几类风险模型中的破产概率研究

1、 几类风险模型中的破产概率研究摘要风险理论是近代应用数学的一个重要分支主要应用于保险、金融、证券投资以及风险管理等领域，它借助于概率论与随机过程理论构造数学模型，来描述各种风险业务过程。如今，风险理论已经成为保险精算学的一个重要分支，在保险理论与实践中具有十分重要的作用。对保险公司破产概率的研究不仅可以为保险公司的决策者提供参考，指导其健康发展，同时对稳定整个金融市场也有很重要的作用。本文在经典的破产理论上，研究了其相应的破产概率。全文共分为5章，具体安排如下：第l章主要介绍了破产概率的概述，一研究动机和目前国内外研究的一些现状和一些预备知识。第2章介绍风险理论的一些重要知识和破产理论的基本原

2、理，其中简述了保险风险模型的两个经典模型包括短期个别风险模型和短期聚合模型并介绍了它们在保险中的应用。第3章研究了带干扰的双复合泊松风险模型的破产问题，在双复合泊松风险模型的基础上考虑了干扰项，运用教方法得出了破产概率满足的Lundberg不等式和一般公式，并给出了不破产概率满足的积分表示。第4章研究了考虑含有正、负风险和风险过程的破产概率问题，并且将保费收入推广为一个随机过程，给出该风险过程的破产概率所满足的积分方程和指数不等式，研究正风险和类与负风险和类之间的相关性对破产概率的影响，并对具体实例给出数值比较结果。第5章全文总结。关键词：调节系数；双复合Poissona程；破产概率；负风险。

3、目录TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark2 摘要1 HYPERLINK l bookmark4 第1章绪论6 HYPERLINK l bookmark6 1.1破产理论概述6 HYPERLINK l bookmark8 1.2研究动机和目的8 HYPERLINK l bookmark10 1.3破产理论的研究现状11 HYPERLINK l bookmark12 1.4预备知识14第2章风险理论20 HYPERLINK l bookmark16 2.1短期个别风险模型20 HYPERLINK l bookmark20 2.2短期聚合风险模型22 HYPERLIN

4、K l bookmark44 2.3破产理论27 HYPERLINK l bookmark46 2.4本章小结29第3章带干扰的双复合泊松风险模型30 HYPERLINK l bookmark48 3.1模型的建立30 HYPERLINK l bookmark50 3.2预备引理30 HYPERLINK l bookmark74 3.3主要结果333.4预备知识35 HYPERLINK l bookmark82 第4章同时含有正、负风险过程的风险模型364.1同时含有正、负风险过程的风险模型及其主要性质36 HYPERLINK l bookmark84 4.1.1模型介绍36 HYPERLIN

5、K l bookmark90 4.1.2模型的主要性质37 HYPERLINK l bookmark92 4.2模型的破产概率39 HYPERLINK l bookmark94 4.2.1模型的最终破产概率39 HYPERLINK l bookmark96 4.3本章小结41第5章总结43 HYPERLINK l bookmark100 参考文献44第1章绪论1.1破产理论概述在金融数学和保险数学的范畴内，破产理论是风险理论的核心内容。它运用随机过程，轶等数学工具，在一系列合乎现实情况假设的基础上，通过建立模型，进行分析和推导，最终得到保险公司的收益过程，并由此计算保险公司的破产概率，破产前盈

6、余等等。1903年，瑞典精算师FilipLundberg发表了他的博士论文ApproximeradFrastallningavsanolkhetsfunktionen开创了破产理论的研究。H.Camrer在完善E.Lundbeg的数学工作中起重要作用，同时也对概率论和数理统计的发展做出重要贡献。H.Cramer也发展了严格的随机过程理论F.Lundberg与H.Cramer的工作为经典破产理论的基本定理打下了坚实的理论基础。继H.Camrer之后，WilliamFeller1和HomsU.Gerber2是当代研究破产理论的领先学者.HomnsU.Gerber不仅将较方法引入到破产理论的研究中，

7、而且深化了经典破产理论的研究内容。他在30年前写的数学风险论导引一书，已成为当今研究这一领域的经典著作J.Crandell3在为他的专著AspectsofRiskTheory所写的序言中指出：“任一掌握了Gerber的著作数学风险论导引中所述风险理论知识的人皆可视为一精算师。”F.Dufresne4等研究了Gamma过程和逆高斯过程两类广复合泊松过程研究的主要内容仍为破产概率，可利用经典破产理论的结果直接导出。当代风险理论还有若干其他的有代表性的研究方向。一种是完全离散的经典风险模型。经典风险模型大部分的研究是关于连续时间的，但也有一些学者对完全离散的经典风险模型进行了研究。另一种是重尾分布的

8、风险理论。经典风险模型大部分的研究是关于“小索赔”情形的破产理论，要求调节系数存在。对于“大索赔”情形的破产理论，确切地说，对于重尾分布的破产理论研究就必须启用新的数学工具，如次指数分布.这样的研究是用于火险，风暴险与洪水险等灾难性保险。R.EmbrechtsC.Klupelberg5等在这方面开展了较系统的研究.再一种是具有复合资产的风险理论。迄今为止，绝大部分风险理论的研究都不计利率保费收入一成不变，即不随瞬时盈余的多寡而有所调整，同时也不涉及投资收益。直至最近，对具投资收益的风险理论的兴趣才猛增。还有一种是保险数学与金融数学的交叉研究。H.U.Gerber及其合作者几乎已经把经典破产理论

