圆柱、圆锥、圆台（一）

1、圆柱、圆锥、圆台（一）（高一数学立体几何）（案例来源：刘萍，北京市海淀实验中学， 【教学目标】知识与技能1.理解圆柱、圆锥、圆台的概念，以及它们之间的联系与区别；2.掌握圆柱、圆锥、圆台的性质，并会解决与圆柱、圆锥、圆台特殊截面有关的问题；3.了解旋转体的形成过程；4.掌握圆锥体的最大截面问题。过程与方法1.观察与比较、试验与猜想、分析与综合、抽象与概括、发展与应用；2.通过动手操作和协作探讨，培养学生的实践能力、发现问题、分析问题和解决问题的能力。情感态度与价值观1.激发学生的学习兴趣和求知欲；2.培养学生的探索精神和创新意识，发展学生的数学能力。【学习者分析】认知水平：已经掌握了棱柱、棱锥

2、和棱台的概念和性质；信息素养：掌握了基本的计算机操作，用过ZZ软件，并表现出很大的兴趣。【教学的重点、难点】重点：圆柱、圆锥、圆台的概念和性质。难点：圆柱、圆锥、圆台的截面问题。【教学环境与媒体】教学环境：多媒体网络机房；学生用机46台，教师用机1台。教学媒体：Z+Z立体几何智能教育平台（以下简称Z+Z软件）教师演示、学生探索的工具；首师大虚拟学习社区网络教学支撑平台智能网络教学支撑平台（简称首师大虚拟学习社区网络教学支撑平台）教师布置学习任务、学生查看、教师提供资源、在线交流讨论和提交电子作业的工具；PowerPoint教师演示的工具。【教学设计思路】本节课的主要思路是把问题还给学生，利用信

3、息技术让学生经历完整的实验模拟、知识建构过程。整节课以问题为主线，通过教师设计的问题系列把“圆柱、圆锥、圆台”的有关概念和性质组织成了一个不断发现问题、明确问题、解决问题的过程，让学生在不断解决问题的过程中进行数学探究。教学过程流程图如图1所示：图1 “圆柱、圆锥、圆台”的教学设计思路【教学过程】1、导入新课，创设情境课前教师要求学生总结棱柱、棱锥、棱台的性质，并上传到首师大虚拟学习社区网络教学支撑平台。本节课一开始教师挑选出了一份学生作业，并让该学生到讲台上向大家演示。该生用PowerPoint演示了从一个立方体变化到棱台，再变化到棱锥的过程，清晰地展示了这三者之间的关系，为类比学习圆柱、圆

4、锥、圆台相关知识奠定了基础。然后教师提出本节课要研究的内容：圆柱、圆锥、圆台的概念和性质。2、讲解基本概念，学解老问题教师先利用PowerPoint展示圆柱、圆锥、圆台的图形，再借助Z+Z软件展示圆柱、圆锥、圆台的形成过程（见图2），并提出问题：“圆柱、圆锥、圆台是由什么平面图形绕着哪条直线旋转得到的？”学生通过计算机观察、比较，通过描述图像的直观特征，自然得到圆柱、圆锥、圆台的概念。图2 圆柱、圆锥、圆台的形成过程3、系列问题探索学解新问题通过下面设计的三个问题，让学生掌握圆柱、圆锥、圆台的关系和性质，并通过对截面的研究掌握学习立体几何的一个基本方法将立体几何问题转化为平面几何问题。探索阶段

5、的活动序列为：问题1:圆柱、圆锥、圆台之间有何关系？学生利用鼠标拖动圆台上底一动点D，观察三者之间的关系（在ZZ平台上进行）图3 圆柱、圆锥、圆台三者关系的研究图学生通过在Z+Z平台上拖动圆台上底的一个动点，可以很清楚的看到圆柱、圆锥、和圆台三者之间的关系：截圆锥可以得到圆台；圆台上底变小可以得到圆锥；圆台上底变大可以得到圆柱。图4 圆柱、圆锥、圆台三者关系的结论图问题2:平行于底面的截面有何性质？轴截面(过轴的截面)有何性质？教师向学生展示圆柱、圆锥、圆台的截面图形，然后由学生总结出它们的性质。 图5 圆柱、圆锥、圆台的截面图形设计意图：这些截面图形都是平面图形，学生均已熟练掌握，所以通过截

6、面来学习立体几何可以加快学生的学习。学生经过在Z+Z平台上观察、操作，得出如下结论：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。问题3：圆柱、圆锥、圆台的母线、高和底面半径有何关系？教师提示：只需研究其轴截面的一半。学生通过研究其轴截面的一半即可得到如下结论：图6 圆柱、圆锥、圆台的母线、高和底面半径的关系结论：体的问题要转化为面的问题来研究。4、课堂强化练习解决难题 通过首师大虚拟学习社区网络教学支撑平台，学生在学生界面上可以看到下列练习：（1）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长是10cm，求原圆锥的母线长。（学生完成在本

7、上）（2）判断下列命题是否正确？平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形。平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形。过圆锥顶点的截面是等腰三角形。 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形。 图7 判断题辅助图形 设计意图：训练学生的空间想象能力。教师放手让学生自己去尝试解决问题，每个学生都以自己的经验为背景建构对事物的理解，可能只理解到事物的不同方面，甚至得到的是错误结论，这时再让学生通过学生机利用教师做的课件，观察截面的变化，得出结论，这样使学生对圆柱、圆锥、圆台的性质有了更高层次的认识。 5、自主发现问题下面一组练习的目的是让学生“自主探索”，让学生沿着提出问题的思路利用Z+Z主动思考、探索，得出各问题的

8、结论。练习1：已知一个平行四边形，分别以邻边所在直线为旋转轴旋转这个平行四边形，得到的几何体是什么形状？设计意图：目的既是对旋转体概念进一步加深理解（体是由面绕轴旋转得到的），又能拓宽学生的思维（不同的面可以旋转出不同的旋转体）。学生表现：学生在课堂上积极动手参与，不断尝试，表现出了极高的热情和强烈的求知欲。下面三幅图是课堂上学生进行的探索：图8 部分学生的作业练习2：平行于圆锥底面的截面与底面的面积比等于什么？（教师提示：对比棱锥的性质，可参考多面体的有关资料）练习3：圆台的中截面面积与其两个底面积的数量关系是什么？（教师提示：对比棱台的性质，可参考多面体的有关资料）练习4：过圆锥顶点及两条

9、母线的所有截面中，哪个截面面积最大？（教师提示：打开Z+Z中的“截面积大小”文件）设计意图：训练学生如何将立体几何的问题转化为平面几何的问题的能力。6、师生共同总结学生通过在ZZ平台上不断探索后，得出了圆柱、圆锥和圆台的性质，教师帮助学生一起总结得出结论：课堂小结项目圆柱圆锥圆台定义以矩形的一边为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体确定的条件底面半径和母线底面半径和母线(或高)两底面半径R、r和母线（或高）性质轴截面的性质全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形平行于底面的截面性质等圆圆圆【专家点评】数学教学的根本目的在于使学生掌握数学的基础知识、基本技能，发展学生的基本数学能力。本节课的总体思想是问题解决式的教学思想，把教学过程当作学生的认识过程，引导学生经历知识的发生、发展、深化过程，探索数学问题的分析、求解思路。这既是学生牢固掌握所学数学知识的需要，也是使学生的数学能力得到充分培养的需要。教师经过精心的教学设计，将教学目标转换为能刺激学生兴趣的又符合学生“最近发展区”的系列问题：从学解老问题开始，唤起