E靶+00班资料来源：20耙04年中国统计败年鉴搬根据表2-10坝，

50、绘出奥t昂(3)佰分布图2-12伴。频数隘图2-12 敖 翱自由度为3的傲t隘分布搬注：这个频数曲艾线图是右偏高峰巴态的。之所以图瓣形会右偏，在于癌样本的采集。但背从皑t扮分布的示意图来肮看是可接受的。4F分布吧F摆分布称为傲方差比分布坝，也就是两个相扒互独立的样本方隘差之比的分布，班目的是为了检验坝两个总体分布的败方差是否相等。爱具体来说，设样本和样本皑相互独立，样本摆的方差分别为和斑如果半疤，则随机变量唉服从分子自由度暗为胺和分母自由度为敖的阿F按分布，如果绊，记做埃。一般地有 见古亚拉提（2000）。肮F霸分布随着自由度般的增加而逐渐呈斑现出正态分布形安态，如图2-1阿3所示。正态分布随

51、机变量F分布的概率密度自由度氨图2-13 爸F分布随着自由挨度变化而变化碍性质2-18 坝 搬给定显著性水平靶，有俺性质2-19 笆 癌。板性质2-20 白 稗，其中爱与碍相互独立，且若充分大，则。背以上几个性质描霸述了袄分布、拔分布和耙分布之间的某些白联系。这些性质伴在古亚拉提（2八000）都有说稗明。对八分布来说，当分白子自由度矮充分大时，随着办分母自由度案的增加，根据性办质2-20，随拜机变量哀是趋于渐进标准坝正态分布的。即爸2.3 统计癌推断搬随机抽样的样本罢跟总体有什么关背系呢？能否通过拌样本的数字特征凹来估计总体的情敖况？众所周知，版来自同一个总体阿的每一个样本很艾可能具有不同的熬

52、统计特征，比如鞍样本均值、方差拔等可能是不一样吧的。为了处理样鞍本与总体的关系板，统计推断扮演啊了重要的角色。澳统计推断就是从瓣样本的统计特征坝推断出总体的统案计特征，比如从佰样本的均值推出叭总体的均值。本吧节主要介绍估计般与假设检验。摆2.3.1 岸估计爸给出参数的估计白值是统计推断的埃基础。要给出参罢数的估计值，首罢先要确定 总埃体的分布，比如跋是正态分布、矮分布、埃分布或是啊分布；其次从总罢体中随机抽样，隘并给出样本特征吧值的估计；然后扳通过点估计或区半间估计得出参数捌估计，如图2-捌14所示。跋图2-14 爸估计的一般过程澳例如，设碍，其中参数拔、芭为未知。现在从爸正态总体中随机般抽取

53、容量为般的样本，则有稗，也就得出总体败参数耙的估计值是拜，称为翱的懊点估计按。Monte 叭Karlo实验盎可以实现点估计埃。另外，敖设隘表示随机样本的叭样本方差，则氨已经知道昂统计量满足自由白度为安的背分布，在给定显疤著水平按下，查碍分布表得出相应巴的临界般值为啊，得概率分布俺于是把背统计量代入上式昂，得到因而，巴称为总体均值的伴区间估计胺，两个端点分别鞍称为上界和下界俺，拌称为疤置信系数佰。澳称为吧显著水平俺或绊犯第一类错误的翱概率按。把表面上看，犯第摆一类错误的概率背似乎很小，实际安上，情况是否总隘是如此呢？答案鞍是否定的。具体氨情况可参阅第7澳章的实验3。样颁本的抽样方式决笆定着犯第一

54、类错巴误的概率的实际懊大小。如果样本瓣的抽样方式是随八机的，那么，犯翱第一类错误的概版率确实不会超过啊。但是，如果样盎本的抽样方式是稗主观的，那么，隘犯第一类错误的跋概率很有可能大昂于叭。由此看来，人鞍们的处事方式决拔定着其实际犯主叭观错误的可能性哀的大小。绊如果知道了昂，但是不知道瓣，则有以下区间澳估计其中，坝现在举一例说明罢点估计和区间估扳计。假如人们从阿某一个总体中随败机抽取样本容量鞍为35的样本（矮请参考第3章的奥例3-1），如坝表2-11所示办。坝表2-11 靶来自于某总体的哎样本吧-八3.1暗0白0.05绊0.02疤-懊2.6奥0败2.5般0背-班1.56昂0.55八-矮1.01埃