9、的研究做到了极致，而要从事现代破产理论的研究，需要较艰深的概率论方面的知识（如随机分析，点过程等）这已经远远超出了精算从业人员，乃至大多数从事精算理论研究人员的数学背景。从1994年起,H.U.Gerber的兴趣开始转向精算数学和金融数学的交叉研究。他和Shiu6合作，利用传统精算学的工具，讨论了未定权益和永久性期权的定价，发表了一系列引起广泛反响的重要文章，从而为经典破产理论的研究注入了新的活力，他们的研究成果也引起了从事金融数学研究人员的关注，金融数学和保险数学的交叉研究已成为精算学理论研究的新热点，其研究前景被普遍看好。1.2研究动机和目的近年来，随着经济的发展，保险行业在各国的金融体系

10、中占有的比重日益增大，保险公司能否健康的发展对整个经济的稳定起着举足轻重的作用，所以对于保险公司破产的风险度量与管理也日益引起人们的重视。我们知道保险公司的建立是为了减轻某些意外事件产生的影响。他自身就积聚了大量的风险，其经营机制是保险公司以一定量的保险费向被保险人出售有某些保障功能的保单，在保单的有效期内如果产生相关的意外或毁坏，保险公司将按保单的规定向被保险人支付赔偿金。保险公司的经营目标就是在较长时期建立保险人盈余。所谓盈余是指某初始基金加上收取的保费超过理赔的那一部分。如果盈余出现为负，在保险精算理论中就称为破产发生，一旦出现破产，并不意味着保险公司已经失去了生存的能力，但也在一定意义

11、上说明了该保险公司的偿付能力7。所以对于保险公司来说，偿付能力不强，当发生支付危机时，保险公司容易发生破产。所谓支付危机是指保险公司的责任准备金不足一履行起给付责任，而必须由其他来源的资或者是新增的保费收入进行弥补的一种状况。在保险公司高速发展的阶段，尤其是寿险公司，现金流入远远超过现金流出，因而支付危机不会显现出来。但寿险公司的保费收入的增长有起固有的规律，不可能长期保持超常发展。因此，责任准备金长期不足而依赖新的保费收入弥补的状况从长远来看是难以维持，这样保险公司较易发生破产。特别是在新兴市场中，保险公司的经营还处于基金积累阶段，大规模的给付阶段还没有到来。此时保费收入高速增长而给付的负担

12、较小，因此，公司的现金流量状况近期可以满足高额佣金支出和大规模的固定资产投资。但是，如果长期的责任准备金提取不足、资金运用不合理，那么到未来的给付阶段，累积的准备金与实际给付之间很可能出现大量的缺口，而那时候的保费收入增长速度已经趋于平稳，在这种情况下，有可能爆发支付危机。而偿付能力是指保险公司对所承担责任的经济补偿能力，几偿付到期债务的能力。它包含两层意思：一是正常情况下，保险公司具有的完全承担给付责任的能力。例如对于寿险公司，在理论上，如果正常年份没有重大的伤亡事件发生（发生自然灾害，如地震、洪水等等），只要保险公司厘定适当合理的保险费率，提取各项准备金，并合理投资，使保险公司的资金按照预

13、定的速度增值，保险公司就有足够的资金给付，维持其偿付能力。因此，是否具有偿付能力主要取决于保险公司对其所承担的义务是否建立起足够的准备金。另一含义是在非正常年份，保险公司的实际资产减去负债后的余额就必须经常保持在一定的最低额度，以应付可能发生的不利情况。但在本文中主要是考虑当保险公司的保费收入不足以应付大量的索赔而发生的破产概率，而没有考虑保险公司将一定的保费进行投资，以及没有考虑利率因素和通货膨胀因素，之所以这样是为了是模型较为简单，便于求出其破产概率。在保险中，为了对保险合同的风险进行度量，Tetens把风险定义为：如果合同导致损失，则合同的预期损失就是风险。自E.Halley于1693年

14、编制了世界上第一个生命表算起，风险理论的发展已经有300多年的历史。风险理论是近代应用数学的一个重要分支，主要应用于保险、金融、证券投资以及风险管理等领域，它借助于概率论与随机过程理论构造数学模型，来描述各种风险业务过程。风险理论作为经营者或决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论已广泛应用于投资和保险等行业之中。投资者经常需要选择那些损失小、收益大的项目；而保险公司是获得投保人缴纳的保费收益，同时承担投保人所面临的相关风险，保险公司和投保人也要面对风险和收益进行风险选择8。为了更科学的进行选择，就要对风险过程进行多方面的具体研究，其中对其稳定性的重要指标一破产概率相关问题的研究，形成了一个重

15、要的研究领域，破产理论。破产理论(ruintheory)是风险理论(risktheory)的核心内容，现己公认，破产理论的研究溯源于瑞典精算师FilipLundberg于1903年发表的博士论文，至今己有百余年的历史。他的工作奠定了非寿险随机模型的基本结构形式，也奠定了保险风险理论的基础，在此基础上，HaraldCramer(1955)构筑了非寿险数学模型的概率基础，使得风险理论成为应用概率统计的一个非常活跃的分支。破产理论是研究风险经营者经营状况的方法理论，主要应用于风险经营过程的稳定性分析，预测经营者在有限时间内和最终破产的可能性大小，从而对经营策略起到指导性作用。在进行风险决策前，对将来

16、要进行的风险经营过程进行稳定性分析有重要的现实意义和理论意义，尤其在投资和保险行业，其现实意义更加明显，通过对破产概率的估计和预测，可决定是否对一项目进行投资，通过一新险种将来经营过程的稳定性分析，可以决定是否开发这一险种，同时对该险种保费厘定也有指导作用，可以通过调节保费来达到减小风险经营过程的破产可能性的目的。如今，风险理论已经成为保险精算学的一个重要分支，在保险理论与实践中具有十分重要的作用。对保险公司破产概率的研究不仅可以为保险公司的决策者提供参考，指导其健废发展，同时对稳定整个金融市场也有很重要的作用。1.3破产理论的研究现状破产理论的研究既有其实际的应用背景，也有其概率论上的研究价

