3语文可集数学主要16kch6级数

1、本章主要知识点级数收敛定义及性质 正项级数敛散判别方法一般项级数敛散判别方法幂级数一、级数收敛的定义及性质n定义： an 收敛 Sn an S （有限）( n + )n1k 1性质： 必要条件 lim an 0n an 与bn 收敛，则(an bn ) 收敛 an 收敛， bn 发散， (an bn ) 必发散 an 发散， bn 发散， (an bn ) 不能确定p 1p 1收敛1 pn发散 qn const. 1q收敛，当1n1例 6.1计算n(n 3)n111n1111k 1解： Sn ( 3) 3 (1 n 3) 3 , (n )n(n 3)3nnk 1- 160 -1 1n1 n(n

2、 3)3例 6.2计算 qn （n0 const. 1）q1 qn11解： Sn (n )1n0所以二 、正项级数 an (an 0) 敛散性判别法1. 比值判别法l 1,收敛发散比值判别法失效an1 l l 1,如果limnal 1,nn!n1例 6.3nn(n 1)!nnan lim lim()n1 e 1lim n1解：an (n 1)n1 n!n 1nnn所以由比值判别法知原级数收敛。nn1例 6.42 4nn 12n 4n 1 1a1解： lim n1 lim lim 1收敛ann 2n1 4nn22nn2n13 5 72n 1222例 6.5判别级数1 的敛散性33 5- 161

3、-2n3 5 7.(2n1)2n1a解： lim n1 lim 0 ，收敛an 3 5 7.(2n 1)nn2.比较判别法比较判别法有三种形式：一种称为囿级数法；一种为极限式；一种为等价无穷小式。囿级数法：如果 0 an bn （对充分大 n ）成立且bn 收敛，则 an 收敛；如果 an bn 0 ， bn 发散，则 an 发散。极限式：如果lim an l （ l 0 有限数）， a , b (a b 0) 同敛散；nnn, nn bn特别地，若 l 0 且bn 收敛，则 an 收敛；若 l 且bn 发散， 则 an 发散。C等价无穷小式： a ， (C 0) ，p1， an 收敛， p

4、1， an 发散。nnpn1n1sin2 n n2 1例 6.6 n1sin2 n 1sin2 n 1n1解： 0 ，而n2收敛，由比较判别法知收敛。n2 12n2 1narctan 2n 1 例 6.7 3n 2nn1arctan 2n 1 / 213n 2n 解： 0 ，3n3n21而收敛，n2 3由比较判别法知原级数收敛。- 162 -例 6.8已知 an1 n收敛（ a 0 ），证明a 也收敛。2nn证明：因为a 收敛，故lim a 0 ，所以对充分大的 n 成立：nnnn10 a 1 ，因此 0 a2 a ，nnn a n2收敛，由比较判别法知a 收敛。n1nn1例 6.9正项级数

5、an ， bn 收敛，证明： anbn 收敛。n1n1n1证明： 0 a b 1 (a2 b2 ) ，n nnn2由上题的结论可知， a , b 收敛，a ，b 收敛， n n22nnn1n1由比较判别法知： anbn 收敛。n11例 6.10 n13n 11解：因为lim 3n 1 ，11nn311而发散，由比较判别法知发散。3n 1nn12n 4例 6.11 n13n4 6n2 52n 42n2解：因为，3n4 6n2 53n23n- 163 -p 1，所以原级数发散。ln nn1例 6.123/ 2nln n解： l lim n3/ 2 lim ln n ，1n5/ 4n n1/ 4n1

6、xln x 41/ 4 lim 0考虑极限 limlim1l 0 ，收敛，5/ 4n所以由比较判别法知原级数收敛n100n1例 6.130 01nen100n102x102102!e0 01n1解： l lim lim lim lim 0 x 0.010 01n0 01x102n ex e0 01xnen21收敛，故由比较判别法知，原级数收敛。2n1例 6.14 2n 1 sin n3n11125n2解：因为 2n 1 sinn32n 1 n3 15n21收敛，由比较判别法知 2n 1 sin n3 收敛。n1三 、一般项级数一般项级数有绝对收敛和条件收敛两个概念。- 164 -定义 1： a

7、n 绝对收敛 an原级数绝对收敛必收敛。收敛。定义 2： an 条件收敛 an发散，而 an 收敛研究一般项级数的流程应是先判别绝对收敛，若绝对发散则研究级数的条件收敛性。一般项级数中最重要的一类级数为交错级数 )n a （ a 0 ）。nn判别法：对于级数 n )an交错级数若 （1） an 0 ，即级数是交错的，（2） an 单调下降，（3） lim an 0n则1n an1收敛。n例 6.15 (1)n 13n3 2n 1n11解：先考虑级数3n3 2n 1113n3 2n 1 因为33n211而收敛，所以收敛3n3 2n 1n3即原级数绝对收敛。1例 6.16 1n1n4n2 6n 1

