高中数学人教A版2019新教材必修第一册全册分章节分课时教学案

1、第一章集合与函数概念1.1 集合1. 1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义目标1.通过实例，能说出集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2.记住集合元素的特性以及常用数集；3.会用集合元素的特性解决相关问题.重点用元素与集合的 “属于”关系判断元素与集合的关系；用集合元素的特性解答 相关问题.难点集合元素特性的应用.要点整合夯基础 小栏目通过既前H主学习.整合知区.梳理主干.赤珏固本_ /知识点一元素与集合的含义填一填1.定义(1)元素：一般地，把所研究的对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a, b, c,表示.(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A,

2、B,C, 表木.集合相等：指构成两个集合的元素是一样的.集合中元素的特性：确定姓、互异性和无序性.答一答.以下对象的全体能否构成集合？(1)河北红对勾书业的员工；(2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手；一次函数y= kx+ b(kw 0)的图象上的若干个点；不超过2 019的非负数.提示：(1)能构成集合.河北红对勾书业的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来.所以能构成一个集合.“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合.“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构

3、 成集合，故“一次函数y=kx+b(kw0)的图象上的若干个点”不能构成一个集合.(4)任给一个实数x,可以明确地判断x是不是“不超过 2 019的非负数”，即“0WxW2 019”与x2 019，两者必居其一，且仅居其一，故 “不超过2 019的 非负数”能构成一个集合.若集合A由0,1与x三个元素组成，则 x的取值有限制吗？为什么？提示：有限制，xW0且xW1.因为集合中的任意两个元素必须是互异的.知识点二元素与集合的关系填一填如果a是集合A中的元素，就说 a属于(belong to)集合A,记作a C A;如果a不是集合 A中的元素，就说 a不属于(not belong to)集合A,记

4、作a?A.答一答.若集合A是由元素1,2,3,4所组成的集合，问1与A,5与A有什么关系？ 提示：1CA,5?A.知识点三常用数集及表示填一填名称非负整数集 (或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN* 或 N +ZQR答一答.常用的数集符号 N, N*, N+有什么区别？提示：(1)N为非负整数集(即自然数集)，而N*或N +表示正整数集，不同之处就是N包括元素0,而N*或N+不包括元素0.(2)N*和N +的含义是一样的，初学者往往误记为N*或N+,为避免出错，对于 N*和N+可形象地记为 “星星(*)在天上，十字架(+)在地下”.用符号1或“？”填空.(1)1 N *； (2)

5、- 3? N;(3)1 Q; (4)V3?Q; 3(5)-1 R. 2J典例讲练破题型出栏I I通过课它讲或互动.里族比点.剖析歌点,全线突破_ 类型一集合的概念例1下列所给的对象能构成集合的是 .(1)所有的正三角形；(2)高一数学必修1课本上的所有难题；(3)比较接近1的正数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5)平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；(6)参加里约奥运会的年轻运动员.答案(4)(5)解析(1)能构成集合.其中的元素需满足三条边相等；(2)不能构成集合.因 “难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合；(3)不能构成集合.因“比较接近1”的标准不明确，所

6、以元素不确定，故不能构成集合；(4)能构成集合.其中的元素是“16岁以下的学生”；(5)能构成集合.其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”；(6)不能构成集合.因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故而不能构成集合.通法提炼判断元素能否构成集合，关键是集合中元素的确定性，即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素，若标准明确则可以构成集合，否则不可以.变式训练1下列对象能组成集合的是 (D )A. g的所有近似值B.某个班级中学习好的所有同学C. 2018年全国高考数学试卷中所有难题A中的“近似值,B中的“学习D.屠呦呦实验室的全体工作人员解析：D中的对象都是确定的，而且是不

7、同的.好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此 A, B, C都不能构成集合.类型二 集合中元素的特性命题视角1:集合元素的互异性例2 已知集合A中含有两个元素 a和a2,若1 C A,求实数a的值.分析本题中已知集合 A中有两个元素且1 CA,根据集合中元素的特点需分a=1或a2=1两种情况，另外还要注意集合中元素的互异性.根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性 对集合中的元素进行检验.另外，利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的 应用.解若 1 C A,则 a=1 或 a2=1,即 a= 虫.当a = 1时，a= a2,集合A有一个元

8、素，a* 1.当a=- 1时，集合A含有两个元素1, 1,符合互异性. a = - 1.通法提炼当一个集合中的元素含字母时，可根据题意结合集合中元素的确定性求出集合中字母 的所有取值，再根据集合中元素的互异性进行检验变式训练 2 (1)若集合 M中的三个元素是 ABC的三边长，则4 ABC 一定不是 (D )A .锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形(2)由a2,2 a,4组成一个集合 A,且集合 A中含有3个元素，则实数 a的取值可以是 (C )A. 1B. - 2C. 6D. 2解析：(1)集合中任何两个元素不相同.(2)由题意知a2才4,2 aw4, a2w2a,解得aw