55、-罢0.13半0艾00半0.06斑-叭0.81哀1.柏16懊0.97搬-把2.2安0翱-拜0.83捌-稗1.64班-艾1唉00凹百0.41奥2.82奥0.02鞍-肮0.3笆0哀-摆0.1疤0芭-般0.94皑-罢0.32澳-澳0.2按0背0.6隘0芭-摆0.05奥-扳1.46败-暗4.91耙-搬1.45澳-斑1.25昂-绊2.14按-霸0.37佰-邦0.62拜为了确定总体的鞍期望凹和方差肮，不妨用样本的扮中值敖和方差捌作为懊和爸的点估计。在显爸著水平捌，比如5%或1把%下，给出总体氨期望哎和方差坝的点估计和区间俺估计如下：点估计：，。扳区间估计：因为傲已知罢=敖-背0.5665疤7跋，碍=1.4

56、54班隘61柏，八=白佰0袄.绊05俺，挨=35熬，查澳分布表知暗，因此得到区间矮估计是：百。碍如果班，不妨设吧，则半作为总体期望估哎计值的概率的可扳能程度是95%袄，不是总体期望版估计值的可能性按只有5%的机会唉。于是，得到标爱准差的区间估计笆为：案，因而，霸 芭。皑关于标准差的点袄或区间估计，还隘可以通过表2-岸13来实现。斑点估计主要包含版以下性质班：（1）线性性肮线性性是指估计癌量是样本观察值般的线性函数。比凹如样本均值就是败一个线性估计量肮。这里的均值是鞍指算术平均或加罢权平均，而不是按几何平均，因而绊均值是关于观察艾量的线性函数。（2）无偏性巴无偏性是指总体办参数的估计量至班少有一

57、个与参数胺的真实值是一致奥的。比如，从标凹准正态分布总体案得到的任意独立俺随机抽样的均值霸总是0，条件放百宽一点就是从某胺一总体抽得的样颁本的均值等于该碍总体的期望。具拌有这样的性质的唉总体称为是无偏吧性的。唉分布是无偏的，班分布、斑分布则都是有偏肮的。（3）有效性蔼有效性是指存在瓣多个无偏估计量板的情况下，最小叭的估计量就称为胺是有效的。这个昂性质可从图2-吧11中看出，正爸态分布的方差就办是有效的，而且靶是最优的。邦（4）最优线性挨无偏估计量胺最优线性无偏估蔼计量是指在存在凹多个线性无偏估柏计量的情况下，八方差最小 的那版个无偏估计量就疤成为最优线性无捌偏估计量。扮分布是无偏分布般，但不是

58、最优的熬。啊分布离最优分布昂有多大的程度呢奥？从方差的角度叭来看，差距为：阿2霸/(鞍k盎-爸2鞍)。随着自由度敖的增长，啊分布不断地逼近氨标准正态分布，坝其方差离最优的半距离越来越近。（5）一致性柏一致性是指多个摆估计量随着样本俺容量的增大而趋摆于参数的真实值安。埃分布巴、俺分布都具有一致败性。哀2.3.2 靶假设检验皑估计值是统计推叭断的一个重要组霸成部分，然而，挨仅靠估计值也不阿能对总体参数给蔼出更加合理的解岸释。因此，对估背计值作检验是统哀计推断必不可少爱的关键步骤。检瓣验假设的第一步办是提出假设等待熬检验。比如，要耙检验矮，其中哀为大于0的数。唉为此，可以给出凹：零假设:颁的备择假设

59、记为瓣，有以下三种情傲形：单边备择假设。单边备择假设。双边备择假设。碍下面将通过置信拜区间法和显著检澳验法来检验零假澳设唉:扮。1置信区间法这里已经知道如果落在爸内，就要接受零坝假设背，否则就拒绝零澳假设俺，称为罢第一类错误案，也就是说坝弃真错误摆。如果样本不是哀来自均值为隘的总体，而接受啊了懊，称为办第二类错误败，也就是说氨取伪错误半。犯第二类错误奥的可能性是存在败的，有时，第二碍类错误的概率也暗是很大的。第二奥类错误常常发生翱在判断迁移过程搬中，也就是依据叭来自某个总体的胺样本去判断另外傲一个总体或样本耙的状况，比如作白点估计或区间估岸计，从而导致张胺冠李戴的错误发奥生。哎对于同一个样本佰

60、，人们一般做不盎到同时减少犯第哎一类错误和第二八类错误的概率，氨通常的做法是先按固定一个，然后碍考虑另外一个减盎少的可能性，见扒古亚拉提（20柏00，第70页板）。第一类错误半用概率奥表示，第二类错隘误用概率按表示。不犯第二扳类错误的概率为哀，也就是说零假暗设安是错误的而拒绝笆了零假设般，则称为板检验的功效熬。前面的例子给翱出了在显著水平拌5%下的双边备坝择假设检验。如笆果是单边备择假氨设检验，应该有颁：和2显著性检验靶显著性检验是一皑种完备的、二选熬一的假设检验方搬法。比如设挨，其中参数稗、安为未知的。现在办从正态总体中随傲机抽取容量为佰的样本，则有败。设搬表示随机样本的挨样本方差，则稗作零