17、值。事实上，一类非常重要的随机过程，即Poisson过程，正是Lundberg首次在1903年博士论文中提出的，不过Lundberg的工作不符合现代数学的严格标准，它的严格化是以HaraldCramer为首的瑞典学派完成的，Cramer将Lundberg的工作建立在坚实的数学基础之上，与此同时，Cramer也发展了严格的随机过程理论。另外HansGerber是Cramer之后当代研究破产论的国际领先学者，他不仅将鞅方法引入到破产论的究中，而且深化了经典破产论的研究内容。另一方面，人们依据风险模型的不同提法，针对保险公司运作中遇到的种种问题，通过对概率或统计模型进行修正，附加必要条件，得到种种在

18、不同方面进行完善的保险风险模型，使得模型更接近保险公司的实际运作过程，这使得风险模型的研究变得非常富有挑战性，所以对不同风险模型的破产概率研究在国际上一直是人们关注的一个焦点，但国内从事这方面研究的人员还比较少，有关破产论的发展和研究现状的综述性文献和专著有：Gerber(1979)，Grandell(1993)，Asmussen(2000)等。现已公认，Lundberg与Cramer的工作为经典破产论的基本定理。Lundberg一Cramer经典风险模型是这样描述的(以下简称L-C模型)：理赔的到达次数用Poisson过程来表示；由保险公司支付的个别理赔额表示为一类独立同分布的随机变量序列；

19、理赔过程与表示理赔额的随机变量序列是独立的；单位时间保费收入是常数。其凤险过程定义为：50子皿-底roJ-1其实际背景为：u(t)是保险公司f时刻的盈余资产，U是保险公司的初始盈余，c是单位时间保费收入率，置是个体理赔额，Xi是表示理赔到达的Poisson过程7。Lundberg和Cramer给出了关于破产概率的近似式及指数型上界。他们指出：初始盈余为0时，破产概率屮(0)的解仅依赖于相对安全负载8，而和个体理赔额分布的具体形式无关；若初始盈余很大，保险公司在经营“小索赔”业务时,破产是不易发生的。虽然Lundberg和Cramer7的工作奠定了风险论的基础，并为精算师处理绝大多数实际的保险问

20、题提供了主要的分析工具，但其分析方法较冗繁，其后最令人瞩目的方法论的改进就是Willia-imFeller的更新论证技巧和HansGerber的辩证法。WilliaimFelleri证明了破产概率满足的更新方程，运用关键更新定理得到了破产概率的近似表达式。HansGerber通过盈余过程构造鞅，运用停时定理及鞅收敛定理证明了破产概率满足的Lundberg型指数上界。这两种方法已成为后续研究该领域的主要方法。关于风险模型中破产概率的研究，可以根据风险模型的不同提法，再针对保险公司运作中遇到的种种实际问题，通过对概率或统计模型进行修正，附加种种条件，使得模型更接近保险公司的实际运作。因此破产概率的

21、研究变得非常富有挑战性，一直成为人们关注的焦点。常见的对L-C经典风险模型的推广，主要分为四类：第一类：理赔到达过程的推广。将理赔到达过程推广为更薪过程、广义复合Poisson过程、Cox过程、Gamma过程和逆高斯过程等等。这些过程的推广可以顾及到由于季节或政治等因素所引起的理赔到达过程中其强度不是常数的性质，所以在理论界与实务界得到了广泛的应用。第二类:对保费到达过程的推广。同理赔到达过程的推广类似,保费到达过程也可推广为Poisson过程、Cox过程、更新过程等。同时，保费收入率不再是一成不变的常数，而是更贴近实际情况的随机变量。第三类：引入利率和投资因素，考虑Wiener过程等对盈余过

22、程的干扰，或者考虑支付红利情形，从而使得风险模型更接近保险公司的实际运作。实际中，保险公司的大部分盈余来自于投资的收入，所以具有利率因素的风险模型正日益受到人们的关注。SundtTengels(1995)研究了常利率下复合Poisson模型的最终破产概率。在常利率且有随机投资收入的假设下，Paulsen和Gjessing(1997)得到了破产概率的Lundberg指数型上界8。此外，外部因素的干扰及保险公司管理或经营的偏差，都会对保险公司的财务造成影响，因此考虑受到随机干扰的风险过程就显得尤其要。Gerber(1970)首先提出了带干扰的经典风险模型,Durfesne和Gerber(1991)

23、发现该模型中生存概率满足的亏损更新方程，讨论了经典风险模型在有不同干扰时破产概率的上下界问题。由于保险业的竞争日益激烈化和人们对保险产品认知程度的逐渐提高，带有分红性质的保险产品已经进入大家的实际生活中,同时保险公司如何回馈股东使得股东利益最大化也随之成为一个重要的话题。因此研究支付红利情形下保险公司的破产概率及何时实施最优红利策略就十分具有现实意义。此外，近年来，随着风险管理的发展，人们越来越重视风险理论，并对其某些方面进行了深入研究。例如，(1)混合分布的研究，考虑理赔量的分布次数N的分布中的参数也是随机变量，所得的总理赔量的分布即为混合分布，混合分布更适宜于描述实际情况。(2)如何根据保

