高考复习资料用叉乘求法向量

1、高考复习资料平面法向量的求法及其应用平面的法向量1、定义：如果a _L a ,那么向量a叫做平面a的法向量。平面a的法向量共有两大类 （从方向上分），无数条。2、平面法向量的求法.方法一（内积法）：在给定的空间直角坐标系中，设平面口的法向量n = （x, y, 1）或.*4 444 4n =（x,1,z），或n =1,yz ,在平面a内任找两个不共线的向量 a,b。由n _La，得n a = 0II且n b =0,由此得到关于 x, y的方程组，解此方程组即可得到 n。方法二：任何一个x,y,z的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 x, y, z的一次方程。Ax + By +C

2、z + D = 0 （A, B,C不同时为0）,称为平面的一般方程。其法向量n = （A,B,C）;若平面与3个坐标轴的交点为 Pi（a,0,0）, P2（0,b,0）,P3（0,0,c）,如图所示，则平 x y z面万程为：一,上,- 二1,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向 a b c量。方法三（外积法）：设胃，号为空间中两个不平行的非零向量， 其外积0三为一长度 等于|a|b|sine, （8为国，两者交角，且0日 n），而与a, b皆垂直的向 量。通常我们采取右手定则，也就是右手四指由示的方向转为；的方向时，大拇指所指的方向规定为ax b的方向T T T Tax

3、 b = - bx a 。设 a = (x1, y1，乙)，b = (x2, y2,z2),则：a b =y1y24 _ Xi,z2X2Ziz2XiX2y1丫2(注：1、二阶行列式：M =a b = adcb ；c d例1、 已知，a = (2,1,0),b =(1,2,1),T Tf -f试求(1) ： a父 b; (2) ： bx a.T TT TKey: (1) a b =(1,-2,5) ;(2) b a -(-1,2,5)例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 ABCD A1B1c1D1中,高考复习资料平面法向量的应用1、求空间角7T求平面 AEF的一个法向量 n。key:法向量n =

4、T(1)、求线面角：如图2-1,设n是平面o(的法向量，AB是平面口的一条斜线， A W豆，则AB与平面ot所成的角为：图 2-1-1： -=-： n,AB2JIn AB=arccos 2|n|AB|-,f -,fn AB图 2-1-2: 1 -： n, AB 一一 = arccos-=2|n|AB|2 Tsin 二-| cos : n, AB |f(2)、求面面角：设向量m,Tn分别是平面aP的平面角为:（图 2-2）;T Tm n二-,(3)、证明面面垂直：在图 2-10中，m是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直(m，1=0)高考复习资料(4)、证明面面平行：在图2-1

5、1中，m向是平面q的法向量,n是平面P的法向量，证明A-xyzy轴，z轴，建立空间直角坐标系(I). AP =(0,0,1), AD =(1,0,0),又 DC =(0,1,0) , DP =(1,0,1),两平面的法向量共线(m =九n )。三、高考真题新解1、(2005全国I, 18)(本大题满分 12分)已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB/DC,1NDAB =90 , PA 1 底面 ABCD ,且 PA=AD=DC= AB=1 , 2M是PB的中点.(I )证明：面 PAD，面PCD;(n)求AC与PB所成的角；(出)求面 AMC与面BMC所成二面角的大小解:以A

6、点为原点，以分别以AD, AB , AP为x轴,如图所示.T T T设平面PAD的法向量为 m = APx AD = (0-1,0)设平面pcd的法向量为 n=DCm Dp = (1,0,1)二 m*n=0, m _L n ,即平面 PAD_L平面PCD。(II )： AC =(1,1,0), PB=(0,2,-1) , . ： AC,PBT TAC*PB 号 arccos；|AC|PB|.10=arccos5-11(III ). - CM =(1,0,一) 211 ,、m = CM CA =(一,1).2 2二-arccos2 3TCA=(1,1,0),设平在AMC的法向量为 TOC o 1

7、-5 h z HYPERLINK l bookmark75 o Current Document 11又 CB =(1,1,0),设平面 PCD 的法向量为 n = CM MCB = (,1).22T Tm*n, 2、:m, narccos =arccos( ). HYPERLINK l bookmark107 o Current Document |m|n|3一 ，一 ，2、一二面AMC与面BMC所成二面角的大小为 arccos().或 32、(2006年云南省第一次统测 19题)(本题满分12分)如图3-2,在长方体 ABCD ABGD中，已知 AB= AA=a, BC= J2 a, M是

8、 AD的中点。(I)求证：AD/平面ABC高考复习资料(H)求证：平面 AMC1平面ABD;(田)求点A到平面AMC勺距离。解：以D点为原点，分别以DA,DC,DD为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系 D-xyz如图所示.(I), BC =(-V2a,0,0) , BA1=(0,a,a),设平面 Abc 的法 向量为 TOC o 1-5 h z 222 2 2n =BC BAi =(0, 2a ,2a )一 三，二 T 匕 _ 三 T 一一又= AD =(T2a,0,0); n.AD =0: AD _L n,即 AD平面 AiBC.2，2(II ), ； MC =(a,0,a) , MAi

9、=(a, a,0)，设 平面 AiMC 的法 向量为 222 . 2 2、22m=MC MA1 =(a ,a ,-a), 22又 BDi =(J2a,-a,a) , BAi =(0,a,a),设平面 AiBD 的法 向量为n =BDi BAi =(0, .2a2,、2a2), HYPERLINK l bookmark24 o Current Document T Tf ?m*n =0,. m_L n，即平面 AiMC _1平面 AiBDi.(III ),设点A到平面AiMC的距离为d,2 -222 2.|m*MA|m|i=一 a，2丁 m =MC父MAi =(a ,a，一a )是平面amc的法向量， 22又= MA =(2a,0,0), a点到平面amc的距离为：d2四、用空间向量解决立体几何的“三步曲 (i)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件，相