9、立，且aw1.结合选项知 C正确.故 选C.命题视角2:集合元素的无序性例3集合A中含有三个元素 0, b, b,集合B中含有三个元素1, a+b, a,若A, aB两个集合相等，求a2 019+b2 019的值.分析由两个集合相等，所含元素相同列出a, b的关系式，解出a与b,再求a2 019+ b2 019 的值.解由两个集合相等易知 aw0 aw 1故a+b=0,且b=1或=1. a若b = 1,由a + b= 0得a=1,经验证，符合题意；b右-=1,则a=b,结合a+ b=0,可知a = b=0,不符合题息.综上知a=1, b= 1.a所以 a2 019+ b2 019=(- 1)2

10、 019+ 12 019= 0.通法提炼两个集合相等，元素相同，因为集合元素无序，所以要进行讨论.同时还需要对集合求值问题代入验证，注意集合中元素的互异性a,变式训练3集合A由1,3,5,7四个兀素组成，已知实数a, bC A,那么b的不同值有(B )A. 12 个B. 13 个C. 16 个D. 17 个解析：a, b是集合A的元素，b的值会因a, b的顺序不同而不同.a, b所取的值按顺 序分别为：1,1; 3,3; 5,5; 7,7 ; 1,3; 3,1; 1,5; 5,1; 1,7; 7,1; 3,5; 5,3; 3,7; 7,3; 5,7; 7,5,其对应的：有13个不同的值.类型三

11、元素与集合的关系1例4(1)给出下列关系：&CR;也？Q; |3|?N; |V3|CQ; 0?N . TOC o 1-5 h z 其中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 46(2)集合A中的元素x满足33CN, xC N,则集合A中的兀素为 .答案(1)B (2)0,1,21解析(I)是实数； 企是无理数；|3|=3是自然数；|欣|=小是无理数；0是自 然数.故正确，不正确.6.6(2)由&6 N , xC N 知 x 0, -0,且 xw3,故 0Wx0的解集为M.试判断元素一1,0与集合M的关系；(2)若a-1是集合M中的元素，求a的取值范围.解：(1) /3X (-1)+2=-

12、 10,. 0是集合M中的元素，0c M.a- 1CM,，3(a1) + 20. 3a1, 1.a1.3Q课堂达标练经典/本栏H通过网堂自主达标一巧练经典.强基提能，全面提升.下列各组对象不能构成集合的是(B )A.某中学所有身高超过 1.8米的大个子B.约等于0的实数C.某市全体中学生D.北京大学建校以来的所有毕业生解析：由于“约等于0”没有一个明确的标准，因此B中对象不能构成集合.2.下列命题中，正确命题的个数是（C ）集合N*中最小的数是1;若一a?N*,则aC N*;若aC N*, bC N*,则a+b的最小值是2;x2+4=4x的解集是2,2.A. 0B . 1C. 2D. 3解析：

13、N*是正整数集，最小的正整数是 1,故正确；当 a=0时，a?N*, a?N*,故 错误；若aCN *,则a的最小值是1,同理，bCN *, b的最小值也是1, 当a和b都取 最小值时，a+b取最小值2,故正确；由集合中元素的互异性，知是错误的.3,已知a, b是非零实数，代数式 用+胆+娶的值组成的集合是 M,则下列判断正确 a b ab的是（B ）A. 0C MB. 1 C MC. 3?MD. 1 C M解析：当a, b全为正数时，代数式的值是3;当a, b全是负数时，代数式的值是一1;当a, b是一正一负时，代数式的值是一1.综上可知B正确.4.集合A由元素一1和2构成，集合 B是方程x

14、2+ax+b=0的解，若A=B,则a+b =3.解析：,.A=B,2.万程x + ax+ b=0的解是1或2.- a = - 1, b = 2,，a+b = - 3.5,已知集合 A由a2a+1, |a+1|两个元素构成，若 3CA,求a的值.解：.CA, ，a2a+1=3 或 |a+1|=3.若 a a+1 = 3,则 a= 2或 a= 1.当a = 2时，|a+1| = 3,此时集合A中含有两个3,因此应舍去.当a = 1时）|a+1|=0w3）满足题意.若|a+1|=3,则a= 4或a = 2（舍去）.当a = 4时）a a+1=21w3,满足题意.综上可知a = 1或a= 4.制冶课堂

15、小结本课须掌握的三大问题.理解集合的概念，关键是抓住集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序 性.特别是处理含有参数的集合问题时，一定要注意集合中元素的互异性，即在求出参数 的取值或取值范围后，一定要检验集合中元素的互异性. * .关于特定集合 N, N （N ）, Z, Q, R等的意义是约定俗成的，解题时作为已知使用，不必重述它们的意义.对于一个元素 a与一个集合 A而言，只有“ aCA”与“ a?A”这两种结果， 与“？”具有方向性，左边是元素，右边是集合.f温馨提示学习至此，请完成课时作业1第2课时集合的表示目标1.掌握集合的两种表示方法 (列举法和描述法)；2.能够运用集合的两种表