24、险实际，利用极大似然法等统计方法选择符合实际的风险模型，并对模型中的有关参数进行估计。(3)破产概率的其它更为简便的求解方法，有限时间内的破产概率、破产时间、停时等问题的研究。(4)再保险的不同形式对风险控制的作用。(5)考虑通胀和利率因素的风险模型。(6)各种风险模型的数值计算方法等。另外，鞅方法的引入也给风险理论的研究注入了新的活力。1.4预备知识先给出本文常用的随机过程的一般定义：定义4.1设(Q,F，P)是概率空间，T是给定的参数集，若对于每个t属于T，有一个随机变量X(t,w)与之对应，则称随机变量族x(t，w)，t属于T是(Q，F，P)上的随机过程，简记为随机过程x(t)，t属于T

25、。T称为参数集。定义4.2称随机过程N(t),tO为计数过程，若N(t)表示到时刻t为止发生的事件的总数，且N(t)满足下列条件：N(t)$0;N(t)取正整数值；若st，则N(s)WN(t);当st时，N(t)-N(s)等于区间(s，t中事件发生的次数。泊松过程是计数过程的最重要的类型之一，其定义如下：定义4.3称计数过程N(t),t$0为具有参数的泊松过程，若它满足下列条件：N(0)=0N(t)是独立增量过程；N(t)满足下列两式：P(N(t+h)-N(t)=l)=入h+o(h)P(N(t+h)-N(t)2)=o(h)定义中的条件(3)说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不能

26、有两个或两个以上事件同时发生。因此泊松过程常被用来描述稀有事件的发生过程。泊松过程的来到时间间隔是独立同分布的指数随机变量，一种自然的推广是考虑来到时间间隔独立同分布，但分布函数是任意的计数过程。这样的计数过程称为更新过程。设Xn，n=1,2,3是一列非负的随机变量，具有共同的分布F，假设F(0)=P(Xn=0)1则Xn表示第n1个与第n个事件之间的时间，记表示相继发生的两事件的间隔的均值，并且注意到从假设Xn0与F(0)l可得0卩W，令：可知Sn是第n个事件发生的时刻。因为到时刻t已发生的事件个数等于使第n个事件在时间t或t之前发生的n的最大值。所以到时刻t己发生的事件个数N(t)为N(t)

27、=supn:Sn=t定义4.4上述的计数过程N(t),t0称为更新过程.由于到时刻t为止的更新次数大于或等于，当且仅当在t之前或在t时刻发生第n次更新，即N(t)=sup:Sn0为一常数，表示保险公司在单位时间收取的保险费率，S(t)表示至。时刻t为止的索赔总额。记，t$0,其中xk表示第k次索赔额，N(t)则表k示至时刻t为止发生的索赔次数。N(O),t$0是以为参数的泊松过程，由于未来时刻的盈余是未知的，U(t)便是一个连续时间的随机变量。此模型即为经典Lundbergcrame;风险模型。考虑保险公司的资本金盈余过程u(t):t之0随时间的积累问题：由于挣得的保费，随机过程u(t)随着时

28、间连续增加，但是又由于对索赔的赔付，该随机过程会逐段有下跳当盈余过程首次出现负值，我们就说发生了破产。而相应的概率就称为破产概率，即屮(妨=P(71V811/(0)=0其中T=inft:U(t)0通常称为破产时刻，显然汕山i-t加为生存概率，P(T=-)即为永不破产概率。而相应的有限时间破产概率就可以表示为屮仏门=Pt0但是盈余过程为负值并不等价于保险公司无力偿付债务或真的破产，如果我们考虑了其它许多影响盈余的因素，盈余任有可能为正的或回复为正。破产概率可以作为综合保费和索赔过程的保险公司稳健性的一个指标，是风险管理的一个有用工具。破产概率高意味着保险公司不稳定，这时保险公司必须采取措施，例如

29、进行再保或提高保费等，或设法吸收一些额外的资本金。破产概率的计算是精算数学的一个经典的问题。虽然有可能求出没有破产的概率的矩母函数，但是破产概率仅仅对两种类型的索赔分布才容易计算出来。他们是指数分布及其和、混合或组合以及只取有限个值的分布。不过对其他一些分布来说，通常我们可以建立一个足够精确的上界估计屮(u)We-Ru该表达式中的实数R被称为调节系数。这个所谓的Lundberg上界常常被用来代替真正的破产概率值。R越大，破产概率的上界就越小，从而形势就越安全。调节系数R可以通过求解方程：】4亍=见(町来得到。其中Mx(r)表示理赔X的矩母函数：叭E严-屮亦E=L+pnl-F)dxc=(i+e)

30、入ij，卩=ex，这里e$0,称为相对安全附加因子。我们的目的是获得对破产概率的具体表达式。要想直接得到这个函数表达式非常困难，但Lundberg(1919)发现一个间接的表达方法，即引入一个能起到中介作用的参数，称为Lundbe电系数或调节系数，先把破产概率表达为调节系数的函数，再寻求对调节系数的计算。由上面两公式知，调节系数R满足下述等式：注意到即知，非负函数不是一个概率密度函数。但若令C由上式，即知f(x)为一概率密度函数，这就是调节系数R命名的由来。第2章风险理论风险理论有三个基本的模型：短期个别风险模型、短期聚合风险模型、长期聚合风险模型。前两个模型可直接应用于保险产品纯保费的计算，

31、而长期聚合风险模型对再保险、保险监管、非寿险利润与定价的有关测算等都有重要的作用。在本章中只介绍前两个基本模型，并阐述破产理论的基本原理。21短期个别风险模型在介绍短期个别风险模型之前，先介绍风险理论的2个重要函数(矩母函数Laplace变换)及2个条件期望和条件方差基本公式。设X为一随机变量，其分布函数为F(X)。令Mx(t)=Eetx=jetxdF(X),称Mx(t)为x的矩母函数(简记为m.g.f)。矩母函数可以完全刻画随机变量X的分布特征：如果2个随机变量具有相同的矩母函数，则它们的分布函数也相同。由于这种对应的关系，矩母函数便成为研究随即变量的一个得心应手的工具，以矩母函数表达的结论