8、111解：对于 an ，因为4n2 6n 14n2 6n 1，所以发散，原级数绝对2n- 165 -发散 。而 n11n 11是交错级数， 4n2 6n 1单 调下降，且 4n2 6n 11 0lim4n2 6n 1n由尼判别法知，原级数是条件收敛。1例 6.17研究级数(1) sin nk 敛散性nn11解： a sin（ k Const ）nnk1nksin11=1， sin与同敛散，lim1nknknnk故当 k 1 时，原级数绝对收敛；当 k 1时，原级数绝对发散；1当 k 0 时， limsin不存在，所以原级数发散；nkn11当 0 k 1时， (1)n sin为交错级数，且sin

9、单调下降，nknk判别法知，原级数条件收敛。1且sin 0(n ) ， 故由nk四 、幂级数1收敛半径和收敛区间 a (x x ) n 称为幂级数，对于幂级数首先是收敛半径和收敛区间的计算。n0n1an收敛半径 R：R= limn an1收敛区间: x0 R x x0 R ；对于 x x0 R 和 x x0 R 端点处特别考虑。- 166 -1例 6.18求1n1nn2n2 5 x的收敛半径和收敛区间an1解： R lim lim(2(n 1)2 5) 1，n 2n2 5ann1当 x 1 时，原级数= (1)n 1 收敛；2n2 51当 x 1 时，原级数=收敛；2n 52所以，收敛区间为1

10、, 1。1的收敛半径和收敛区间。n02n12x 1例 6.19求3 1n1解：令 y 2x 1 ，原级数 2x 1n012n3 1 y，n13n 13n1 1Ry lim lim 3 ，13n1 13 1nnnRy3。2R x213 1 31 3对于 x () ，原级数收敛；当 x 时， y 3 ，原级数发散，故,2221 3 1 3收敛区间为(,) 。222函数展开为幂级数几个常用的幂级数形式xnn!n0（1） e x x ,- 167 -11 1（2）11 1n R（3） sinn0n Rcosn0n1（4） ln 1 1n1x 2 xf x 例 6.201) 展开为 x 的幂级数。2）展

11、开为 x 1 的幂级数。nf 2解：1）1n0n02f 2） 1 3 1 2 1n1 33n0n02f 3 展开为 x 的幂级数。例 6.21 3 3x22x2f 3 7 2x 1解：7 xx2x2n0 1 2 121 1 。1n2 211 x7 1 2xn03- 168 -f 例 6.22展开为 x 的幂级数 x 1 cos 2cos 2x解：2222nn0n n1例 6.23已知 f arctan, 求 的幂级数展开式 xannnf 2n解：在区间,0 x上，两边积分，利用幂级数逐项可积性得 1nf 0n0nx，n nf 1。n0例 6.24求 nxn1 和函数。n1解：设 S (x) n

12、xn1 ，利用幂级数逐项可积性得n1n1xxn1S (x)dx nxd，00求导得： S (。)26例 6.25求1 的和函数。6357解：令 S (x) 1357- 169 -14 (xS (，1 x2，所以 S (。单元练习题 61 lim un 0 是级数un 收敛 （ ）nn0A必要条件C充要条件B充分条件D无关条件2正项级数un 收敛的()是前 n 项部分和数列snn1有界A必要条件C充要条件B充分条件D无关条件3下列级数中收敛的是()1 3AnB( )n1 n2n11nC D n n1n14下列级数中条件收敛的是()n) n1n1 2A n1B1n1 3 n) n n) n1C D

13、 nn3 n1n15下列级数中绝对收敛的是()(1)n1nA n1B 1n1n12n 1n- 170 -(1)n1(1) n1C D n1n 2nn16下列级数发散的是()(1)n1nn1n1ABln(n 1)3n 113nnC 1n1D n1nn3xn7幂级数(1)的收敛域是（ ）nnn1A 1,1C 1,1 B 1,1D 1,1 (1)n1np38已知级数，当时，级数绝对收敛；n1当时，级数条件收敛；当时，级数发散。xn9幂级数 n! 的和函数 S (x) ，n0(2)n(2)n 。lim=，n!n!nn010判别下列级数的收敛性sin na n!nnn（1） (1)n 3n1，（ a 0

14、, a 1, e)（2）n2 2n1n3 111（3） (1)n1n1（4）( ln )nlnn3n3n12n1nn1（6） n1n 1 n 1)(（5）nn- 171 -n2n sin nn1（8） n1（7）2n2 n 1(n!)(1) n1 n1（9） （10） (1)arcsin nn1n 2 1n1n111求下列幂级数的收敛半径和收敛域：x2n1(2n 1)(2n 1)!2nn1n1xn（1）（2）n 12x2n11n（3） (1)n1n(2x 1)n（4）n 15nn112将 f () 展开为 x 的幂级数。展开为 x 1 的幂级数。113将 f (x) 4x 3x 2x14将函数