16、示方法 表示一些简单集合.重点集合的两种表示方法及其运用.难点对描述法表示集合的理解.上罢点整合夯基础长栏n裔过潮前学习.修介知识.梳理主T.夯拙的名知识点一列举法填一填把集合的元素一一列举出来,并用花括号L L”括起来表示集合的方法叫做列举法.表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；书写时不需要考虑元素的顺序.答一答.实数集也可以写成实数,那么能写成实数集或全体实数吗？提示：不能，因为花括号 “ ”表示“所有、全部”的意思.列举法能表示元素个数很少的有限集，那么可以用列举法表示无限集吗？提示：对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示，如正自然数集可以用列举法表

17、示为123,4,5,.集合(1,2)与(2,1)是否为相等集合？提示：不是.知识点二描述法填一填.用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.答一答.集合x|x3与集合t|t3表示同一个集合吗？提示：虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它彳门均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合.J典例讲练破题型一门广II通过飕堂联花曲妻抵小点,却析咻应.金绽突跣类型一用列举法表示集合 TOC o 1-5 h z 例1 (1)若集合A= (1,2) , (3,

18、4),则集合A中元素的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4(2)用列举法表示下列集合.不大于10的非负偶数组成的集合；方程x2 = x的所有实数解组成的集合；直线y= 2x+ 1与y轴的交点所组成的集合；一， x+ y= 1,方程组,的解.x- y=- 1答案(1)B (2)见解析解析(1)集合A= (1,2), (3,4)中有两个元素(1,2)和(3,4).(2)解：因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是0,2,4,6,8,10.方程x2 = x的解是x= 0或x=1,所以方程的解组成的集合为0,1.将x=0代入y=2x+1,得y=1,

19、即交点是(0,1),故两直线的交点组成的集合是(0,1) .x+y=1,1x=0,解方程组S得；x-y = - 1,y = 1.x+ y=1,用列举法表示方程组f的解集为(0,1).x- y= 1通法提炼用列举法表示集合应注意的三点,(1户先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；(2用合中的元素一定要写全，但不能重复；(3封集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素变式训练1用列举法表示下列集合：(1)15的正约数组成的集合；(2)所有正整数组成的集合；(3)直线y=x与y=2x- 1的交点组成的集合.解：(1)1,3,5,15).(2)正整数有1,2,3,，所

20、求集合用列举法表示为1,2,3,). TOC o 1-5 h z y = x,x= 1,(3)方程组f的解是f所求集合用列举法表示为(1,1).y=2x1y= 1,类型二用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合：(1)不等式2x 73的解集A;(2)二次函数y= x2+1的函数值组成的集合B;(3)被3除余2的正整数的集合 C;(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D.分析先确定集合元素的符号，再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面.解(1)解 2x73 得 x5,所以 A= x|x3.12 3 4 5 n 一*(4)先统一形式3 4, 5, 6，7，找出规律，集合表示为x x=n

21、+2 nCN -类型三两种方法的灵活应用例3用适当的方法表示下列集合：2x-3y= 14,(1)方程组的解组成的集合；I3x+2y=8(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合；(3)所有的正方形组成的集合；(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.分析(1)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)是有限集，但个数较多，用描述法；(3)(4)是无限集，用描述法表示.2x3y=14,x=4,解(1)解方程组得故该集合用列举法可表示为(4,3x+2y=8,7=- 2,2).12x 3y =14,该集合也可用描述法表示为i(x, y)H3x+ 2y = 8(2)设集合的代表元素是x,则该集合用描

22、述法可表示为x|x=3k+2, kC N,且k 332.(3)集合用描述法表示为x|x是正方形或正方形.(4)集合用描述法表示为(x, y)|y= x2.通法提炼当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素网，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多(不易写出全部元素归，常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集，也可用列举法表示.如正奇数集也可写为1, 3, 5, 7, 9,.但值得注意的是，并不是每一 个集合都可以用两种方法表示出来.变式训练3用适当的方法表示下列集合：(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；(2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合.

23、解：(1)用描述法表示为 x|2x5 ,且x C Q.(2)用列举法表示为1,2,3,4,6,8,12,24.(3)在平面直角坐标系内，点(x, y)到x轴的距离为y|,至ij y轴的距离为|x|,所以该集合用描述法表示为(x, y)11y|=|x|.Q课堂达标博经典 赤栏门通过课堂自E达腕,巧辘典.强基幌能.金面槛升1.集合x C N |x5的另一种表示方法是(A )A. 0,1,2,3,4B. 1,2,3,4C. 0,1,2,3,4,5D. 1,2,3,4,5解析：由题xCN,且x5,，x的值为0,1,2,3,4,用列举法表示为0,1,2,3,4.x + y= 2,2.方程组的解集是(C

