老师课件复变函数第3章

1、第三章 复变函数的积分1复变函数积分的概念及性质2.柯西-古萨定理及推广4.柯西积分公式及高阶导数3.原函数与不定积分5.解析函数和调和函数1 光滑曲线的概念回顾: 由有限条光滑曲线依次相接的所组成的连续曲线称为按(逐)段光滑曲线.特点 （1）光滑曲线上的各点都有切线 （2）光滑曲线可以求长 按(逐)段光滑的闭曲线称为周(围)线.闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.曲线方向的说明:一般: 曲线C的正方向总是指从起点到终点的方向.那么终点到起点的方向就是曲线C的负向,记为C-对周线而言

2、,逆时针方向为正方向,顺时针方向为负方向特别申明今后所说的曲线总是指光滑或逐段光滑曲线,特别说明的例外.1. 积分的定义:2 复变函数积分的定义(1) 对C作分割T(2)取介点集(3)作和(4)求极限(关于定义的说明:例1 设C表示连接点 a的b任一曲线,证明:证明:(1) 因为: f(z)=1 (2) 因为 f(z)=zSn不容易计算,但由于f(z)=z连续,说明, Sn的极限与介点的选取无关两式相加,得体会:用定义计算复积分太困难了!任务:探讨复积分的有效的计算方法这是实的第二型曲线积分3 积分存在的条件1. 必要条件2. 充分条件(1) 将各函数代数化证当 n 无限增大而弧段长度的最大值

3、趋于零时, (2)求极限在形式上可以看成是公式4. 复积分计算的参数方程法对于公式若能写出C的参数方程为:C: z(t)=x(t)+iy(t) t 定理设曲线C的参数方程为: z=z(t)=x(t)+iy(t) t2. f(z)沿曲线C连续注:该公式可看成由下式形式相乘而得到在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.例2 解C为从原点到点3+4i的直线段这两个积分都与路线C 无关所以不论C从原点如何连接到点3+4i，都有例3 解(1) 积分路径的参数方程为y=x（1）从原点到点1+i的直线段（2）抛物线： 上从原点到点1+i的直线段（3）从原点沿x轴到点1，再到点

4、1i的折线(2) 积分路径的参数方程为y=xy=x(3) 积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为例4 解积分路径的参数方程为例5 解积分路径的参数方程为重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.5 复积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.被积函数的线性可加性积分路径的可加性积分估值定理性质(5),(6)的证明两端取极限得性质5积分估值定理是这两点之间的长度。例6解根据估值不等式知C为从原点到点3+4i的直线段第三章 复变函数的积分1复变函数积分的概念及性质2.柯西-古萨定理及推广4.柯西积分公式及高阶导数3.原函数与不定积分5.解析函数和调和函

5、数分析上节的3个例子由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值0的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关。Cauchy-Goursat基本定理：B (3)定理中曲线C不必是简单的！如下图。BBCCz1z0C1C2C1C2z0z1推论 设f (z)在单连通区域B内解析，则对任意两点z0, z1B, 积分c f (z)dz不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线，即积分与路径无关。基本定理推广复合闭路定理复合闭路定理：证明DCc1c2BL1L2L3AAEEFFGH说明 此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过的f(z)的

6、不解析点.闭路变形原理D CC1C1C1例解C1C21xyo练习解C1C21xyo第三章 复变函数的积分1复变函数积分的概念及性质2.柯西-古萨定理及推广4.柯西积分公式及高阶导数3.原函数与不定积分5.解析函数和调和函数定理一：如果f (z)在单连通区域B内解析，那么积分c f(z)dz与路径无关，只与起点和终点有关。 当起点固定在z0, 终点z在B内变动,c f (z)dz在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作定理二：如果f (z)在单连通区域B内解析，则F(z)在B内解析，且 定义 若函数 (z) 在区域B内的导数等于f (z) ，即 ,称 (z)为f (z)在B内的原函数. 上面定理

7、表明 是f (z)的一个原函数。设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数，这表明：f (z)的任何两个原函数相差一个常数。定义 设F(z)是f (z)的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f (z)的不定积分，记作定理三 设f (z)在单连通区域B内解析， F(z)是f (z)的一个原函数，则例1：解： 例2：练习：第三章 复变函数的积分1复变函数积分的概念及性质2.柯西-古萨定理及推广4.柯西积分公式及高阶导数3.原函数与不定积分5.解析函数和调和函数分析DCz0C1DCz0C1猜想积分定理(Cauchy 积分公式)证明 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.例1解例2解CC1C21xyo例3解 定理高阶导数一个解析函数的导数仍为解析函数。例1解小结 求积分的方法第三章 复变函数的积分1复变函数积分的概念及性质2.柯西-古萨定理及推广4.柯西积分公式及高阶导数3.原函数与不定积分5.解析函数和调和函数1.Laplace方程偏微分方程 称为Laplace方