32、均可以转换成关于分布的结论。另外，矩母函数与原点矩有关系：酹=必捫(0)二务加川)|“(2-1)对于任意k$1成立，这也就把Mx(t)称为矩母函数的原因10。矩母函数有一个很好的性质：独立和的矩母函数等于各个变量的矩母函数之积，即设：S=X1+X2+Xm，其中X1,X2，Xm相互独立，则有：叫(0=(f)M忍这一性质在研究总理赔量的分布时具有重要的意义。再来看随机变量的另一个常用函数，Lx(t)=Eetx=/etxdF(X)对任意的tO成立，则称Lx(t)为X的Laplace变换(简记为LT)。显然Lx(t)=Mx(-1)。利用全概率公式，可以得到下列2个条件期望和条件方差的基本公式11：EY

33、=EEY|X(2-2)VarY二EVarY|X+VarEY|X(2-3)公式(2-2)称为期望的累计法则。公式(2-3)则表明，总的方差可以分解为方差的期望与条件期望的方差之和。下面来介绍短期个别风险模型。对于保险机构，设其某种风险的随机损失(理赔量)为S，且S=X1+X2+Xm,，其中Xi是保单i的损失，其分布函数为Fi(X),n是保单数。假定X1，X2,Xm相互独立，现在的问题是求出S的分布，主要有两种方法：方法l,由概率论可知，S的分布函数FS=F(n)，其中F(n)为分布函数。F1,F2,，Fn的卷积，其计算采用递归的方法，F(1)=F1，F(2)=F2*F(1),F(n)=Fn*F(

34、n-1)特别地，当X1,X2,，Xn都具有同一分布函数F(x)时，F(n)记为F*n，称为F的n重卷积。方法2,利用矩母函数性质，S的矩母函数Ms(t)=M(t)M(t)x1x2M(t)，特别地，当X1，X2,，Xn都和X具有同一分布时，即具有xn相同的矩母函数Mx(t)时，Ms(t)=Mx(t)n，求出矩母函数后，利用矩母函数的连续性与唯一性，便可以得到S的分布。对于方法1，当n较大时，卷积的计算是相当复杂的。而方法2的优点是Ms(t)的计算非常简便，其难点在于识别出Ms(t)是何种分布的矩母函数，有时需要高深的数学工具才能求出S的分布。因此，在实际应用中往往是求得S的分布的数值近似。利用X

35、1X2,，Xn的独立性，有：ES=E(Xt吩昭级XJ而由中心极限定理，当n较大时(在保险中n般都比较S-ES大)，近似服从标准正态分布N(O,1)。短期个别风险模型可用于单险种的有关问题的研究，如人寿保险、汽车保险、火灾保险等；也可用于某一险种的再保险研究,如自留额的计算等，在这里就不作详细的介绍了。22短期聚合风险模型在上一节我们讨论的个别风险模型是基于对个别保单理赔量分别考虑的，保单数是非随机的，且总理赔量为所有保单理赔量的总和。而本节要介绍的聚合风险模型则将个别理赔的产生视为一随机过程，短期聚合风险模型简述如下：设N是给定时期中保单的理赔次数，它是一个取非负整数的随机变量，Xi是第i次的

36、理赔量(i=1,2,，N)，则这一时期的总理赔量S可以表示为：S=X+x+x12N这里我们假定：(1)X1，X2，Xn都是和X同分布的随机变量，分布函数为P(x)；(2)随机变量N，X1，X2，,Xn相互独立。本节的主要问题仍然是求出S的分布，令Pk=EXk%x的k阶原点矩。首先由(2-2)，(2-3)式有：ES=EX*EN=P1EN(2-4)VarS=VarN(EX)2+ENVarX二P/VarN+(P2-P2)EN11(2-5)这两个等式的证明过程如下:证明：ES=EES|N二工卡兀丰+乂川|N二hPtN二n二E尽+花+十X二闰PrW二旳特MJn二可禺+兀+*PrN+Ha=0=工昭PN=舟

37、=MV即等式(2-4)得证(注意其中的Xi与N是相互独立的)。VarS=EVar(SN)+VarES|AQ二ENVar(X)UrAJ=Var(X)EN+pVarN之乃一卅)可旳十比临N即等式(2-5)得证(注意其中的N与X是相互独立的)。(2-4)式表明，总的理赔量的期望值等于理赔次数的期望值与个别理赔量的期望的乘积，而(2-5)式则表明，总的理赔量的方差可以分解为两个分量：第一个分量反映了理赔量次数是随机的，第二个分量反映了个别理赔量是随机的。S的矩母函数为：Ms(t)二Eets二MjlnMx(t)(26)其中mn，Mx分别为n和x的矩母函数。该式的证明如下：证明：(0=E/=EEeIJVJ

38、二言可/分並+心)jN=呵Pr(N=h)=E0WF+7牛珊n=n)nO=M龙(/)rPr(Nm)=E(/心屮1n=0即等式(2-6)得证。利用全概率公式，可以知道S的分布函数为：F(x)=n(x)Pr(N=ft)(2-7)其中P*为P(x)的口阶卷积，特别规定特别，如果个别理赔量是离散型分布，其概率函数为p(x)=Pr(X=x)，则总理赔量S也是离散型的，其概率函数为：/=Pr(S=x)=pH(x)Pr(N=)其中p*ff(jc)=p*p*p=Pr(Arl中兀+无幷-x)c理赔次数N取不同的分布，个别理赔量取不同的分布P(x)，就得到了总理赔量S的不同复合分布。如果N为Poisson分布，贝吧