24、)k-2y= 1A . x= 1, y= 1B. 1 C (1,1) D. (x, y)|(1,1) 解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除 A, B,而D中的条件是点(1,1),不含x, y,排除D.集合x|x= Va, a36, xC N,用列举法表示为0,12345.解析：由a36,可得 #6,即x6,又xCN,故x只能取0,1,2,3,4,5.能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为x|x= 2n, nCN+.解析：正整数中所有的偶数均能被2整除.用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合 P = xK=2n,0WnW2,且 nCN;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成

25、的集合；x2 4的一次因式组成的集合；x+y=3， 一八人4)由方程组的解所组成的集合.lx-y=-1解：(1)用列举法表示为 P= 0,2,4.(2)可用列举法表示为6,9,12;也可用描述法表示为 x|x=3n, 4Vx1;对于集合C,其代表元素为(x, v),它表示坐标平面中的点的坐标，又元素所满足的条件为 y = x2 + 1,它表示函数y=x2+1图象上的点.综上所述，集合 A、B、C是不同的集合.名师点评理解描述法表示的集合，关键是对符号语言所表达的含义要正确理 解.认识它时，一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的类型，以此确定集合 的类型；二要看代表元素所具有的属性，即它

26、要满足什么条件，以此确定集合中元素的组 成部分.对应训练判断下列说法是否正确，正确的打，错误的打“x” .(1)整数集 Z=xx= n+1, nCZ.(,)(2)y|y=x2 wx|y=以. ( x )y = 2x(3)两条直线y=2x与y=x1的交点构成集合 M,集合N=(x, yM则v * y=x-1M= N.( V )(4)M=(x, y)|x+ y=4, x, y C N* = (0,4) , (1,3), (2,2) . ( X )解析：(1)整数集是个无限集，x= n+1, nC Z能表示任意一个整数，所有的整数也能 写成这种形式，故(1)正确.y|y=x2表示通过计算y=x2得到

27、的所有y值的集合，也可以理 解为二次函数 y = x2图象上所有点的纵坐标的取值集合，即y|y=x2表示非负实数集；xy=以表示满足y=/x的所有 x的取值集合，因此 x可以取任意非负实数，即x|y=,表示 非负实数集.两者表示的数集完全一样，故 (2)错误.集合 N是一个点集，描述集合 M采 用的是自然语言，二者含义一样，故(3)正确.集合 M是由满足x + y=4,且x, y均为正整数白向x, y构成的点集,易知 M = (1,3) , (2,2), (3,1),故(4)错误.1.1.2 集合间的基本关系目标1.记住集合间的包含关系，会判断两个简单集合的关系；2.能写出给定集合的子集；3.

28、记住集合相等与空集的含义以及空集与其他集合的关系.重点集合间关系及集合间关系的判断；写出给定集合的子集；空集与其他集合的关 系.难点集合间的关系及应用.J要点整合夯基础本校H通过课曲fl F学U*整合加以一片再：7一”：国匚知识点一子集的有关概念填一填. Venn 图通常用平面上封闭曲线的内部代表集合.用 Venn图表示集合的优点：形象直观.子集(1)自然语言：一般地，对于两个集合 A, B,如果集合 A的任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系,称集合 A为集合B的子集.(2)符号语言：记作 A? B(或B? A),读作“ A含于B”(或“B包含A”).(3)图形语言：用

29、 Venn图表示.真子集如果集合A? B,但存在元素 xC B,且x?A,我们称集合 A是集合B的真子集，记作A B(B A).集合相等如果集合A是集合B的子集(A? B),且集合B是集合A的王堡(B? A),此时，集合 A 与集合B中的元素是一样的,因此集合A和集合B相等，记作AB.答一答若A? B,则A中的元素是B中的元素的一部分，对吗？提示：不对，A中的元素是B的一部分或是B的全部.“C ”与“？ ”有什么区别？提示：表示元素与集合之间的关系，而 “？ ”表示集合与集合之间的关系.“ ”与之”一样吗？提示：不一样,表示集合与集合之间的关系;之”表示两实数间的关系.如何判断两个集合是否相等

30、？提示：方法一：根据两个集合中的元素是否完全相同进行判断;方法二：根据集合相等的定义，即是否同时满足 A? B且B? A.知识点二 空集填一填不含任何元素的集合叫做空集，记为?,并规定：空集是任何集合的子里答一答. 0, 0 , ?, ?有何区别?提示：。与0都表示无的意思都是集合都是集合。是集合;0是实教0不含任何元素； 0( 一个元素00不含任何元素；含一个元素,该元素是0知识点三子集、真子集的性质填一填由子集、真子集和空集的概念可得：空集是任何集合的子集，即 也A;(2)任何一个集合是它自身的子集A? A;(3)空集只有一个子集，即它自身；对于集合 A, B, C,由A? B, B? C

