人教版数学九下08《相似 全章复习与巩固》知识讲解+巩固练习(基础版)（含答案）

1、PAGE 相似全章复习与巩固-知识讲解（基础） 【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】

2、【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线

3、段，简称比例线段要点诠释：（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）要点二、相似三角形相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：如果一个三角形的

4、两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。3.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等（2）相似多边形

5、的周长比等于相似比（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方要点三、位似1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点

6、的坐标的比等于k或-k.【典型例题】类型一、相似图形及比例线段1. （2016崇明县一模）如图，已知ADBECF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，AC=14；（1）求AB、BC的长；（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长【思路点拨】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出AB的长，得出BC的长；（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果【答案与解析】解：（1）ADBECF，AC=14，AB=4，BC=144=10；（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，

7、如图所示：又ADBECF，AD=7，AD=HE=GF=7，CF=14，CG=147=7，BECF，BH=2，BE=2+7=9【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键举一反三【变式】（2015眉山）如图，ADBECF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（）A4B5C6D8【答案】C.类型二、相似三角形2. 如图所示，在44的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上(1)

8、ABC=_，BC=_；(2)判断ABC与DEF是否相似，并说明理由.【答案与解析】(1)135， (2)ABC和DEF相似(或ABCDEF). 因为，所以. 又因为ABC=DEF=90+45=135，所以ABCDEF.【总结升华】根据正方形的性质和格点三角形的特点，从边角方面去探究两三角形有关角的度数和边的长度，利用两边对应成比例且夹角相等证明两三角形相似举一反三：【变式】下列44的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC相似的三角形所在的网格图形是（）.A B C D【答案】B.【高清课堂:相似专题复习 ID号： 394502关联的位置名称（播放点名称）：“一线

9、三等角”问题及例5】3. 在正方形ABCD中，P是BC上的点，BP=3PC，Q是CD的中点，求证：ADQQCP【答案与解析】BP=3PC，Q是CD的中点，又ADQ=QCP=90，ADQQCP.【总结升华】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，以及相似三角形的判定.4. 如图所示，在ABC和DBE中，若. (1)ABC与DBE的周长差为10 cm，求ABC的周长； (2)ABC与DBE的面积之和为170 cm2，求DBE的面积【答案与解析】(1) ， ABCDBE. ，设ABC的周长为5k cm，DBE的周长为3k cm， ， ABC的周长为.(2) ABCDBE， .设，. ，解得k=5， .

10、【总结升华】相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方举一反三【变式】如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则SDEF：SEBF：SABF=（）A2：5：25 B4：9：25 C2：3：5 D4：10：25【答案】D.5. 如图所示，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=AD=6，ABC=60，点E，F分别在线段AD，DC上(点E与点A，D不重合)，且BEF=120，设，. (1)求y与x的函数解析式； (2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【答案与解析】(1)在梯形ABCD中，ADB

11、C， AB=DC=AD=6，ABC=60，所以A=D=120， 所以AEB+ABE=180-120=60. 因为BEF=120，所以AEB+DEF=180-120=60， 所以ABE=DEF. 所以ABEDEF，所以. 因为，所以， 所以y与x的函数解析式是. (2)，所以当时，y有最大值，最大值为.【总结升华】本题考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的最值问题.举一反三【变式】如图所示，在RtABC中，A=90，AB=8，AC=6若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度过点D作DEBC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y(

12、1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，BDE的面积S有最大值，最大值为多少?【答案】(1)因为DEBC，所以ADEABC，所以.又因为AB=8，AC=6，所以，即，自变量x的取值范围为. (2) .所以当时，S有最大值，且最大值为6.类型三、位似6. 将下图中的ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化(1)沿y轴负方向平移1个单位；(2)关于x轴对称；(3)以C点为位似中心，放大到1.5倍【答案与解析】变换后的图形如下图所示(1)将ABC沿y轴负方向平移1个单位后得到A1B1C1， A1(-5，-1)，B1(0，2)，C1(0，-1