39、的相应分布便成为复合Poisson分布；当n为负二项分布时，S的分布则称为负二项分布。N也可以取二项分布，对数分布等。对于个别理赔量x的分布，由于计算s的分布F(x)时需要作卷积运算，所以应该尽可能选择便于计算的分布函数。下面介绍2种重要的复合分布：复合Poisson分布和复合负二项分布。1.复合Poisson分布。当理赔次数N服从参数为入的Poisson分布，个别理赔量的分布函数为P(x)时，称s的分布为由参数入，分布函数P(x)决定的复合Poisson分布，由(2-4)至(2-7)式有：ES二入p,VarS二入p212K（0=严沁円,F（x）=”（旳耳_-n!复合Poisson分布有一个非

40、常好的性质，如定理2.1所示。定理2.112（复合泊松的和仍然是复合泊松分布）如果S1,S2,Sm是一系列独立的复合泊松随机变量，分别具有参数入和理赔分布P1，i=1,2,，m,那么S=S1+S2+Sm仍然是一个复合泊松随机变量，具有参数：ffiLwJj-lr-|几由定理2.1,我们知道辨个独立复合泊松保单的总和仍然服从复合泊松分布，或者对同一个复合泊松保单观测m年且假设逐年的结果相互独立，贝血年结果的总和也仍然是服从复合泊松分布的。这一性质在建立保险模型中有2个重要的应用：第一，如果有m个险种，每个险种总理赔量是复合泊松分布并且相互独立，则总理赔量也是复合泊松分布；第二，考虑m年期的单个险种

41、，假设m个年总理赔量均是复合泊松分布（其分布也可以不同），贝则n年期的总理赔量也服从复合泊松分布。我们来看一个特例，当每一个St有非随机的理陪额x时，我们有S=xN，其中NiPoisson（入i）。iii现在设所有X全不相同，则随机变量：iS=x1N1+x2N2+xmNm（2-8）是一个复合泊松随机变量，参数为：兄=人+益+九和卩（兀）二牛=12册我们还可以证明逆命题如下：定理2.213（理赔次数服从独立泊松分布）设s服从复合泊松分布，其中参数为入，理陪分布是一个离散型分布，满足：n=p(x)=PrX=x,i=l,2,miii如果把S写成(2.8)式那样，其中M表示理陪额X。发生的次数(即Si

42、的和式里面值Xi出现的次数)，那么Nl,N2,，Nm构成一列独立Poisson(入ni)随机变量。定理2.314(复合泊松分布与中心极限定理)设S服从复合泊松分布，其中参数为入，理赔分布P(*)具有有限方差。记U=ES和O2=VarS,则:iimPrEN工=0，0p1,q=1-p,此时S的分布被称为复合负二项分布。对复合负二项分布S，由(2-4)至(2.7)式有：ESpvt如阳瞠p严吗p；PPP-0，只有满足了这个条件保险公司的破产概率才不会以1发生，所以称其为安全附加系数。保险公司在实际的经营中，最关心的是破产概率，当盈余首次在某一时刻为负值时。理论上便认为保险公司破产。记破产发生的时刻为：

43、T=inft:tO且U(t)0，则约定T=g，表示保险公司不会发生破产。记屮(U)=Pr(T0(2-12)对于方程(2-12)，求出R(U)的Laplace变换，再求Laplace的逆变换，便可以得出R(U)的表达式。利用定理2.6,可以求出当保险公司没有初始盈余时，其存活概率为R(0)=0/1+0，有趣的是，这一概率仅仅依赖于安全附加系数e，而与参数入以及个别理赔量分布函数P(x)无关。2.4本章小结本章对短期个别风险模型、短期聚合风险模型以及主要破产理论的主要内容进行了讨论，应用到了2个重要的的函数：矩母函数和Laplace变换，利用他们来求解破产概率，求解过程比较复杂。近年来，人们越来越

44、重视风险理论，并对其某些方面进行了深入的研究，如破产概率的其它更为简便的求解方法，有限时间内的破产概率、破产时间、停时研究等等。第3章带干扰的双复合泊松风险模型31模型的建立：考虑下面的风险过程：MN(t)u+工G-工+(3)2丄丿其中M=M(t),t$0是强度为a的齐次泊松过程，即EM(t)=at,M(t)表示至时刻t止收到的保单数;C=Ci,i$1是独立同分布随机变量序列，具有共同的分布函数G(x),G(0)=0,ECi=q,Ci表示每张保单的保费，表示至时刻t的总保费收入。假定过程M与C相互独立，N=N(t),t$0是强度为0的齐次泊松过程，即EN(t)二Pt,N(t)表示至时刻t收到的

45、索赔次数，Y=Y,i$1是相互独立同分布的随机变量序列，具有共同的分布函数F(x),EYi=p,Yi表示第i次的索赔量，表示至时刻t的总索赔量，W(t)为一个标准的维纳过程，表示保险公司不确定的收益和付款，常数p$0。并且M(t),t$0,Ci,i$1,N(t),t$0,Yi,i$1W(t),t$0相互独立保险公司为运作上的安全，要求ER(t)0,即EM(t)ECi-EN(t)EYi=(qa-pp)t0。3.2预备引理引理31liniLr(C=证明：由IlinEM(/)=limtzZ=co,limEN(t)=lim/Sf=ooT显然ioo时，jfMinfMWOf8卫4“(f)T8卫斗所以据强大