31、可得A2_C;(5)对于集合 A, B, C,由AB, B C可得AC.答一答(1)对于集合 A、B、C,如果 A? B, B? C,则 A? C,若 A B, B? C 呢?(2)若？ A,则AW?对吗？提示：(1)A C. (2)对.Q典例讲练破题型二本栏n通过深堂擀互动.案施窜大.剖析崩点.金税突破类型一确定集合的子集、真子集例1 (1)已知集合M满足1,2M? 1,2,3,4,5),求所有满足条件的集合M.(2)填写下表，并回答问题：集合集合的子集子集的个数?aa, ba, b, c由此猜想：含n个元素的集合a1，a2,，a”的所有子集的个数是多少？真子集的个 数及非空真子集的个数呢？

32、解(1)由题意可以确定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有 3 个元素：1,2,3 , 1,2,4 , 1,2,5;含有 4 个元素：1,2,3,4 , 1,2,3,5 , 1,2,4,5;含有5个元素：1,2,3,4,5.故满足条件的集合M 为1,2,3 , 1,2,4 , 1,2,5 , 1,2,3,4 , 1,2,3,5 , 1,2,4,5,1,2,3,4,5.(2)集合集合的子集子集的个数?1a?, a2a, b?, a, b, a, b4a, b, c?, a, b, c , a, b, a, c, b, c, a, b,

33、c8由此猜想：含n个元素的集合a1，a2,，an的所有子集的个数是 2n,真子集的个数 是2n1,非空真子集的个数是 2n2.通法提炼.有限集子集的确定问题，求解关键有三点：(1眄定所求集合；(2广理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；，(3注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.若集合A中有n个元素，则集合 A有2n个子集，(2n1真子集，0n 1小非空子集，(2n-2犷非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用变式训练1试写出满足条件？ M 0,1,2的所有集合M.解：因为？ M 0,1,2.所以M为0,1,2的非空真子集.所以M中的元素

34、个数为1或2,当M中只有1个元素时，M可以是0 , 1 , 2;当M中有2个元素时，M可以是0,1 , 0,2 , 1,2;所以 M 可以是0 , 1 , 2 , 0,1 , 0,2 , 1,2.类型二集合间关系的判断及应用命题视角1:利用子集的定义判断集合间的关系例2 (1)已知集合M = x|x2 3x+2=0, N = 0,1,2,则集合M与N的关系是(A. M= NB. N MC. M ND. N? M(2)已知集合 A=x|x=3k, kCZ, B=x|x = 6k, kCZ,则A与B之间最适合的关系 是()A. A? BB. A? BC. A BD. A B答案(1)C (2)D解

35、析(1)由已知得集合 M = 1,2.由真子集的定义可知M N.(2)因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合 B是集合AI真子集.通法提炼判断两集合关系的步骤：(1*对所给集合进行化简.(2眄清两集合中元素的组成，也就是弄清楚集合由哪些元素组成，即把集合间关系的判断转化为相应集合元素之间的关系来判断.变式训练2指出下列各组集合之间的关系：(1)A=-1,1), B=(-1, 1), ( 1,1), (1, 1), (1,1);(2)A=x|x是等边三角形, B=x|x是等腰三角形;(3)M=x|x=2n-1, nCN*, N= x|x= 2n+1, n C N*.解：(1

36、)集合A的代表元素是数，集合 B的代表元素是有序实数对，故 A与B之间无包含关系.(3)法1:两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于而集合N不含元素1”，故N M.法 2:由列举法知 M = 1,3,5,7, N=3,5,7,9,命题视角2：利用Venn图理解集合间的关系例3能正确表示集合 M = x|0wxW2和集合N=中的() GAB(nCN ,因此集合M含有元素V,所以N M.x|x2x= 0关系的Venn图是卜图2D(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故 A B. *答案B解析N=0,1 M.通法提炼用封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn图，是描

37、述集合关系的图形语言,它可以是圆、矩形、椭圆等 .通过图形可直观看出两个集合是否有公共元素，甚至还可以解决集合内元素的个数问题，在后续课的学习中Venn图的图解功能再进一步体会D . 4变式训练3已知集合A=x|x2 = x, xC R,集合A与非空集合B的关系如图所示, 则满足条件的集合B的个数为(B )C. 3解析：/A=x|x2 = x, xC R =0,1,又B A,且B为非空集合，. B可以为0或1.故选B.命题视角3:利用数轴理解集合间的关系例4 已知A=x|x3 , B = x|4x+m0,当A? B时，求实数 m的取值范分析解决本题可用数形结合的方法画出数轴来分析.解集合A在数

38、轴上表示如图.6-16-2 0 3要使A? B,则集合B中的元素必须都是 A中的元素，即B中元素必须都位于阴影部分内，那么由4x+ m0 ,即x 8,故实数m的取值范围是 m 8.44通法提炼在数轴上表示集合 A与B时要注意，端点处都是空心点，所以当：=2时，集合B为x|x 2,仍满足 A? B.这种利用子集关系求参数的问题，借助数轴分析时，要验证参 数能否取到端点值.变式训练 4 已知集合 A=x|1x 2, B = x|1x 1.(1)若AB,求a的取值范围；(2)若B? A,求a的取值范围.解：(1)若A B,则集合A中的元素都在集合 B中，且B中有不在A中的元素，则 a2.(2)若B?

