解三角形练习题3北师大版必修5

1、江苏省邳州市第二中学高二数学解三角形2、选择题ABC的三边分别为a,b,c且满足b2=ac,2b=a+c,则此三角形是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形22解析：/2b=a+c,.4b=(a+c),？22又Tb=ac,.(ac)=0./?a=c.2b=a+c=2a.b=a,即Pa=b=c.答案：D，则公ABC勺面积等于(.ABC中,AB=3,AC-1,/B=30当C-60时，A=90,BO2，此时,BC.或.3解析：i30=?： c? sinC= Csin30 sin60D. 120 得 b2 + c2 a2= bc,/? cosA=b2+ c2 a2A= 60则

2、角C的值为(2bc.3,?/0C180,AC=60或120当C-120时，A=30,1&ABC=x1xsin30BC所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-bc=a2,且学=3,.在ABC中，角A、答案：DA.45C.90解析：由b2+c2bc=sinAsinB也心=1/?sinB=3X2=2,B=30,AC=180A-B=90.3,答案：C.如图，四边形ABCDK/B=ZC=120,AB=4,BOCD=2,则该四边形的面积等于（）35363D73解析：连接BD在公BCD中，BC=CD=2,/BCD=120,?/CBD=30,BD=23,bcX2x2xsin120=3.在公ABC中，/ABD=

3、120-30=90,AB=4,BD=23,?-abd=aABBD=x4X23=43,?四边形ABC的面积是53.答案：B5.A-4FC中，若costA+O+SsinAsinAO,则ABC中一定：是（”A.锐角三第%B.钝角三角形*J直角三角形一等睡二用册解析：耿农尹+一二取咸万十丁-日勺二一匚。*-.4）=-cosAcosBAsinAsinP*/*003（25+Q+2sin4sin5-cqsAca.-LiiL4sirLS=0i即Cosj4+B=s-答案2o6?如图，设A B两点在河的两岸,B. 50 3mA. 50 2mC. 25 2mD.25 ,22AB _ AC sin /ACB sin

4、B,解析：由正弦定理得50八AC- sin / ACBAB=sin B=50 2(m).距离为 50m / ACB= 45 ,/ CAB=105后，就可以计算出 A B两点的距离为答案：A二、填空题7. 2011 ?北京卷在A ABCn 1中，若 b= 5,/ B=亍，sin A=：,贝 V a =解析：由正弦定理有:A2sin A sin B答案：8. 2011 ?福建卷如图， ABC 中，AB= AC = 2, BC= 2 3, 贝U AD的长度等于 .点 D 在 BC 边上，/ ADC =45 ,解析：在A ABC中，由余弦定理，有C AC+ BC-AB2A3 2 A3COsC = 2A

5、C- BC = 2X 2X2 3=飞,在公ACC中，由正弦定理，有AD ACsin C sin / ADC则/ ACB= 30一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测出AC的AC-AD=前3AD的长度等于取0si答案：2ab9.（2011年辽宁省东北育才学校高三一模）定义：=adbe.已知a、b、c为小cdABC的三个内角A、B、C的对边，若2cosC-12=0,且a+b=10,贝Uc的最小值为cosC+1cosC2解析：按定义,（2cosC-1）cosC2（cosC+1）=0,2cosC3cosC2=0,入cosC=一八，cosC=2（舍），贝U2.22.2.c=a+b2abcosC

6、=a+b+ab=（a+b） 1由 cos2 C= 2cos C-1 =;及 0C100（二）=75当且仅当a=b=5时，c的最小值为5_3.答案：53三、解答题10.（2010年浙江高考）在么ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos2c14.求sinC的值；当a=2,2sinA=sinC时，求b及c的长.21解：（1）因为cos2C=12sinC=：及0Cn,4所以sinC=f0.当a=2,2sinA=sinC时，由正弦定理ac=、，得c=4.sinAsinC11.(2011年高考江西卷，文17)在 ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c,已知3acosA=ccosB b

7、 cosC(1)求cos A的值;(2)右 a =1,cosB - cosC2码,求边c的值.3解(1)由 3acosAccosB - bcosC 正弦定理得:3sin AcosA = sin CcosB sin BcosC = sin( B C)所以 3sin AcosA =si nA ，又 si n A = 0 ,所以cosA 二 1 o卡一 COS 2 A 二红2由(1)得sin A 3又由cosB cosC =2.3 COS(M - A - C) cosC3233_ ZA 八得 cos(A C) cosC2品cosAcosC-sinAsinCcosC展开得:所以 cosC . 2sin

8、C3,又3sin2Ccos2C=1且sinC0,解得sinC二而一asinAsinC12.(2010年福建高考)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，弁正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解：解法一：（1）设相遇时

9、小艇航行的距离为S海里，贝yS=.900t2+4002?30t?0；i?C39丁一：=90012-600t+400=9洛t；2+300.故当t=3时，Smin=10-j3,此时V=1=303,3即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小()(2)设小艇与轮船在B处相遇，222则vt=400+900t-2?20?30t?cos(9030), TOC o 1-5 h z 斗2600400故v=900+严.600400-0-.又t=时，v=30,tt332故v=30时，t取得最小值，且最小值等于-.3此时，在OAB中，有OA=OB=AB=20.故可设计航行方案如下：解法二：（1）若

10、相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶则小艇航行方向为正北方向.设小艇与轮船在C处相遇，在RtAOAC中，OC=20cos30=103,AC=20sin30=10,又AC=30t,OC=vt101ioJ3此时，轮船航行时间t=30=3,v=303,3即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.猜想v=30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时AD=DO=30t.又/OA=60,所以AD=DOOA20,解得t=3.3据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30,航行速度的大小为30海里/小时,这样，小艇能以最短时间与轮船相遇.证明如下：如图，由得OC=103,A

11、C=10,故OCAC且对于线段AC上任意点P,有OB OCAC而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A,C之间（包含C）的任意位置相遇设/CO=0(0090),则在Rt COD中,由于从出发到相10 +所以10 3tan30由此可V =sin*10 3tan* COS 00.t = 40+40件和 t = &,VCOS 0轮船与小艇所需要的时间分别为0= 10 VCOS 0 15、30 +曲300 90.故sin(0+30)上手.从而，30W由于0=30时，tan0取得最小值，且最小值为10+ 10j3tan 0于是，当0 = 30时，t =解法三：(1)同解法一或解法二.(2)设小艇与轮船在B处相遇，222依据题意得：vt=400+900t2?20?30t?cos(90-30),22(v900)t+6001400=0.若0v0.得v153.300土20v2675从而，t=v7Ii500330)，一,30020.V675v2900-300-20X-204x2225x153,令x=v2675，则x?0,1