随机过程习题和答案

1、一、设二维随机变量（,）的联合概率密度函数为:试求：在时，求。解：当时，= =设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：所以:袋中有一个白球，两个 红球，每隔单位时间从 袋中 任取一球后放回，对每一个确定的t对应随机变M一X(t)如果对t时取得红球3te 如果对t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分 布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。解：（1）与无关所以只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。设随机过程 X(t)Ucos2tU E(U )5, D(U)5.求： ,其中是随机变且(

2、1)均值函数；(2)协方差函数；(3)方差函数.设有两个随机过程 X (t) Ut 2Y(t ) Ut3, U随机变且 D (U ) 5.,其中是试求它们的互协方差函数。设 A,B ,X(t) At3B tT(,)的均值是两个随机变M 试求随机过程，函数和自相关函数 .A, B , - (1,4 ), 一 ( 0,2), ()(,)若相互独立且A N B U则mXt及RXt11 2为多少？一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检在这1小时内最多有40名学生接受过体检的 概率是多少(设学生非常多，医生不会

3、空闲)解：令N(t)表示(0, t)时间内的体检人数，则 N(t)为参数为30的poisson过程。以小时为单位。贝U E( N (1) 30。40 k30(30)。P(N (1) 40) ek! k 0在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1, 2,当1路公共汽车有N人乘坐后出发；2路公共汽车1在有 工 人乘坐后出发。设在 0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求(1) 1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；(2)当N1= N ,1=2时，计算上述概率2解:法一：(1)乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1、2的poiSSOn过程)令它们为T表示

4、N1(t) = n的发生时1N1(t)、N2(t)。 N 1刻，T表示N 2(t) =N的发生时刻。N22N11 N 1 fttt()1exp( )ti111 nN(1)! 11N2N 1 2 fttt()2eXp( ) T 2 2 2 2N 2(N 1)!2N N1 2N 1 N 1 1 2f(t ,t)f(t |t)f(t)texp( t)texp(t)T,T12T|T12T2111222nnnnn(n 1)! ( N 1)!12 12 21 N 1 2 N 1P(T T )dt t exp( t )t exp( t )dtN N 2 1 1 1 2 2 2 112(N 1)! (N 1)

5、!0 01=2时，pntt)P(TT)12 12法二：（1）乘车到来的人数可以看作参数为1 +2的泊松过程令Z1、Z2分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时间间隔。则Z1、Z2分别服从参数为1、 2的指数分布，现在来求当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概率。z2p P(Z Z ) dz exp( z ) exp( z )dz12211122210 01 o1 2故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐 2路汽车的概 率为1- p21 2上面的概率可以理解为：在乘客到来的人数为强度1 +2的泊松过程时，乘客分别以1的概概率乘坐公共汽车1,以212 12 率乘坐公共

6、汽车2。将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功，那么有：N N 11 2N 1 1 N 2 k N(1 =1()1()1 k 1 TOC o 1-5 h z k N12 12(2)当 N = N、1= 2 时22N 1 2N 11111 N 1 k N 1 k 1P路汽车比2路汽车先出发)C C(1=()() k 1 k 12 2 2 k N k N设 N (t ), t 0) (i 1,2, L , n)是n个相互独立的Poisson过程，参数分别为 ii(i 1,2,L , n)。记T为全部n个过程中，第一个事件发生的时刻(1)求T的分布；证明()(), 0)N t N 11是 Poisson过

7、程，参数为ii 1(3)求当n个过程中，只有一个事件发生时，它是属于i1 i N (t), t0)的概率。1解：(1)记第i个过程中第一次事件发生的时刻为t, i1,2,.i1.,n o则TminQi2.n。由tii服从指数分布,有PTt1PTt1Pmirt,i1,2,.pti1n1Ptt,i1,2,.n1Ptti1i1i1n nt11(1)1expeiti i 1i 1(2)方法一：由N(t),i1,2,.n为相互独立的poissoT程)对i于 s,t0。nPN(ts)N(t)nPN(ts)N(t)n ii i1PN(ts)N(t)n,nn,i1,2.n i ii inin n nn nin