39、 A,则集合B中的元素都在集合 A中,则aW2.因为a 1,所以1waW2.J课堂达标炼经典 赤栏H通过课堂白达腕.巧?辘她.强基提前.金面槛升.已知集合 A= x|x是平行四边形, B=x|x是矩形, C = x|x是正方形, D = x|x 是菱形，则有（B ）A. A? BB. C? BC. D? CD. A? D解析：正方形是邻边相等的矩形.已知集合 M = 1,0,1, N=yy=x2, xC M,则（B ）A. M NB. N MC. M= ND. M, N的关系不确定解析：由题意，得N = 0,1，故N M.已知集合A 1,2,3,且A中至少含有一个奇数，则这样的集合 A有5个.

40、解析：/A1,2,3 ,，A中至多含有2个元素.A中至少有一个奇数，A可能为1,3 , 1,2 , 1,3 , 2,3,共 5个.已知？ x|x2-x+ a=0,则实数a的取值范围是a 0, .4.已知集合B=1,0,1,若A? B,试写出所有满足条件的集合A.解：当A=?时，满足条件；当A是单元素集合时，满足条件的集合A有 1, 0 , 1;当A是含两个元素的集合时，满足条件的集合A有 1,0, 1,1, 0,1;当A是含三个元素的集合时，满足条件的集合A为 1,0,1.故满足条件的集合 A 有？, 1, 0, 1, -1,0, 1, 1, 0,1 , 1,0,1.厚课堂m结本课须掌握的三大

41、问题.写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊子集：？和自身；其次依次按含有一个元素的子集、含有两个元素的子集、含有三个元素的子集写出子集.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决形如A? B类问题时，需分类讨论 人=?与人才？两种情况.要证明A=B,只需要证明 A? B且B? A成立即可.即可设任意 xoA,证明x C B从而得出A? B.又设任意yoCB,证明ye A,从而得到B? A,进而证明得到 A= B.温馨提示)学习至此，请完成课时作业3学科素养培优精品微课堂忽视空集导致漏解中W开讲啦 空集是一种常见的集合，但空集又是平时学习时容易忽略的一个集合，下面通过实例体现一下

42、空集在解题中的应用.典例 已知集合 A=x|-2x5 , B = x|m+1x 2m1,若 B? A,求实数 m 的取值范围.2 w m + 1,错解欲使B? A,只需1? -3m3.2m- K5m的取值范围是一3m3.正解,- A=x|-2x2m1,即 m2,此时，总有 B? A,故 m2.2& m+ 1,(2)若 Bw?,则 m+12,由 B? A得f解得 2WmW3.2m-15.综合(1)(2)可知m的取值范围是(8, 3.错因分析空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，因此需要对B=?与BW?两种情况分别讨论确定 m的取值范围.对应训练已知集合P = x|x 八1 要使Q P成立，则有

43、a=2或=3,+x-6=0, Q=x|ax+1 = 0,满足QP,求a的取值.解：因为 P = x|x2+x6=0 = 2 , 3,当 a = 0 时，Q=x|ax+1 = 0=?, Q P成立.1又当 aw0 时，Q=x|ax+1 = 0=1/，即 a = 、或 a =；. 23综上所述，a = 0或a = 1或a = 1. 231.3集合的基本运算第1课时并集、交集目标1.理解两个集合的并集和交集的定义，明确数学中的 “或” “且”的含义；2.能 借助于Venn图或数轴求两个集合的交集和并集，培养直观想象和数学运算两大核心素养；3.能利用交集、并集的性质解决有关参数问题，培养逻辑推理的核心

44、素养.重点两集合并集、交集的概念及运算.难点两个集合并集、交集运算的应用及数形结合思想的渗透要点整合夯基砒本栏目通过源前fl主学习.鑫合知眠.植理主T.杳在因本知识点一并集填一填.并集的定义文字语言表述为：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做 A与B的并集，记作AUB,读作A并B.符号语言表不为： AU B= x|xC A,或 xC B.图形语言（韦恩图）表示为如图所示的阴影部分.并集的运算性质(1)AU B= BU A;(2)A U A= A;(3)AU?=A;(4)A U B? A, AU B? B;(5)A? B? AU B= B.答一答“或”的数学内涵是什么?提示：xC

45、A,或xC B”包括了三种情况：xC A,但 x?B; xC B,但 X?A; xC A,且 xC B.AU B的元素等于 A的元素的个数与 B的元素的个数的和吗?提示：不一定，用Venn图表示AUB如下： 当A与B有相同的元素时，根据集合元素的互异性，重复的元素在并集中只能出现一次，如上图中， AU B的元素个数都小于 A与B的元素个数的和.知识点二 交集填一填.交集的定义文字语言表述为：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做 A与B的交集，记作AAB,读作A交B.符号语言表不为：Ad B= x|xC A,且 xC B.图形语言（韦恩图）表示为如图所示的阴影部分.交集的运算性质

