高中数学胡不归与阿氏圆

1、“ PA+k PB ”型的最值问题【问题背景】“PA+k PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。.当k值为1时，即可转化为“ PA+PB ”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理；.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究即点P在直线上运动和点 P在圆上运动。(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。【知识储备】线段最值问题常用原理：三角形的三边关系：两边之和大于第

2、三边，两边之差小于第三边；两点间线段最短；连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（-）点P在直线上运动胡不归”问题如图1-1-1所示，已知si口/UBN二k, *P为角/MBN其中一边BM上的一个动 点，点A在射线画” BN的同侧,连接AP,则冯“PA+kFB”的值在小时，P点的 也也如何确定?分析：本题的关健在如何确定LP1T的大小，过点P作n上那垂足为 Q. 则 k PE二PE 吕in/MH、=PQ,:,本题求“PA+k,阳”的最小值转化为求MPA+PQff的最小值（加图1-1-2） 即A, P.。三点共线时最小（如图3），本题得解：思考：当k俱大干1时，“PA4

3、k，厢线敌求和时题读如何特化我?褪取累数k即可【教学故事】肽前，有一个小伙子在外地学徒1当他获番在家的老父亲病危的消息后,例立即启程赶路.由于思乡心切a他只考虑两点比间篇Bt短的朦 S.所以选择了全是沙砾雄带的直线0；经A山工如图所示3而忽视了走折雉虽 然路狸宅但速度快的实际情况.当他气喘时呼地赶到家时，老人刚刚咽了气，小 秋子失声痛要.邻居浙感小伙子时告诉说,老人弥第之际不断念叨着&超不归？ 点不何以打工这个占者的传说，羽超人们的思史.小伙子能舍提前到 篆I制若可以,他成读选择一条怎样的路战呢？这就是风靠干（T年的a叫不归何1典型例题】L （胡不归问膻）如图，四边形即C口是菱形，RB=4,且

4、/ABCXO* ,号为对龟线即（不含H点）上任意一点.则2M+；网的最小值为分析r如何揩;BM转化为其他线段呢?即本题k值为白必须转化为某角的正弦信啊.即转化为30角的正弦值.思考到这里.不难发现，只要作MN垂直于K，刀则即最小转化为AM MN最小，本题得解。 7详解：如图.作趾U于BC垂足为风7四边格ABCD是菱形H/ABO60 .A ZDBC=30fl ,即向NDBC十券，2二 AM+=BM=AM+MC,即 AM+；BM 的最小值为 AK 在RT4ABN中，AN=AB 式口上祝=8立=4,amTbm的最小值为3G(216 -56.52 ) +216【模型初探】（二）点P在上运动阿氏圆”问题

5、如图所示2T-L 00的半径为r,点机B都在外，P为。0卜一的动点,已知r二k OB.连接PA, PB,则当*PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确2-1-1图 2-1-2一 分析：本题的关犍在于如何确定k,PB的大小C如图2千）在线段QB 上截取0C使OC=k r,则可说明BP0与ziPCO相似，即k PB=P&，本题求“P/k *FB”的最小值转化为求PA+PC”的最小值,即A, P、C 三点共线时最小（如图2-17），本题待解。【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯国.己知平面上两点A、乩则所有满足 PA=kPE （kWD的点F的轨迹是一个回.这个轨迹最先由古希睛数学家阿波罗尼 斯发现，故

6、称“阿氏圆,。阿氏圆” 一般解题步骤；第一步：连接动点至圆心0 （将系数不为1的线段的两个端点分别与IH心 相连接），则连接OP、0B;第二步:计算出所连接的这两条线段OF、0B长度：第三步：计算这两条畿段长度的比筹=%第四步：在0B上取点C.使得若二器；第五步：连接AC,与圆口交点即为点匕【模型类比】“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数起点构造所需角（ksin/CAE）过终点作所构角边的垂线利用垂线段最短解决问题“阿氏圆”构造共边共角型相似构造PAfisCAP 推出 El = .4BAC即：半径的平方=原有线段k构造线段2.（阿氏问题）如图.点A、B在。上，且O，=OBW.且OA-OE点C

7、是0A的中点，点D在0B上，旦ODM,动点P在00上,则工PEPD的最小值为分析；如何将2PC转化为其他线段呢？不难发现本题出现了中点,即2倍关系就出现了口套用“阿氏圆”模型;构造共边共角相似华轻的平方;原有线段乂构造线段详解：二连接OP,也射线CM卜截取肚力.即：0产=OCxOE/-OPCAOEP二 PE = 1PC TOC o 1-5 h z 二2PC+PD = PE + PD,即P、D. E三点共线最小一/在 RTAdED l、DE = y/oDOE- = !6 + 144 = 4Vio即2PC +PP的最小值为4国.变式思考；(D本题如要求upc+1pd的最小值你会求吗?本题如要求mp

8、口”的最小俏你会求吗?答案：(1)二弧(.2 )际枳.738 =73.8 % （胡不归问题）【中考真题】L （2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数产我x：+bx+c的国像好i；点A （-1, 0）, D （0.-3 ）. C （2, 0L其中对称轴与x轴交于点儿若P为V轴上的一个动点，连接FD,则工用斗的最小值为.b-2. 12014.成都）如图，已知抛物线下=口 + 2）（l-4）与意轴从左至右依次交于点 MB,与y轴交于点C经过点B的直线乎与抛物线的另一个交点为D1-Q1） .设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF,一动点M从点A出发.沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到B

9、再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为 时，点M在整个运动过程子用时戢少？答案：，（-二2班）【中考典款】（2017甘肃兰州）如图T抛物线卜区与直找.仍交于.4 4, 4 , 3 0,1 TOC o 1-5 h z 两点*直线文工工后交F轴与点7.点E/3八/是直戈贴上的动点，过点直作且Ut轴交建/ /（于点尸.交抛物线于点G. / / ;求抛物线昨4取”的表达式；/ - 连接W,K。,当四边影皿成是平行四边才）、 形时，求点衣的坐标:/不个卜0）在F轴上存在一点，连接41，/ I J 当点X运动到什么位置时，以抵瓦F.H为顶点的四过形是矩形？求出此时点EH的坐房在的前提下，以点为圆心.组长为半径作圆，点加为。百匕一动点，求 匕加十仁火的最小值.答案，(1) r= x3 - 2x+4； (2) C ( - 2, 4)； (3)E ( - 2, 0). H (0， - 1)；述10“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k PB（k*1的常数）型的最值问题。两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k（如k值1则要先