D5习题课1定积分及其相关问题课件

1、习题课一、有关定积分概念和性质的问题二、有关定积分计算的问题定积分及其相关问题 第五章 三、广义积分第1页，共51页。一、有关定积分概念和性质的问题1. 用定积分概念与性质求极限2. 用定积分性质估值3. 与变限积分有关的问题例. 求解: 因为时,所以利用夹逼准则得第2页，共51页。例. 证明证: 令则令得故第3页，共51页。解：例.设求定积分为常数 ,设, 则故应用积分法定此常数 .第4页，共51页。设证：试证: 当 目录 上页 下页 返回 结束 时, = o( ) . 所以 = o( ) . 洛例. 第5页，共51页。例.求可微函数 f (x) 使满足解: 等式两边对 x 求导, 得不妨设

2、 f (x)0,则第6页，共51页。注意 f (0) = 0, 得第7页，共51页。例. 用定积分表示下述极限 :解:或第8页，共51页。思考:如何用定积分表示下述极限 提示:极限为 0 !第9页，共51页。例.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明1：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立 .明对于任何第10页，共51页。证明2：(用积分中值定理)则由于在上单调递减，所以函数单调递减.所以即令第11页，共51页。二、有关定积分计算和证明的方法1. 熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2. 有关定积分命题的证明方法思考: 下列作法是否正确?第12页，共51页。3. 几个

3、重要结论(1)偶倍奇零(2)(3) 设 f (x) 是周期为T的连续函数，则第13页，共51页。(4)(6)(5)n 为偶数n 为奇数第14页，共51页。例. 求解: 法一则原式令第15页，共51页。令则原式 法二第16页，共51页。例. 计算积分原式 =解：第17页，共51页。例. 计算积分解：令(分部积分)第18页，共51页。例. 选择一个常数 c , 使解: 令则因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使即可使原式为 0 .第19页，共51页。解：例. 计算积分第20页，共51页。解：例. 计算积分第21页，共51页。例. 若解: 令试证 :则并计算第22页，共51页。因为对右端第二个积分

4、令综上所述第23页，共51页。则由得第24页，共51页。例. 设求解:(分部积分)第25页，共51页。例. 设解法1.解法2.对已知等式两边求导,得第26页，共51页。例. 证明 证：是以 为周期的函数.是以 为周期的周期函数.第27页，共51页。证：例.右端试证分部积分再次分部积分= 左端第28页，共51页。三、广义积分1. 广义积分的概念2. 牛顿莱布尼兹公式无穷限的广义积分无界函数的广义积分广义积分第29页，共51页。例. 求广义积分解：原式=所以原积分发散.于是有第30页，共51页。解：原式=第31页，共51页。解：原式=原式=第32页，共51页。例10. 判断广义积分解：原式=所以积

5、分收敛的敛散性第33页，共51页。例. 解:则原式第34页，共51页。解:则原式第35页，共51页。解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式利用夹逼准则可知1. 求思考与练习第36页，共51页。2.求极限解：原式3. 求极限提示：原式左边= 右边第37页，共51页。4. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：解: (1) 记并由此计算则即第38页，共51页。(2)并由此计算周期的周期函数则有第39页，共51页。第40页，共51页。5. 求多项式 f (x) 使它满足方程解: 令则代入原方程得两边求导:可见 f (x) 应为二次多项式 ,设代入 式比较同次幂系数 , 得故再求

6、导:第41页，共51页。6.且由方程确定 y 是 x 的函数 , 求解：方程两端对 x 求导, 得令 x = 1, 得再对 y 求导, 得故第42页，共51页。7. 设解: 第43页，共51页。8.设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且 (1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 (3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使 第44页，共51页。证: (1) 由 f (x)在a, b上连续, 知 f (a) = 0. 所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 (2) 设满足柯西中值定理条件, 于是存在 第45页，共51页。即 (3) 因 在a, 上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得 第46页，共51页。9. 设证: 设且试证 :则故 F(x) 单调不减 ,即 成立.第47页，共51页。10. 证明恒等式证: 令则因此又故所证等式成立 .第48页，共51页。11.试证使分析:即证故作辅助函数至少存在一点即第49页，共51页。证明: 令在上连续,在至少使即因在上连续且不