46、 对于任彳5集合 A, B,有An b= Bn a；(2)A n A= A;(3)An?=?；(4)A n B? A, An B? B;(5)A? B? AA B= A.答一答.如何理解交集定义中“所有”两字的含义？提示：A n B中的任一元素都是 A与B的公共元素；A与B的所有公共元素都属于 AA B;当集合A与B没有公共元素时，A A B= ?.当集合A与B没有公共元素时，A与B就没有交集吗？提示：不能这样认为，当两个集合无公共元素时，两个集合的交集仍存在，即此时An b = ?.若An B = A,则A与B有什么关系？ AUB= A呢？提示：若AAB = A,则A? B;若 AU B =

47、 A,则 B? A.4典例讲练破题型.本柱口通过课堂讲拢互动，案战重点.例析除由.金稣突破类型一集合的并集运算 TOC o 1-5 h z 例 1(1)已知集合 M = 1,0,1, N = 0,1,2,则 MU N=()A. -1,0,1B. 1,0,1,2C. -1,0,2D.0,1(2)已知集合 M=x|3xW 5 , N = x|x5,则 MUN = ()A . x|x 3B.x| 5x5C. x| 3x5D.x|x5答案(1)B (2)AM UN =解析(1)集合M, N都是以列举法的形式给出的，根据并集的定义，可得 1,0,1,2 .(2)将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示.N

48、Mo-IL-5-30可知 MUN = x|x3.通法提炼当求两个集合的并集时，对于用描述法给出的集合，首先明确集合中的元素，其次将两个集合化为最简形式；对于连续的数集常借助于数轴写出结果，此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集，此时要注意端点处是实心点还是空心点；对于用列举法给出的集合，则依据并集的含义，可直接观察或借助于Venn图写出结果，但要注意集合中元素的互异性.变式训练1 (1)满足条件1,3 U B= 1,3,5的所有集合B的个数是(D )C. 3A. 1解析：由条件1,3 UB = 1,3,5,根据并集的定义可知5c B,而1,3是否在集合B中不确定.所以B可能为5 ,

49、1,5 , 3,5 , 1,3,5,故B的个数为4.(2)已知集合 A=x|- 2x 3 , B=x|xa, a4,求 AUB.解：-A= x| 2 x 3, B=x|xa, a4,如图所示.故 AUB=x|xW3,或 xa, a4.类型二集合的交集运算例 2 (1)已知集合 A=x|x|2, xC R , B = x|Vx 4, xCZ,则 AAB=()A. (0,2)B. 0,2C. 0,2D. 0,1,2(2)若集合 A= x|x|0,则 AA B=()B. x|x0D. ?A. x|-1x 1C. x|0 x 1分析化简A、B,然后利用交集的定义或数轴进行运算.答案(1)D (2)C解

50、析(1).|x|W2,.-2x2,即 A=x|-2x0,所以 AA B = x| 1x0= x|0 x1.通法提炼.求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交 集的含义写出结果.在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰.此时数轴上方“双线”(即公共部分下面的实数组成了交集.变式训练 2 (1)已知 A = (x, y)|x+y=3, B = (x, y)|x-y=1,则 AA B=( C ) TOC o 1-5 h z A.2,1B.x=2,y=1C.(2,1)D.(2,1)(2)若集合 A= x|1x3, xC N , B = x|x2

51、, xC N，贝U AAB=( D )A.3B.x|1x2C.2,3D.1,2x+ y= 3解析：(1)AAB = (x, y)|5 = (2,1).x-y= 1(2)由题意,知 A= 1,2,3 , B= 0,1,2,结合 Venn 图可得 AA B = 1,2,故选 D.类型三并集、交集的综合运算 命题视角1:与参数有关的交集、并集问题例 3 已知集合 A = x|0 xa, a0,求 AUB, An B.解(1)当0a0, AAB = x|ax0, AAB = 2.当a2时，如图(3)所示.B02 a所以 AU B = x|0 xa, AA B=?.通法提炼含参数的集合进行并集与交集的基

52、本运算时，要注意参数的不同取值对相关集合的影响，此类问题应根据参数的不同取值进行分类讨论.如该题中，应依据 a与2的大小关系分为三类.若无a0的限制条件，则应根据 a与0, 2的大小分为五类.变式训练 3设集合 A=x|x2+ax12=0 , B= x|x2+bx+c= 0,且 AUB = 3,4, AAB = 3,求实数 a, b, c 的值.解：An B= -3,3C A,且一3C B,将3代入方程 x2+ax12=0得a=1,-A=-3,4,又 AUB= 3,4, AWB,，B= 3.2.B = x|x + bx+ c= 0,. (3)+(3) = b, ( 3)X(3)=c,解得 b=

