盗梦空间里的数学牵连概要课件

1、盗梦空间中数学牵连与现实演绎备受关注的盗梦空间有着令人惊叹的复杂情节，而其中许多情节和场景，与部分数学理论和思想非常相符，故事中的一些问题在数学中也有过类似的讨论。在欣赏影片之余，从数学角度来探讨一下电影，同样也是一件非常有趣且有挑战性的事情。同时，它在现实生活中的各种演绎也值得我们关注，也许，下一个进入梦境的人，就是你自己！三个盗梦空间中涉及的数学思想非欧几何和分形几何公理体系不可知论关于影片中非欧几何迷宫在第二段故事中，最令观众惊叹和称奇的部分就是Cobb向Ariadne演示迷宫的部分。在这里一共出现了3个迷宫。NO.1Cobb的助手Arthur向Ariadne演示了一个无限的楼梯。Ari

2、adne走了4段，一直感觉向上，实际上走了一个死圈，这其实便是画家埃舍尔（Escher）著名的旋转楼梯，它指出了梦中悖论（Paradox）的存在。在面试的时候，Cobb让Ariadne画迷宫以测其智商，她画的第3个迷宫困住了Cobb，这个迷宫是圆圈套来套去，也类似于一条著名的环形蛇迷宫。NO.2在面试的时候，Cobb让Ariadne画迷宫以测其智商，她画的第3个迷宫困住了Cobb，这个迷宫是圆圈套来套去，也类似于一条著名的环形蛇迷宫。Arthur的楼梯和Ariadne画的迷宫，并不复杂，但它们却并不存在于现实世界。用数学上的语言来说，真实的世界是欧式空间（Euclidean Space，欧几里

3、得空间），而梦中的迷宫则是建立在非欧式空间（Non-Euclidean Space，非欧几里得空间）之中的。NO.3而后Cobb教授Ariadne时，把世界折成了一个盒子状的结构。大地变成了盒子的内表面，天空位于盒子的中心，世界变得像万花筒一样颠来倒去，同样是一种非欧氏空间。什么是非欧式空间？如果我们为每一个空间都设置坐标系的话，欧氏空间的坐标系是直线，而非欧空间的坐标系会弯曲成一个圆圈。在一维上，欧式空间是直线，非欧空间可以是圆圈。在二维度上，欧式空间是平面，非欧式空间则可以有多种。Cobb所展示的盒子世界，其实就是球形的非欧空间。如果我们要构造一个Ariadne所走的埃舍尔楼梯，在那个空间

4、的高度方向一定是弯曲成了一个圆。这样楼梯的最高点和最低点具同一高度，所以才能联接上。在这个空间中，依然有向上和向下的方向，但意义已不同。向上和向下不代表高度的增减，而是指从两个不同的方向画圈。好比从一个方向上看，向上走是顺时针，向下走是逆时针。所以当你向上走和向下走时，一直都在不断重复。生活中这样的楼梯是没有的，但时钟等许多事物的工作方式却具有这样的性质。怎样把敌人永远困在梦中非欧式空间中的异常，为何会让人很难觉察呢？ 这些非欧空间被称为流形（manifold），流形同欧氏空间相比是局部相似，全局不同。如果从欧氏空间中取出一部分，再从非欧氏流形中取出一部分来，这两者会非常相似。例如一维的欧氏空

5、间是直线，非欧氏空间是圆。如果线段比较短，或是圆的半径比较大的话，这两者没有本质的区别。所以如果只走一段楼梯，或是只是生活在盒子世界中的一个小部分，没人能发现问题。 全局性质有时被说成“拓扑”性质。可以把拓扑理解成一种联接。比如两个人从直线上的一点出发，各自朝一个方向走，永远不会碰头，但如果他们来到一个圆上，这样走肯定最终会碰面的。 在电影的迷宫设计中，造梦师如果想把一个人困住，就要给他一种无限的错觉。把被骗的人想成是一只小虫子，在二维世界里，如果是欧式空间，就是一个平面，你只能设计一个很大的圆，但小虫总有一天会还是跑出去。但如果这是一个非欧式空间，如球面，小虫怎么都跑不出去，这样，造梦者就可

6、以将敌人永远困在自己设计的梦中。非欧式空间的历史 最开始思考非欧式空间的是德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss，17771855）。当他发现在地面看的直线在塔楼上看不是直的，便开始追问究竟何为弯，何为直？由此，他给出了几何概念的解析定义，创立了微分几何。 而盗梦空间故事中迷宫的思想，则更多来源于高斯的学生黎曼（Georg Friedrich Riemann，18261866）。黎曼问了一系列更大胆的问题：空间如果是弯曲的会怎样？（读者可以想象一个坐标系是弯的。）如果坐标系是弯的，那长度、角度还有什么意义吗？在黎曼的时代，许多人认为这已不是数学，而是哲学。 黎曼为角度和弧度给

7、出了一个新的定义，今天称黎曼度量，并给出了黎曼度量在不同空间中换算的规则。黎曼流形（manifold）便用来指称这种弯曲的空间。而且黎曼也思考过真实的宇宙是否是一个欧氏空间。他的观点我们不知道，因为我们只能看到宇宙的一部分。 在此后的100多年中，几乎无人正确理解黎曼的贡献。但这一思想深刻地影响了包括广义相对论在内的一系列伟大理论的诞生。分形几何 Cobb设计的迷宫，核心思想就是将敌人困在一个圈中。但故事的复杂性还远超于此。Ariadne展示了一种不同于Cobb设想的迷宫结构，那就是镜子中产生无穷多的人像。 Ariadne把Cobb带到一个地方，关上门，弄出两面镜子，两面镜子之中出现了数不清的

