2022年《定积分与微积分基本定理》教案 2

1、定积分与微积分基本定理适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60 定积分的概念与几何意义知 识 点微积分基本定理 求定积分定积分的简洁应用教学目标教学重点教学难点1明白定积分的实际背景,明白定积分的基本思想,明白定积分的概念2明白微积分基本定理的含义微积分基本定理求定积分微积分基本定理教学过程一、复习预习1. 导数的概念2. 导数与函数单调性、极值、最值的关系二、学问讲解 考点 1 定积分的概念在b afxdx 中,a,b 分别叫做积分下限与积分上限,区间fxdx 叫做被积式a,b叫做积分区间, fx叫做被积函数, x 叫做积分变量,考点 2 定积分的几何意义b 当函数 fx在

2、区间 a,b上恒为正时,定积分 afxdx 的几何意义是由直线围成的曲边梯形的面积 左图中阴影部分 xa,xbab,y0 和曲线 yfx所一般情形下,定积分 b afxdx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 fx以及直线 xa,xb 之间的曲边梯形面积的代数和右上图中阴影所示 ,其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数考点 3 定积分的基本性质bakfxdxkbafxdx. b af1x f2xdxbaf1xdxbaf2xdx. b afxdxc afxdxb cfxdx. 考点 4 微积分基本定理假如 fx是区间 a,b上的连续函数,并且 叫做

3、牛顿 莱布尼兹公式b F xfx,那么 afxdxFbFa,这个结论叫做微积分基本定理,又为了便利,常把 FbFa记成 Fx|b a,即b afxdxFx|b aFbFa三、例题精析【例题 1】【题干】 求以下定积分：12 2 0|x1|dx；2 01sin 2xdx. 【解析】 1|x1|1x,x0 ,12sin xcos xdxx1, x1 ,2故2 0|x1|dx1 01xdx2 1x1dx2 2 xx 2 |1 0 x 2x |21 21 21. 2 2 01sin 2xdx0|sin xcos x|dx4 0cos xsin xdx4sin xcos x0cos xsin x 242

4、1122 22. 【例题 2】已知函数 fxx 0cos tsin tdtx0,就 fx的最大值为 _【题干】【答案】21 x 【解析】 由于 fx0 2sin 4t dt2cos 4t |x 02cos 4x 2cos 4sin xcos x12sin x 4121,当且仅当 sin x 41 时,等号成立【例题 3】【题干】如图,曲线 yx 2 和直线 x0,x1,y1 4所围成的图形 阴影部分 的面积为 A.2 3B.1 3C.1 2D.1 4【答案】 D【解析】 由 y1 4,2 . x1 2或 yxx1 2舍,所以阴影部分面积S0 1 2 1 4x 2 dx1 1 2 x 21 4

5、dx11 4x1 3x 3 0 1 3x 31 4x 1 1 21 4. 【例题 4】【题干】 一物体在力 Fx100 x2单位：N的作用下沿与力 Fx相同的方向运动了4 米,力 Fx做功为3x4x2 B46 J A44 JC48 J D50 J 【答案】 B 【解析】 力 Fx做功为 2 010dx4 23x4dx10 x | 203 2x 24x4 2202646. 四、课堂运用【基础】e 1.11ln x x dx B.2 e1 Aln x1 2ln2xC.3 2D.1 2解析：选 Ce 11ln x x dx ln xln 2 2 x13 2. 2设函数 fxax 2ba 0,如 3

6、0fxdx3fx0,就 x0等于 A1 B. 2 C3 D2 解析：选 C3 0fxdx3 0ax 2bdx1 3ax 3bx 3 09a3b,2就 9a3b3ax 0b,即 x 2 03,x03. 3以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体, t 秒时刻的速度 v4010t 2,就此物体达到最高时的高度为 A.160 3m B.80 3 m C.40 3 m D.20 3 m 解析：选 A v4010t 20,t2,2 04010t 2dt 40t10 3 t 3 | 040210 38160 m【巩固】4设 a 0sin xdx,就曲线 y fx xa xax2 在点 1,f1处的切线的斜

7、率为 _解析： a 0sin xdxcos x | 02,yx2 x2x2. y2 xx2 xln 22. 曲线在点 1,f1处的切线的斜率 ky | x142ln 2. 答案： 42ln 2 52022 孝感模拟 已知 a 0, 2,就当 a0cos xsin xdx 取最大值时, a_. 解析： a 0cos xsin xdxsin xcos x |asin acos a1 2sin a 41,a 0, 2,当 a 4时,2sin a 41 取最大值答案： 4【拔高】6求曲线 yx,y2x,y1 3x 所围成图形的面积解：由yx,y2x,得交点 B3,1得交点 A1,1；由y1 3x,y2

8、x,故所求面积 S1x1 3x dx3 1 2x1 3x dx2 3x 2 1 6x 2 | 0 2x1 3x 2 | 3132 31 64 313 6 . 7如图,设点 P 从原点沿曲线 yx 2 向点 A2,4移动,直线 OP 与曲线 yx 2 围成图形的面积为 S1,直线 OP 与曲线yx 2 及直线 x2 围成图形的面积为 S2,如 S1S2,求点 P 的坐标解：设直线 OP 的方程为 ykx,点 P 的坐标为 x,y,就x0kxx 2dx2xx 2kxdx,即1 2kx 21 3x 3 | x 0 1 3x 31 2kx 2 | 2 x,解得1 2kx 21 3x 38 32k 1 3x 31 2kx 2 ,解得 k4 3,即直线 OP 的方程为 y4 3x,所以点 P 的坐标为 4 3,16 9 . 课程小结1用微积分基本定理求定积分,关键是找到满意F xfx的函数 Fx,即找被