53、6, c= 9,则 a=1, b=6, c= 9.命题视角2:并集、交集的性质运用例 4设集合 A=-2, B = xC R|ax2+x+1=0, aC R,若 AAB=B,求 a 的取 值范围.解由AA B=B,彳导B? A,因为 A=2 w?.所以B=?或Bw?.aw。, 即A4.1-4a1.通法提炼求解An B= B或 AU B= B”类问题的思路：利用 An B=B? B? A, AU B=B? A? B”转化为集合的包含关系问题.当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视，从而引发解题失误变式训练 4 已知集合 A=x|0WxW4,集合 B = x|m+1WxW 1 m

54、,且 AUB=A, 求实数m的取值范围.解：AU B = A, . .B? A.1.A=x|0 x1m,解得 m0.当Bw?时，用数轴表示集合 A和B,如图所示,0 m+11 一俄 4 工 m+ 1 w 1 m,.B? A,0w m+ 1,解得1WmW0.1 mW 4,检验知m= 1, m=0符合题意.综上所得，实数m的取值范围是 m0或1WmW0,/课堂达标练经典 =桁栏n通过谶堂自由达标，万典.强拈提就*金而松升Z1.已知集合 A=1,6 , B= 5,6,8,则 AUB=( B )A, 1,6,5,6,8B. 1,5,6,8C. 6D. 1,5,8解析：求两集合的并集时，要注意集合中元素

55、的互异性.设 S= x|2x+10, T=x|3x-50,贝U SA T= ( D )1A . ?B. x|x3D. x| 2x0=*x x 2 JT=x|3x-50 = X则 SAT= X - 1x5 : 233.若集合 A = 1,2 , B= 1,2,4 , C= 1,4,6,则(AAB)UC = ( D )A. 1B. 1,4,6C. 2,4,6D. 1,2,4,6解析：由集合 A=1,2 , B= 1,2,4,得集合 AH B=1,2.又由 C = 1,4,6,得(AA B)UC = 1,2,4,6.故选 D. . r _ . . o 1r 1,1,4,已知集合 A=，1, 2, 2

56、 力 B = y|y=x2, xC A, AU B =1 , 2, 2 4,才.2r 11解析：-B = y|y=x2, xC A = 11, 4, 4, c 1,1- AU B= 1, 2, 2 4, 4 ：5.已知 A=1,4, x, B=1 , x2,且 AAB=B,求 x 的值及集合 B.解：An B=B, . .B? A, .x2=4或 x2 = x.解得x= i2或x=0或x=1.经检验知，x= 1与集合元素的互异性矛盾，应舍去.x =立或 x=0,故 B = 1,4或 B = 1,0.国论课堂小结本课须掌握的两大问题.对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，

57、“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“ xC A,或xCB”这一条件，包括下列三种情况：xC A但x?B; xC B但x?A; xCA且xCB.因此，AU B是由所有至少属于 A、B两者之一的元素组成 的集合.(2)A n B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合 B的元素，而不是部分，特别地,当集合A和集合B没有公共元素时，不能说 A与B没有交集，而是 AAB=?.集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意 集合元素的互异性.(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求

58、解， 但要注意端点值能否取到.温馨提示)学习至此，请完成课时作业 4第2课时补集及集合的综合应用目标1.理解全集与补集的含义，会求给定子集的补集；2.能用Venn图表达集合的关系及运算；3.能利用集合的相关运算解决有关的实际应用问题，意在培养数学建模及数学 运算的核心素养.重点全集与补集的含义，求补集以及用Venn图表达集合的运算.难点集合的综合运算及应用.要点整盒费量里/ 本村H期过课倩自主学习,风植理由E有酬事知识点 补集填一填1.全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为 全集.(2)记法：全集通常记作 U.2.补集文字语百对干-个集合A,由全集U

59、中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 ?uA.符号语后?uA= x|xC U ：日 x?A图形语百3.补集的性质(1)?uU = ?; (2)?u?=U； (3)(?uA)U A = U; (4)AA(?uA)=? (5) ?u(?uA)=A.答一答.全集是不是一个固定不变的集合？集合a的补集是不是唯一的？提示：全集不是固定不变的，它因研究问题的改变而改变；a的补集不唯一，随全集的改变而改变. ?uA的含义是什么？提示：？uA的含义：?uA包含的三层意思A? U;？uA是一个集合，且 ？uA? U;？uA是由U中所有不属于A的元素构成的集合.判断下列说法是否正确，正

60、确的在后面的括号内画，错误的画“X” .(i)?a? = a.( 7 )(2)?nN *=0 .(，)(3)?u(AUB)= (?uA)U (?uB). ( X )/典例讲练破题型农栏目通过课壁部以互劫，案位雨点.例析京.点.全组突破类型一补集的简单运算例 1已知集合 A = x|3Wx7, B= x|2x10,求？r(AUB); BA (?rA).解 集合 A=x|3 x7 , B=x|2x10.如图，将集合A,易知 AU B = x|3Wx7 Ux|2x10= x|2x10, ?rA=x|x7.?r(AU B) = x|xW2 或 x10.BA (?rA)=x|2x10 Ax|x7= x|