8、ni(sexp( )s) i n! i1i1i n n (s) i n i 1 exp( )s) i n! i1 n n 这里利用了公式nii(.)n! 1 n n! nin i1 i nn所以()(),0i 的 poisson程。NtNtt是参数为ii 1i 1方法二：。1当h0时，nPN(th)N(t1PN(ts)N(t)1 i i i1 n n(ho(h)1ho(h)iljln nho(h)ho(h)iii 1 i1。2当h0时，PN(th)N(t)2PN(ts)N(t) 2iii 1 n1 PN(ts)N(t)2 ii i1nn1(1ho(h)ho(h)jlil n n1(1ho(h)

9、ho(h) i ii 1i 1o(h)得证。(3)RN(t)1|N(t)1PN(t)1,Nt)0,i2,.n/PN(t)111n ntn1t1tteeieit/11i i2i11n证明poissctt程分解定理：对于参数为的poissott程rN(t),t0, 0p1,i1 Pi, 口，2小，可分解为 1个相i互独立的poisscn程，参数分别为p, i1,2L,roi解：对过程N(t),0,设每次事件发生时，有 r个人对此以概率rpi，MP进行记录，且 p,同时事件的发生与被记录之1ii 1间相互独立，r个人的行为也相互独立，以N(t)表示为到t时刻冢丁个人所记录的数目。现在来证明(),0N

10、t t是参数为ip 的 poissott程。iPN(t)mPN(t)m |N(t)m nPN(t)m nn 0mn(t)mmntn0Cp(1p)emn i i(mn)!me ( pt)ptim!独立性证明：考虑两种情况的情形，即只存在两个人记录,一个以概率p, 一个以概率1p记录，则N(t),t0是参数为1p 的 poisson程)N(t),t0是参数为2(ip)的 poisson过程。PN(t)k, N(t)kPN(t)k, N(t)kk11221112PN(t)kkPN(t)k|N(t)kk121112tkkkeC1p1p2(1)kk1 2kk(t)12(kk)!1 2kk()12t(kk

11、)!tkk12ep1p2(kk)!k!k!1212kktkkep(1p)12(t)k!k!12kkpttptpt)1(1)2eek!k!12PN(t)kPN(t)k1 122得证。设3的poisson程 ) 试求PN(1.PN(1)1,N3)2;PN(1)2|N(1)13k解:(1)333PN(1)3e13ek0k!PN(1)1,N3)2PN(1)1,M3)N(1)1369PN(1)1PN (3)N(1)13e6e18e3PN(1)214ePN(1)2| N(1)13PN(1)11e对于poissonN期，证明st时，nssn kkPN(s)k|N(t)n(1)()ktt解:PN(s)k| N

12、(t)nRN(s)k,N(t)nPN(t)nPN(s)k,N(t)N(s)n k PN(t)nPN(t)N(s)n kPN(s)k PN(t)n n k k(ts)Xs)(ts)see (nk)!k!ne t(t)n!nkk(ts)sn!n(nk)!k!tntssn kk()kn kkttnssnkk(1)() ktt2的Poissott程，另设N(t),t0和N2(t),t0分别是参数为1X(t)N(t)N(t),问X(t)是否为 Poissott程，为什么1 2解：不是XtNtNt, X(t)的一维特征函数为: ()()() 12iuX(t)iu(N(t) N(t)iuN(t)iuN(t)

13、f(u)E(e)E(e)E(ee)1212X(t) kk (t)(t) iuk1 tiuk2t eeee 12k!k!kokoiukiuk(et)(et)廿ee 12 12k! k!kokoiuiut etteteeee1 122iuiuexpet et()t1212参数为的PoiSScM程的特征函数的形式为explet,所以iuXt 不是 poisson程。()计算T, T2,飞的联合分布1解：3( x x x )1 2 3f , ,(x,.x) f (X f (X f (x) eX X X X X X 1 2 3 1 2 31 1 0J(t ,t ,t ) 0 1 1 11 2 30 0