8、人像。因为镜子可以在镜子中成像，于是就有了镜中镜中镜中镜随着镜子层数的加深，镜中像会越来越小。但即使是极小的一个像，经过放大，里面还是有镜中镜中镜中镜这便是几何上被称为分形（fractal）的结构。我们可以将镜中镜看成盗梦空间故事结构的一种比喻。因为镜中可以有镜，所以就有镜中镜中镜中镜同样，因为梦中会产生梦，所以有梦中梦中梦中梦 最早的分形结构却不是来源于几何，而是来源于对递推规则的研究，具体说是微分方程的研究。分形结构是微分方程中chaos现象的一种，最早认识到chaos的人是法国数学家庞加莱（Jules Henri Poincar，18541912）。分形几何图片 普通几何学研究的对象，一

9、般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。在20世纪70年代末80年代初，产生了新兴的分形几何学（fractal geometry），空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。 分形几何学的应用 分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动)，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这

10、种布朗粒子轨迹的分维是 2，大大高于它的拓扑维数 1. 在某些电化学反应中，电极附近沉积的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。 自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测量。 有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从 1公里到1000公里的无标度区。小于 1公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1000公里时，地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度

11、区，这已经足够了。分形存在于这中间区域。 近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中，都实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域。 公理体系在盗梦空间中，Cobb一直在问：究竟什么是真实？标准是什么？何为真实？何为公理？ 在数学上，人们考虑过类似的问题，即一个命题是否是正确的。并产生了一个很有启发的观点，即公理体系的观点。一套逻辑系统建立在几条公理之上，其他的规律可通过公理的推导得出。这便是我们所说的公理体系。 当我们说一个定理是正确的时候，实际上是不严格的

12、说法。更准确的说法应是一个定理可由公理推导出来。只有当你接受公理的假设时，定理才是真的。 问题在于公理本身常常也只是假设，真假是不可证明的。例如，非欧式空间与欧式空间之间一个最大的区别，在于平行公理：经过一条直线之外的点，有几条直线和已知的直线平行？如果假设只有一条的话，那就是平面几何，这时三角形内角之和是180度。如果一条也没有，便是球面几何，这时三角形内角合大于180度。在不同的假设中，几何规则完全不同。 通常我们对空间的逻辑认知和思考都基于欧氏空间，这些逻辑都是在假定空间没有弯曲的情况下才是正确的。而在一个弯曲的空间中，如果还是用欧氏空间的逻辑进行思考，必定会推出不同的结果，产生悖论。

13、建立在“陀螺公理”之上 我们再回到电影，Cobb判断是梦是醒从来不用逻辑思考，只用陀螺验证。因为一些事可以从“在梦中”这一假设推导，也可以从“在现实中”这一假设推导。在两种假设前提下，用不同的逻辑可能推导出同样的结果。 “陀螺倒就是现实中，否则就是在梦中”是作为验梦的陀螺公理。Cobb只靠这一条分辨现实和梦境，不用逻辑推理。可以说Cobb对一切对梦和现实的分判，都是建立在陀螺公理之上的。 许多人会奇怪“陀螺公理”中，为何梦中的陀螺会转个不停。已有许多解答，非欧式空间可以给出一种可能的解答，弯曲的空间会产生几何上的逻辑悖论，同样会产生物理上的逻辑悖论。比如我们可以想象在埃舍尔设计的楼梯上，当一个

14、人向下走时，实际上就是在跑圈。同样的道理，如果你抛出一个物体，它会向下运动，实际上它也是在跑圈。打开不可知论的魔盒 其实，我们也可以把人的思想描述成一种几何结构。迷宫般的逻辑结构是存在的，它会导致“不可知性”。埃舍尔楼梯对应着逻辑上的循环悖论，最典型的便是“鸡生蛋，蛋生鸡”的例子，它们分开来看都是正确的，但是放在一起，便出现了一个先有鸡还是先有蛋的问题。分形结构对应着无穷的递归的逻辑。物理学上的观点“基本粒子可以再分”正是如此，分子分解成原子，原子分解成电子、质子和中子，现代物理学在进一步分解电子、质子和中子。但每得到一种基本的粒子，就要将其分解成更基本的粒子，这种逻辑就决定了世界的最基本的粒

15、子是找不到的。梦中梦也是这样一种分形似的逻辑，而电影的开篇和片尾，Cobb和Saito出现在同样的场景中，构成了一个循环，到这里，盗梦空间己经打开了不可知论的魔盒。 在哲学上“不可知论”是非常久远的。人类历史上许多科学巨匠们都有“不可知”的想法，这或许是为何一些绝顶聪明的家伙最后神经不正常的原因。例如牛顿在提出三大运动定律之后，跑去研究上帝。个中原因在于在牛顿的体系中有两个不可知的问题，一是第一推动力，二是如果万有引力存在，星星为什么没有掉下来。这是牛顿无法用他的三定律解答的。 爱因斯坦完全超越了牛顿诠释的经典力学世界，但正如他自己所说，“我知道的很多，我不知道的更多。”而一个爱因斯坦的体系中“不可知”的问题，便是为什么宇宙没有整个被黑洞吸进去。 在我们身边，无数的媒体、广告、电影、文学都是在编写故事，改变受众的想法。I