46、数定律知：呦W)险型=1迅竺-进+边T郎t/-f/|=恤呈如卜li證也+Iim2*fM(l)t1*eN(t)fr*t=aECt一冲+pEW(t=gar-p00,故limLYf)=ao.定义3.2根据模型(3T)的假定，定义Ci的Laplace变换(r)=p-G(x)?r0定义Yi的矩母函数m(r)=ndFx)引理3.3对于过程R(t),t$0，存在函数g(r)，使得:Ee-rR(t)=etg(，且方程g(r)=0的解有唯一正解R,称之为调节系数。“呦证明：Ee曲=Eexp-r(-監+护)41I=expat(r)一lexp-1exp()t=expa(p(r)一1+pmr)-1+令g(r)=创哄尸

47、)-1+-1+子又：2aEle-C)+J3EeY+p2rdr=aE严C2+PEY1J+p1所以生二|心=-円+如VOar内是一个凸函数，进而故函数g(，只要理赔量Y以正概率取足够大的值，dg(r)/dr将一直保持为正，从而g(r)在r0内有唯一的极小值点，又g(0)=0，于是g(r)=0方程有唯一的正根，我们记之为R。在后文中出现的R皆指该处的调节系数，不再说明。引理3.4对于盈余过程，定义事件流=CT(Lr(/),/0,则:何毗；0是鞅口证明：对stt得fE严丽捫-札s刘馳皿砌饥r二乐w+s仏比门E甲叫n阀$texp-1+-1+()(*)_c得证。则R(t)-R(s)=S(t)-S(s)+S

48、(t)-S(s)+pW(t)-W(s)，其中S(t)-S(s),S(t)-S(s),W(t)-W(s)是相互独立的,且S(t)-S(s)服从参数为a(t-s)的复合泊松分布，S(t)-S(s)服从参数为0(t-s)的复合泊松分布，W(t)-W(s)服从N(0,t-s)分布。又由引理3.3,所以有(*)式成立。3.3主要结果定理3.1破产概率的表达式为：证明：显然，T是oU(t),t$0的停时，选取tt0=E严门卩三怙jPT“+E严1広r0)又0MEe-(I(TD)0)O(/og%)*所以在上式中令t。too,得：严=Ec-flt/(r)|roop(roo)Ru所以()=E严推论3.2破产概率的

49、一个上界。屮(u)We-Ru证明：显然U(T)O)l-G(y-u)dy证明:在很小的时间区间(0,t)内，我们分以下四种情况来考察。在(0,t内，M和N均无跳跃发生，其概率为(l-at)(l-0t+o(At)在(0,t内，M有一跳，N无跳跃，其概率为a(1-0t)+o(At)在(0,t内，M无跳跃，N有一跳，其概率为那才0(1一at)+o(At)(W)在(0，t内，M(N)至少有两个以上的跳跃，或M，N同时有跳跃发生，其概率为0。t)有全概率公式有：(u)=(1-aA/)(l-(it+pW(A/)+aA?(l-0A/)Ef(“+x+pW(Af)dG(x)+0A/(1-辺)E即+p琢(Az)dF

50、(y)+o(AO利用泰勒展开式及(u)具有可微性17我们有:(+pPF(AZ)=(叭+x?山+O(A/)(2.4.1)2将(241)代入上式，令A/T0得：(a+0)依)一)b=a(I(”+Jt)dG(x)+0f(y)(l-G(y)dy-f(y)(G(y)-G(y-z)dy2占(2,43)+/?fo(r)(l-F(z-/)*在(243中令z-8,因(参看14)&(b)=0得；殳(0)订03(1G(刃烛(2.4.4)(2A4)代入(2.43)得：2牛(町=0(1-F(u-f)側-aA)l-G(j-u)(fy34本章小结本章对双复合Poisson风险模型作了一定的研究，其中在单位时间内的保费收入不

51、再是一个常数，而是一个随机变量，这与保险公司中的实际情况是一致的，并对该模型的最终破产概率屮(U)的一般表达式作了推导，对涉及到的一些定理破产概率上界也给出了证明过程。第4章同时含有正、负风险过程的风险模型对保险公司而言，除了拥有财产保险这类险种之外，还会拥有寿险年金这类保险业务。通常我们将财产保险这类险种视为正风险过程，而将寿险年金这类险种视为负风险过程。本章将基本负风险过程改进为同时含有正、负风险过程的风险模型，并且正、负这两个类之间是相关的，即针对这两类风险的索赔往往会在某一不确定因素下同时发生。本章参照文献18、19得到了同时含有F、负风险过程的风险模型的主要性质和破产概率的相关结论，

52、并将模型与正、负两类风险过程相互独立时的情况进行比较。主要工作在于利用鞅的方法得到了模型的破产时刻的条件期望的显式，并对含有正、负两个相关类的风险模型的破产概率进行数值模拟，分析了相关性对于模型破产概率的影响。4.1同时含有正、负风险过程的风险模型及其主要性质4.1.1模型介绍为了描述在某一共同因素的影响下针对正、负两类险种提出的索赔，我们引入了正负风险同时存在的风险模型。定义4.1设正、负两类风险过程分别定义为閃久(。=叭十川S=码+卯一工乙7?2(r)=u2-c2t+S2(/)=叫詁十工y/2则同时含有正、负两类风险过程的风险模型定义为R(t)二R1(t)+R2(t)二u+ctS(t)(4

53、-1)(1)u=ul+u2,u1,u2O分别表示这两个类的初始盈余；c=c1-c2；c10，c20分别表示保险公司从第一个类中收取的保费的费率以及保险公司支付给被保险人的常年金率；呵詔-荻)=岭门1-0i=lYi(i)Yi(2)分别为i.i.d序列，其共同分布分别记为Fl、F2,pl(k)、p2(k)分别表示Yi、Yik阶原点矩(k=1,2,3)，表示第1类理赔的第i次理赔量，Yi(2)(i=1,2,3)表示保险公司从第二类的第i次理赔中获得的“理赔量，Yi、Yi0,随机变量Yi(i)、Yi的第k阶原点矩分别为p1(k)、p2(k(3)N1(t),N2(t)为两个计数过程，且N1(t)=N11