14、1f (t ,t ,t ) f (t ,t t ,t t ) J(t ,t ,t )T ,T ,T 1 2 3 X ,X ,X 1 2 1 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 33 te 0 t t t31 2 30其他对 s 0,计算 E N (t)gN (t。s)解：2E N(t)N (t s) EN (t)(N(t s) N (t) EN (t )2E N(t)E( N (t s) N(t ) EN (t )2 2 2 2t s t ( t) t st t设某医院专家门诊，从早上8:0肝始就已经有无数患者等候，而每个专家只能为一名患者服务，服务的平均时间为2阴钟，且每名患者的服务时间

15、是相互独立的指数分布。则8:0J 12:00。诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时间。解：从门诊部出来的患者可以看作服从参数为3的泊松过程(以小时为单位)。则在0, t小时内接受治疗的患者平均停留时间为：N ( t) N (t )T Ti ii 1 i 1E E E | N (t) nN(t) N (t)ntt t2E En 2 2当t = 4时，平均等待停留时间为2 ho3 .111 N (t)，t是强度函数为 的非齐次PoissE程，凡X,L是事件发生之间的间隔时间，问：(1)诸X是否独立i(2)诸X是否同分布解:t(s)ds(1)m(t)P X t P N(t) 0 e e 0

16、1t s()dsP X t | X s P N(t s) N ( s) 0| X s 2 1 1m(t s) m( s)P N(t s) N (s) 0 e e从上面看出X1、X不独立。以此类推，X不独立。(2)(s)dsf (t ) 1 eF (t ) 1 P( X t) 1 P X t | X s dF (s) X X22 0 2 1m(t s) m( s) m( s) m( t s)1 e e (s)ds 1 e (s)ds0 0分布不同设每天过某路口的车辆数为：早上 7:008:00,11:002:0的平均每分钟2辆，其他时间平均每分钟 1辆。则早上7:3011:20F均有多少辆车经过

17、此路口，这段时间经过路口的车辆数超过500两的概率是多少解：(1)记时刻7:0必时刻Q以小时为单位。经过路口的车辆数为一个非齐次poiss啦程，其强度函数如下:120 0 s 1,4 s 5 (s)60 1 s 4则在7: 3011 20时间内，即13t 0.5时，313N( ) N (0.5)3代表这段时间内通过的车辆数，它服从均值为如下的poisson 布。13 131 4m(t) (s)ds 120ds 60ds 120ds 60 180 40 2803 30.5 0.5 1 4即:13EN ( ) N (0.5) 280给定的时间内平均通过的车辆数为280n2800(2)13 (280

18、)PN( ) N (0.5) 500 e3 n!n 5010,t时间内某系统受到冲击的次数n (t),形成参数为 的poisson过程。每次冲击造成的损害Y,ii 1,2, L独立同指数分布，均值为。设损害会积累， 当损害超过一定极限A时,系统将终止运行。以T记系统运行的时间(寿命)，试求系统的平均寿命解：在0,t内某系统受到的总损害ET。N ( t)X t的一个复合 poisscM。()ii 1程，其中1Y e。 ()itET tdF (t ) dxdF (t) dF (t )dx (1 F ( x)dx P(T x)dxT T T T0 0 0 0 x 0 0N (t)P(T t) P Y

19、 Ai i 0N (t)P Y A| N(t) nP N (t) n in 0 i 0n te P Y A P N(t) n in 1 i 11n x n()()tAt n 1 te x e dx e0(n 1)! n !()()At TOC o 1-5 h z -t n 1 tP(T t) dt e x e dxe dt。o0(n 1)! n!n 11 n x n ,A()()t一一t n 1 t e dt x e dx e dt0 0 0 n 1(n 1)! n!1 n x n n 11 ( t) 1 ( t) ,A n t t() 1x e dx( e e dt ) 0n n0 n(1)

20、! ! ( 1)!0n 11 1A n xn 1()n 1x e dx (n 1)!1 n 1 x1 1 1 A ()0 口 1n 1x e dx(n 1)!1 A1 A系统的平均寿命为某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设14男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。(1)试求到某时刻时到达商场的总人数的分布；(2)在已知时刻以有50人到达的条件下， 试求其中恰有30&妇女的概率， 平 均有多少个女性顾客解：设分别为(0, t)时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。(1)由已知，为强度的泊松过程，为强度的泊松过程；故，为强度的泊松过程