13、) 即横坐标不变，纵坐标减小(2)将ABC关于x轴对称后，得A2B2C2，A2(-5，0)，B2(0，-3)，C2(0，0) 即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数(3)将ABC以C点为位似中心，放大到1.5倍得A3B3C3(有2个三角形)， 显然，A3(-51.5，0)，B3(0，31.5)，C3(0，0)， 即A3(-7.5，0)，B3(0，4.5)，C3(0，0),或A3（7.5,0）、B3（0，-4.5）、C3（0,0）.【总结升华】本题应先按图形变换的要求画出相应的图形，再求出变换后图形的点的坐标，第(3)问可先求变换后图形的点的坐标，但注意此时的位似中心是原点相似全章复习与巩固-巩固

14、练习（基础）【巩固练习】一、选择题1（2015乐山）如图，l1l2l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F已知，则的值为（）ABCD2. （2016奉贤区一模）用一个4倍放大镜照ABC，下列说法错误的是（）AABC放大后，B是原来的4倍BABC放大后，边AB是原来的4倍CABC放大后，周长是原来的4倍DABC放大后，面积是原来的16倍3如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( ) 4.如图，ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)以点C为位似中心，在x轴的下方作ABC的位似图形ABC，并把ABC的边长放大到原来的2倍设点B

15、的对应点B的横坐标是，则点B的横坐标是（ ）A B C D5下列说法：位似图形都相似；位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有( )A1个 B2个 C3个 D4个6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( ) AAPB=EPC BAPE=90 CP是BC的中点 DBP：BC=2：37. 如图，在ABC中，EFBC，,，S四边形BCFE=8，则SABC=（） A9B10 C12 D138.如图，六边形A

16、BCDEF六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）AE=2K BBC=2HI C六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 DS六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题9. （2016衡阳）若ABC与DEF相似且面积之比为25：16，则ABC与DEF的周长之比为 10. 如图，在ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_，ADE与ABC的面积之比为_，CFG与BFD的面积之比为_.11. 如图，梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于O点，SAOD:SCOB=1:9，则SDOC:SBOC=_.12.

17、 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为_.13. （2015金华）如图，直线l1、l2、l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F若BC=2，则EF的长是 14如图，在ABC中，MNBC，若C=68，AM：MB1：2，则MNA=_度，AN：NC_.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且ABC=AED。若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为_. 第14题 第15题16. 油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到

18、小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油面的高度为 .三、解答题17. 如图，等腰直角ABC的斜边AB所在的直线上有点E、F，且E+F=45，AE=3，设AB=x，BF=y，求y关于x的函数解析式.18.（2015岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EFAM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N（1）求证：ABMEFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长19. 如图，圆中两弦AB、CD相交于M，且AC=CM=MD，MB=AM=1，求此圆的直径的长. 20. 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2

19、cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间(0t6)那么:(1)当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？ 【答案与解析】一选择题1【答案】D.【解析】l1l2l3，=，故选：D2.【答案】A.【解析】放大前后的三角形相似，放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，则A错误，符合题意 3【答案】A 【解析】考点：相似三角形的判定.4【答案】D.5【答案】B.【解析】提示：.6【答案

20、】C.7.【答案】A.【解析】 求出的值，推出AEFABC，得出，把S四边形BCFE=8代入求出即可8.【答案】B.【解析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可二填空题9.【答案】5：4【解析】ABC与DEF相似且面积之比为25：16，ABC与DEF的相似比为5：4；ABC与DEF的周长之比为5：4 10【答案】2，1:4，1:6.11【答案】1:3 .【解析】SAOD:SCOB=1:9，AOD与DOC等高，SAOD:SDOC=1:3， SDOC:SBOC=1:3.12【答案】30m.13【答案】5.【解析】l3l6，BCEF，ABCAEF，=，BC=2，EF=514【答案】68，1:2.【解析】首先，想到定理的含义，再结合图形分析（或进行比例变形）就可直接求出结果. 15.【答案】10.【解析】ABC=AED，BAC=EADAEDABC，DE=10.16.【答案