54、(t)+N12(t)，N2(t)=N22(t)+N12(t)用以反映两类风险间具有的相关关系，其中N11(t)表示由正风险过程所产生的理赔的次数，N22(t)表示由负风险过程产生的“理赔“的次数，N12(t)则表示受某一因素的影响，使得正、负两个风险过程同时产生的理赔的次数。N1l(t)、Nl2(t)、N22(t)相互独立，分别服从参数为入1,入12,入2的泊松过程。为了使保险公司的期望赔付大于单位时间的支出，设：U(t)=ctS(t)=(c1c2)t一(S1(t)一S2(t)那么应有EU(t)$0，即卩&(入1+入12)p1一(入2+入12)p2(i).4.1.2模型的主要性质性质4.1定义

55、4.1中同时含有正、负两类风险的风险过程R(t)具有平稳独立增量性。证明：令osqr0时,R(t+s)-/?(/)=cs-S(r+$)-S(01+s2(/+5)-S2(0,而对S(+s)-S&)和S2(f+$)-S2(/)來说，相应的差分别都是同分布的,所以弘)具有平稳增量性。综上所述尺具有平稳独立增量性。性质4.2设M2)、A/2(门分别为乙、乙的矩母函数，则定义4.1中S(/)的矩母函数Ms“)(门和分布函数F分别为：yJMt尸)卡2(F+I(f)M2(-r)-1)飾+飾+警耳呵证明:严仰pr(耳-即)i=i=Eexpr(X+工叩工叩一口)TOC o 1-5 h z仕1i=lZ加1讥)臥邓

56、也)哑)=exp(r呼现牢-r/2)-exp(-r叩)注If=!丘1Z=exp2jf(M(r)一1)+(一尸)一1)+(r)Af2(-r)一1)=exp(令M&)+伞“2(-”+孕冋(r)M2(-r)-1)AAA又由唯一性可知S的分布函数F=片+性质4.3索赔过程S1(t)与S2(t)之间是正相关的。证明：VarSx+S2（f）=（入+人2）+（易+人?）pt+2右2刃刃叫而Cov(Sx-+4兀rS|%尬22COy(S,(f),S2(Q)因此对于盈余模型（4.1）,正风险过程与负风险过程是正相关的。42模型的破产概率421模型的最终破产概率定理4.1设定义4.1中同时含有正、负两类风险的风险过

57、程的盈利过程U(t)二ct-S(t),则存在函数g(r)，使得Ee-rU(t)二etg(r)。证明：EerU(t)=Ee-rltS,)=Eerct+rS)=EeE/)=exp-ret+2/(r)+M2(-r)+(r)M2(-r)-1),22A令g(r)=cr+2.M,(r)+A2M2(-r)+(r)M2(-r)-A,则EerU(,)=etg(r)定理4.2当。沢人+心加卩-+如)/)时，方程cr+AjM(r)+22A/2(-r)+A12Ml(r)M2(-r)2=0,有唯一正根R。称为风险模型(4-1)的调节系数。证明:g(r)=cr+A,A/,(r)+(-r)+(r)Af2(-/|)-2,有g

58、(0)=0；limg(r)=oo；0(0)=(人+人2)卩一(人+入2)T-c0,由此可知函数g(r)为(0,+oo)上的凹函数，故在(O.+oo)上存在唯一的R0,使得g(/?)=0o定理4.3对于负风险模型(4.1),其破产概率训()=(4.2)Ee_|7|oo证明：利用全概率公式及Chebyshev不等式证明。E严=EerRi，T小PTt,(4.3)又.)=“+),贝q：exp-rwexpM2)+扌M?(-尸)Eerttl=E严s=exp-rw-e_rV(0J冏(尸)见(“)一1)一纣)将(4.3)式等号右端第1项记为為，可将盹)写为:R(t)=R(T)+R(t)R(T)=R(门十U(t

59、)-t7(r),对于给定的7R(T)与U(t)-U(T)之间相互独立，并且有：=exp-r/e(T)exp(2(牛岡(r)+Af2(-r)TOC o 1-5 h zArA+牛(r)M2(-r)-1)-cr)(_T)|gPTSt.A令y=R,即调节系数，利用定理(2.1)可将(4.3)式化为：eRu=e-r|TVtPTtPT/,(4.4)当ftoo时，(4.4)式可化为：eRu=EeRR(T)TaoPTPToo.(4.5)将(4.5)式右端第2项记为若能证明日2-0,则定理得证。设C-(人+人2)刃-(易+血0)，沪=(石+人2)即+无)附-2石2才农，2则有ER(t)=u+att如/?)=少，

60、令A=u+at-Ot11当f充分大时，A0并且当f00时，A-00。H2=我roo,0J?(r)00,R(T)APToo,R(T)AP0R（T）A+,由Chebyshev不等式可知：po0t3,叫=门，逖亍）2因此当/TOO时，已20。再由（4.5）式可知：eRu附仙）0时，存在R20使得定义4.1给出的同时含有正、负两类风险过程的模型的破产概率y/（u）=eRu.证明：参照文献21的证明，设0 xu,则人8q/8,从而Pinf(w+/(/)017；oo=Pinf(w+U(t)0|7；ao,=PTUoo忙oo0(“)二墜8_P迅00,7；80(X)PTx8PTxoo=Pinf(w+U(t)o|