21、；于是，(5分)(2)(5分)一般地，故平均有女性顾客人(4分)(1)对 (2)错当N(t)时,T有可能小于t (3)错， T tn n时，N(t可能等于no更新过程的来到间隔服从参数为(n,)的 分布(1)试求N(珀勺分布；.N(t)(2)试证|imt tn。解：(1) PN(tkPN(t)kPN(tk1PTtP用kk1k k1PXtPXt11 1111skn1 s( k1)n1testes dsds()()00(kn1)!(k1)n1)!(2)由强大数定律：xITnkI1EXikkTtTt, TNtt TNt ,()()1N(t)N(t)1N(t)N(t)N(t)lim N(t)tN(t)

22、则：limttnN(t)TTNtnNtNt()1()1( ) 1N(t)N(t)1N(t)6 N(t)故 limt tn,t。对于Poissott程证明定理解:M(t)E(Nt)X;n 1 nn1n1xxtxtxF (t)e dxe dxtn00(n1)!(n1)!n1n1n112PX1, PX2,计算 PN(1)k? PN(2)k, PN(3)k。 i i33解：（1）1 23 313191 89 9PN (1) 0 PN (1) 0 PN (1) 1 PT 1 PT 1 10 1PN (1) 1 P N (1) 1 P N (1) 2 PT 1 P X X 11 1 2XK2 3 41 4

23、 4P一 一9 9 9PN (2) 2 P N(2) 2 P N (2) 3 P X X 2 P X X X 21 2 1 2 3PN (2) 1 P N(2) 1 P N (2) 2 PT 1 P X X 1 11 1 2XX + X 3 4 5 631 6 12 8P27 27 27 275 1 14P N (3) 2 P N (3) 2 P N (3) 3 P X X 3 PT 31 2 39 27 275 4P N (3) 1 P N (3) 1 P N (3) 2 PT 3 P X X 3 11 1 2,9 91 1P N (3) 3 P N (3) 3 P N (3) 4 PT 3

24、 PT 3 03 427 27一个过程有 n个状态1,2,L ,n最初在状态1,停留时间为X,离开1到达2停留1时间为X,再达到3, L,最后从n回到1周而复始)并且过程对每一个2状态停留时间的长度是相互独立的。试求lim用)刻t系统处于状态it设E( Xk+l +X显x x X为非格点分布。12+ +n解：记过程处于状态i记为开，从状态i+1到n,经过n再回到1,再到i-1这一过程记为关。n则有 Zk=Xi,Y = X Okjj1设初始状态从1第一次到i需要时间 to 0则 limtilimtP时刻 系统处于状态 P时刻 系统是开着的 ttEZEX时刻系统是开着的。kilimPt-t0tEZ

25、EYE(X.X) k k1 n用交错更新过程原理计算t时刻的寿命与剩余年龄的极限分布。解：丫小川为t时刻剩余寿命，AttT为t时刻年龄。()Nt()若假设更新过程是将一个部件投入使用而一旦失效即更换所产生的，则A(t)表示在时刻t部件所使用的年龄，而丫#示它的剩余寿命。令X(t)Y(t)A(t),即X(t)表示两次相邻更新的时间间隔，我们要计算PA(tX,为此我们将一个开-关的循环对应于一个更新区间，且若在t时刻的年龄小于或等于X,就说系统在时刻t “开着”。换言之，在两次相邻的时间为X(t)的时间内，前X时间内系统“开着”，而其余时间“关着”。那么若X(t)的分布非格点的，由定理得到lim

26、P A(t) x lim P t Emin( X , x) / E X 在时刻开着Emin( X , x) Pmin( X , x) y dy0 xo P(X x)Pmin( X ,x) y | X x P( X x)Pmin( X , x) y | X x dyP(X x)Pmin( X ,x) y | X x P( X x) Pmin( X , x) y | X x dy xxP(X x)P x y | X x P( X x )P X y | X x dy0P(X x)P x y | X x P( X x) P X y | X x dyxxP(X x) P( y X x) dy P(y X x)dy P(X x) P( y X x) dy P(X x y) P