15、 f (x) （1）展开为 x 的幂级数，（2）展开为 x 1 的幂级数。2 xxn1n115求的和函数。1)n(n 真考题1（2003）下列正确的是（）1n1n1n1A.B.收敛收敛n n2(1)nn1D. n!收敛n1C.绝对收敛n12（2003）将函数 f (x) 展开成 x 的幂级数，并收敛区间（不考虑区间端点）。4 x(x 1)n3（2004）幂级数 n1的收敛区间为。2n14（2004）把函数 f (x) 展开为 x 2 的幂级数，并写出它的收敛区间。x 2- 172 -5（2005）设有正项级数（1） u 与（2）u ，则下列说法中正确的是（） n2nA若（1）发散则（2）必发散

16、。B.若（2）收敛，则（1）必收敛。C.若（1）发散，则（2）可能发散也可能收敛。D.（1），（2）敛散性一致。6（2005）幂级数 (2n 1)xn 的收敛域为_.n127（2005）将函数 f (展开为 x 的幂级数，并收敛区间。2.章节测试题(1)n1级数的敛散性：(2n 1)p2n1当时，级数绝对收敛；当时，级数条件收敛；当时，级数发散。12)(，展开为 x 的幂级数为。x3下列级数条件收敛的是（）(1）n2A n1B (1)n1n1n( )3n(1)n n(1)n1n1CDn12n 12n3 44下列级数发散的是（）(1)n ln(n 1)nn1n1AB3n 1(1)n1nC n1D

17、 n13nn35. ax ( a 0, a 1 )展开为x 的幂函数是（）- 173 -xnn!xnn!(x ln a)n(x ln a)nn0B (1)n0C n0D n1nAn!n3n n 3n0 x 的收敛半径 R （n6）13D A. 1B 3C(1)n x2n7 n0在 x 的和函数 S (x) =（）n!A ex22B ex2C ex2D ex (1)nn 8. 幂函数x 3 xnn的收敛半径是（）2n1312A 2BCD39下列级数中条件收敛的是（）(1)n n n 1(1)nA n1B n1n(1)n(1)nC n1n1D1)n2n(n 10判断(1)n (n1n 1 n )

18、的敛散性。x2nn111求幂级数的收敛半径和收敛区间。2 nn)nn112设 p 0 ，p 为何值时，级数收敛。n1np13 ln 1 x 展开为 x 的幂级数，并求出收敛范围。 1 x - 174 -1n1在 0 a 1, a 1 和 a 1 三种条件下的敛散性。141 an单元练习题 61 2 3 4 5 6 79 S x ex ; e2;08 p 4; 3 p 4; p 3sin n1113 n2 2，而收敛。10（）绝对收敛。因为n2 2n2n2an1 n 1! nannnae ae1 （） lim n1 lim lim a n 1n1an n! n 1annnnaa当 1 时，发散；

19、当 1 时，收敛。ee n3 1 111（） 1n1ln 1ln ，而收敛，故原级数绝对收敛。n3333nnn131收敛，ln ln n 发散。（）发散。因为nn1 n 1 n 1（）收敛。 11 2n 1n3/ 2n 1 n 1 1 ，所以 limnnn 1 n 1n1而收敛，所以原级数收敛。3/ 2nn2n1nnan21（） lim n1 lim lim 2 0 ，所以原级数收敛。2n n 1 an 1n 1nnn1nnn 1n1n!2 n 1 na1（） lim n1 lim lim 0 ，所以原级数收敛。n n 1!2nnn n 1 annn- 175 -n sin n n2 n 1n

20、 12 n43/ 21n2 n 1n充分大 （），而收敛，n223 / 2nnn2 所以原级数收敛1n nnnn2 1nn2 1（） 发散，而1n1 为交错级数，且单调下n2 1n2 1n降趋于零，故1n1 条件收敛。n2（10） (1) n arcsin 1 arcsin 1nnarcsin 1而n 1(n ) ，故绝对发散。1n而(1)n arcsin 1 为交错级数。且arcsin 1 单调下降趋于 0。nn故(1)n arcsin 1 条件收敛。n(n 1)2 1 2n1a2n111（1）解： R lim n lim，n n2 2a2nn12n11x 当 x 时，n收敛；n 12n 1

21、222n(1)n11( ) n2 1 收敛，当 x 时，nn 1222收敛区间为 1 , 1 2 2x 2n1yn, (2n 1)(2n 1)! x (2n 1)(2n 1)!（2）令 y x12anR lim yan1- 176 -Rx , 收敛区间为(,)yn（3）令 y x 2 ，原级数 x 1 (1)nn 15n5n1n 2aR lim n lim() 5ya5nn 1nnn1Rx 5当 x 5 ，原级数= 1 (1)n5n 1 (1)n 1 ，条件收敛n 1n 15n55收敛区间为 5, 5 Ry（）令 y 2x 1，原级数 1 yn ， R 1, R 1 。yxn221n当 y 1,发散；当 y 1，收敛，故 y 的收敛区间为1,1 ，相应的 x 的收敛区间为1, 0 。12解：令 g x ln 1 x ， g 1，n01n积分得 g x n0 xn1 ，1 nnf x 1 x g n1 , 1xn0 3 (x 1)13解： f 3)(x 1)1 1 1 (11 1112 1 41 111 x 18 1 x 124