《数学分析》第二十章曲线积分课件

1、第二十章 曲线积分 1 第一型曲线积分 2 第二型曲线积分 第1页，共78页。第二十章 曲线积分1 第一型曲线积分第2页，共78页。一、问题的提出实例:曲线形构件的质量匀质之质量分割求和取极限近似值精确值第3页，共78页。二、对弧长的曲线积分的概念1.定义第4页，共78页。被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量第5页，共78页。2.存在条件：3.推广第6页，共78页。注意：第7页，共78页。4.性质 (4)第8页，共78页。（5）第9页，共78页。三、对弧长曲线积分的计算定理证略。这里，第10页，共78页。曲线积分定积分(1) L：y=y(x), axb假设 y(x)C1(a, b). 有(

2、 a b ) 计算：第11页，共78页。(2) L：x=x(y), cyd假设 x(y)C1(c, d). 有( c d )第12页，共78页。例1. 计算其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2)的一段弧.解1：0 x2y2=2x022yx第13页，共78页。(3) L：x=(t), y=(t), t( )第14页，共78页。注意:第15页，共78页。特殊情形第16页，共78页。1. 曲线对弧长曲线积分的计算公式则2. 曲线3. 曲线则则第17页，共78页。推广:第18页，共78页。例1. 计算其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2)的一段弧.解1：0 x2y2=2

3、x022yx第19页，共78页。解2：0y2022yx第20页，共78页。例2. 计算L: 连接O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2)的闭折线OABO.解：L分段光滑 ds=dxOA: y=0, 0 x1O2AByx1第21页，共78页。AB: y=22x, 0 x1BO: x=0, 0y2 ds=dy=2O2AByx1第22页，共78页。例3. 计算其中L: x2+y2=a2.L: x=acos t, y=asin t, 0t2第23页，共78页。(4) 空间R3中的曲线：x=(t), y=(t), z=(t), txyzO( )第24页，共78页。例4. 计算其中：从点A(3,

4、 2, 1)到点O(0, 0, 0)的直线段.解：直线段 AO 方程：化成参数方程：x=3t, y=2t, z=t, 0t1.第25页，共78页。例5解第26页，共78页。例6解第27页，共78页。例7解由对称性, 知第28页，共78页。例8解第29页，共78页。第30页，共78页。例9解(1) L：(2) L：第31页，共78页。例10解第32页，共78页。例11解第33页，共78页。第34页，共78页。第35页，共78页。于是，第36页，共78页。四、几何与物理意义第37页，共78页。 对弧长曲线积分的应用 第38页，共78页。例9 解: 如图设置坐标系xy第39页，共78页。1、对弧长曲

5、线积分的概念2、对弧长曲线积分的计算3、对弧长曲线积分的应用作业 : P201:1,(1)(7),2,3.五 小结与思考判断题第40页，共78页。思考判断题（1） 对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？（2） 对弧长的曲线积分是否与曲线方向有关？第41页，共78页。思考题对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？第42页，共78页。思考题解答的符号永远为正，它表示弧段的长度.第43页，共78页。第二十章 曲线积分2 第二型曲线积分第44页，共78页。一、问题的提出实例: 变力沿曲线所作的功常力所作的功分割第45页，共78页。求和取极限近似值精确值第46页，共78页。二、对坐标的曲线积分

6、的概念1.定义第47页，共78页。类似地定义第48页，共78页。2.存在条件：3.组合形式第49页，共78页。4.推广第50页，共78页。5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.第51页，共78页。三、对坐标的曲线积分的计算定理第52页，共78页。特殊情形第53页，共78页。第54页，共78页。(4) 两类曲线积分之间的联系：其中（可以推广到空间曲线上 ）第55页，共78页。可用向量表示有向曲线元；第56页，共78页。例1解第57页，共78页。第58页，共78页。例2解第59页，共78页。问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.第60页，共78页。例3解第61页，共7

7、8页。第62页，共78页。问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.第63页，共78页。例4计算第二型曲线积分 解 =第64页，共78页。解）=第65页，共78页。=） =注：这里不同路径积分值不同 第66页，共78页。例6 计算曲线积分第67页，共78页。则 第68页，共78页。或 第69页，共78页。注1 这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍.它们的区别在于第70页，共78页。同理 故 第71页，共78页。方法1 利用球面的参数方程第72页，共78页。注2 这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积分为0.值得注意的是第二型的曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的. 第73页，共78页。上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产生的.第74页，共78页。方法2 利用柱面的参数方程 代入球面方程 取方法2中的