2021-2022学年黑龙江省牡丹江市高一下学期期末数学试题【含答案】

1、2021-2022学年黑龙江省牡丹江市高一下学期期末数学试题一、单选题1（）A1BCiDC【分析】由复数的除法运算直接计算可得.【详解】.故选：C.2北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为（）A3B2C5D9D【分析】利用分层抽样中的比例列出方程，求出答案.【详解】，解得：故选：D3抛掷两枚质地均匀的骰子，向上点数之和为8的概率（）ABCDA先求得基本事件的总数，再用列举法求得点数之

2、和为8的事件个数，利用古典概型概率公式，即可求得概率.【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数种结果，向上点数之和为8包含基本事件有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5种结果，所以向上点数之和为8的概率，故选：A4从一批产品（其中正品、次品都多于两件）中任取两件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是恰有一件次品和恰有两件次品；至少有一件次品和全是次品；至少有一件正品和至少有一件次品；至少有一件次品和全是正品.ABCDB【详解】试题分析：从一批产品中任取2件，观察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于2件，恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的，至少有一件次

3、品和全是正品是互斥的，是互斥事件.互斥事件和对立事件.5演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A中位数B平均数C方差D极差A【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案【详解】设9位评委评分按从小到大排列为则原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，A正确原始平均数，后来平均数平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确由易知，C不正确原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本

4、质的理解.6中，点为上的点，且，若，则的值是（）ABC1D2D【分析】结合向量运算，由列方程，求得，进而求得.【详解】由于，所以,所以,所以.故选：D7九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”，平面，的面积为4，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为（）ABCDC【分析】将“阳马”补成长方体，利用长方体的外接球半径与长方体棱长之间的关系、球的表面积公式及基本不等式即可求解.【详解】如图，将四棱锥补成长方体，则该四棱锥的外接球与长方体的外接球相同.因为长方体外接球的半径，所以该“阳马”外接球的表面积为:.故选：C.8在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，

5、c，且，则的面积为（）ABCDC利用余弦定理可求的值，从而可求三角形的面积.【详解】因为，故，而，故，故，故三角形的面积为，故选：C.二、多选题9已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列判断错误的是（）A若，则直线与可能相交或异面B若，则直线与一定平行C若，则直线与一定垂直D若，则直线与一定平行BCD【分析】根据线面平行垂直的判定和性质逐个分析即可【详解】是两条不同的直线，是两个不同的平面，对于A，若，则直线与相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若，则直线与相交、平行或异面，故B错误；对于C，若，则直线与相交、平行或异面，故C错误；对于D，若，则直线与相交、平行或异面，故D错误.故选：

6、BCD10如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船出发时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面正确的是（）A乙船的行驶速度与甲船相同B乙船的行驶速度是海里/小时C甲乙两船相遇时，甲行驶了小时D甲乙两船不可能相遇AD【分析】连接，求出，再用余弦定理求出，计算乙船速度判断A，B；延长与延长线交于O，计算甲乙到达点O的时间判断C，D作答.【详解】如图，连接，依题意，（海里），而海里，则是正三角形，海里，在中，海里，由余弦定理得：，且有，所以乙船的行驶速度是海里/

7、小时，A正确，B不正确；延长与延长线交于O，显然有，即，海里，海里，海里，甲船从出发到点O用时（小时），乙船从出发到点O用时（小时），即甲船先到达点O，所以，甲乙两船不可能相遇，C不正确，D正确.故选：AD关键点睛：解三角形应用问题，根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型是解题的关键11将一组数据从小到大排列为：，中位数和平均数均为a，方差为，从中去掉第6项，从小到大排列为：，方差为，则下列说法中一定正确的是（）AB的中位数为aC的平均数为aDAC【分析】由中位数的定义即可判断A、B选项；由平均数的定义即可判断C选项；由方差的定义即可判断D选项.【详解】由的中位数和平均数均为a

8、，可知，故A正确；的中位数为，不一定等于，故的中位数不一定为a，B错误；，故的平均数为a，C正确；，由于，故，故，D错误.故选：AC.12在正方体中，点在线段上运动，则下列判断正确的是（）A面面B面C异面直线与所成角范围是D三棱锥的体积是定值ABD【分析】证明平面后得面面垂直判断A，证明平面平面得线面平行判断B，证明平面后由特殊的点位置得异面直线所成角为，从而判断C，利用选项B中面面垂直得点到平面的距离相等结合棱锥体积公式判断D【详解】正方体中，平面，平面，所以，又，又，平面，所以平面，而平面，所以，同理，平面，所以平面，又平面，所以面面，A正确；正方体中，由与平行且相等得平行四边形，所以，平

9、面，平面，所以平面，同理平面，而，平面，所以平面平面，平面，所以平面，B正确；与证明平面同理可得平面，当是的中点时，也为中点，即平面，因此，即异面直线与所成角是，C错；，由B知到平面的为两平行平面的距离，是定值，因此为定值，D正确故选：ABD三、填空题13若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在第_象限三【分析】由复数的四则运算化为代数形式，然后得对应点坐标，从而知其象限【详解】可变为，所以复数z在复平面内对应的点为，在第三象限故三14某学习兴趣小组学生一次测验成绩如下：130，135，126，123，145，146，150，131，143，144，则这个兴趣小组学生的测验成绩的第75百分位

10、数是_.145【分析】将10个测试成绩从小到大排成一列，根据百分位数的定义，即可求解.【详解】将10个数据从小到大排成一列：123，126，130，131，135，143，144，145，146，150， 其中，所以测验成绩的第75百分位数是145.故145.15天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况经随机模拟试验产生了如下20组随机数：488932812458989431257

11、390024556734113537569683907966191925271据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为_.0.3【分析】在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的可以通过列举得到共6组随机数，根据概率公式，得到结果【详解】由题意知模拟三天的下雨情况，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：932、812、024、734、191、271，共6组随机数，所求概率为故0.3本题主要考查了模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用，属于中档题16已知向量和的夹角为，且，则_.10【分析】首先根据平面向量数量积的定义求出，再

12、根据向量数量积的运算律计算可得；【详解】解：因为向量和的夹角为，且，所以，所以故四、解答题17已知复数(1)若复数为纯虚数，求实数的值；(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围(1)3(2)【分析】（1）根据复数类型为纯虚数得到方程和不等式，求出；（2）根据复数对应的点在第四象限得到不等式组，求出实数的取值范围.【详解】(1)由题意得：，解得：或3，解得：且，综上：(2)由题意得：，解得：或，解得：，所以，实数的取值范围是18根据研究成果，146年前中国男性的平均身高为161.0厘米，女性为150.2厘米，为了了解146年来中国女性身高长高了多少，2022年，特地针对各地中国

13、女性进行调查，我们了解到100个成年妇女的身高，如下表所示：身高/cm142148150152154155人数244398身高/cm157160162165168170人数10149121411(1)计算上述样本的平均身高，据此估计146年来中国女性身高长高了多少？(2)估计2022年中国女性身高的第50百分位数与众数；(3)通过互联网调查2022年中国女性身高，中国女性身高是否随着时代的发展而逐渐长高？请尝试解释说明(1)(2)50百分位数为；众数为(3)是，说明见解析.【分析】（1）根据表格中的数据，利用数据平均数的计算公式，求得样本的平均身高，进而求得女性身高长高了；（2）结合百分数的概

14、念，从小到大排列第50与51个数据都是160，即可求解；（3）经调查发现2022年中国女性身高的平均数、中位数、众数都有被大幅度的增长，即可得出结论.【详解】(1)解：根据表格中的数据，利用数据平均数的计算公式，可得：样本的平均身高为，所以估计146年来中国女性身高长高了(2)解：因为，故从小到大排列第50与51个数据都是160，所以估计2022年中国女性身高的第50百分位数为，由表格中的数据，可得身高为的人数出现的次数最多，所以中国女性身高的的众数为.(3)解：经调查发现2022年中国女性身高的平均数、中位数、众数都有被大幅度的增长，从历史看中国女性身高随着时代的发展逐渐增大，可以是经济越发

15、达，人民生活水平越高，特别是大城市，人们生活条件越来地优地，饮食越来越丰富多样化，在这种情现下，似乎又直接导致了身高的长高19如图，在直角梯形中，(1)若，求；(2)若，求在上的投影向量的模长(1)(2)【分析】（1）以的方向为x轴，y轴的正方向，点D为原点建立如图所示的平面直角坐标系，由，数量积为0求得值，然后由数量积坐标表示计算；（2）根据投影向量的定义计算出模长【详解】(1)分别以的方向为x轴，y轴的正方向，点D为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以，又，所以，则，因为，所以，即，得，(2)若，在上投影向量的模长.20某市从2019年参加高三学业水平考试的学生中随机抽取80名学生，

16、将其数学成绩（均为整数）分成六组，后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在内的频数；(2)用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段内的概率.(1)(2)【分析】（1）先求出分数在，内的频率，由此能求出分数在，内的频数（2）由题意，首先求出、的人数再按照分层抽样求出、的人数，分别记为， ，设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段内”为事件，利用列举法能求出至少有1人在分数段内的概率【详解】(1)解：分数在，内的频率为：故频数为(2)由题意，分数段的人数为（人分数段的人数为（人用分层抽样的方

17、法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，所以需在分数段内抽取2人，分别记为，在分数段内抽取4人，分别记为， ，设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段内”为事件，则样本空间：，共包含15个样本点事件：“从样本中任取2人，2人都不在分数段内” 只有1个样本点，所以，所以至少有1人在分数段内的概率为21四棱锥，底面，为的中点(1)证明：；(2)求三棱锥的体积(1)证明见解析；(2).【分析】(1)先由线面垂直判定定理平面，再证明；(2)由锥体体积公式可得三棱锥的体积等于三棱锥的体积的一半，再由体积公式求体积即可.【详解】(1)因为平面，平面，所以，又，所以，平面，所以平面，又平面，所以，因为，为的中点，所以，平面，所以平面，