九年级数学弦切角及和圆有关的比例线段

1、九年级数学弦切角及和圆有关的比例线段初三数学弦切角及和圆有关的比例线段知识精讲一.本周教学内容：弦切角及和圆有关的比例线段二.重点、难点：1.弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。注意：弦切角必须具备三个条件：（1）顶点在圆上（切点），（2）一边和圆相切，（3）一边和圆相交（弦），三者缺一不可。2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。3.弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。弦切角是和圆有关的角之一，其他几种有圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。这四种角之间的关系及转换是与圆有关的论证及计算的基础。4.相交弦定理：圆内两条

2、相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。5.相交弦定理的推论：如果弦与直径相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。6.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。7.切割线定理的推论（或称割线定理）：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。本节是本章中综合性最强的部分，是本章及初中平面几何中难点之一。其中，相交弦定理、切割线定理及割线定理在证明等积式、比例式和线段长度的计算中起着极其重要的作用。这三个定理实际是一个整体，可以看做相交弦交点从圆内移到圆外，由割线旋转到切线时的结果。应用定理和推论解题时，

3、要注意数形结合的思想、方程思想的运用。由于定理和推论的结论都是两条线段乘积的形式，所以一元二次方程更显威力。例1.如图，经过求证：ZATC=Z证明一：TTC为。VZTBC=ZA+ZAZTBC=ZBTC即ZATC=ZTBC证明二：TZETA又VZATC=180ZETAZTBC=180ZTBAAB=10,PA=4ABP=6OP=5,A6x4=0C2-52,CO2=49CO0,ACO=7答：。0半径为7cmOD=24,进而求出例3.如图，AABC2求证：AE=PE(2)若AE=4,PE(1)证明：TPAVPF/AC,AZC又ZAEP=ZAAEPE=,ADEBEBD=DC,PF/ACABE=AEAAE

4、=PE-DE解：根据相交弦定理：AEBE=GEEFAE=4,EF=8,4=GE-8,GE=2PE=5,APG=PE-GE=5-2=322APF=PE+EF=5+8=13VPA是OO的切线APA=PG-PF=3x13=39=15,sinC=23,求5RtAAD、DB的比值，又解：连结OD、DBVCD是OO切线，AOD丄CD在RtODC中，sinC=OD3=OC5设OD=3k,OC=5k，则DC=4kOD=OB,ABC=5k-3k=2k,AB=6kZCDB=ZA,ZC=ZCZ.AZDB&ADDBBC2k1=ADCD4k21AD=15，ADB=AD=7.52TAB是。0直径AZADB=90AAB=A

5、6k=AD2+DB2=2+(7.5)=21521525ABC=2k=2注意：将RtADB中，DB、AD两边的比转化为切线、割线的比，(即DCBCDB=)在这类图形中常用。ACCDAD例5.如图，P是直径CB延长线上的点，PA切于A,PA=15,PB=5,弦AD交CB于点M。=MBMA又ZAMB=ZPMAAMBPMA11AZP=ZBAM又ZBAM=ZBCDAZP=ZPCDACD/AP解：TPA是。0的切线，PBC是的割线APA=PB-PC又PA=15,PB=52PA2152=45APC=PB5ABC=PC-PB=45-5=40ZP=ZP,ZPAB=ZPCAA应ABPCAAACPA15=3ABPB

6、5设AB=x,AC=3xBC是直径，AZCAB=90ABC=AB2+AC2=x=40Ax=4AAC=3x=12由(2)可知，在ACD中，AC是定值A点D到AC的距离最大时，AACD的面积最大n如图，作垂直于弦AC的直径交AC于点N，交优弧ABC于点D此时ACD的面积最大CN=AN，OC=OB11AB=4=2221OD=BC=202AON=ADN=ON+OD=20+2AS&CD=AC-DN=x102+20=120+12022()此题用了圆中的不少知识、概念，综合性较强。例6.已知：如图，AB是直径，C为半圆的三等分点，PB、PC分别切于C,且AB=14,PA交于点D,DE/PB交AB于点F，交于

7、点E。Z.ZABC=30ABC=AB-cos30=14x3=732PB、PC分别切00于B、CAPB=PC，ZABP=90AZCBP=90-ZABC=60APB=PC=BC=73在RtABP中，AP=ABP=PD-APAPD=2AB2+BP2=77BP=3AP772(73)2AAD=PA-PD=47C2)VDEPB，AB丄BPADE丄AB于FTAB是。0直径nnAAE=DAAZE=ZADEZADE=ZAPBAZE=ZAPBtanZAPB=AB1423BP733233tanZAED=例7.已知：如图，AB为0直径，BC为0切线，B为切点，AC交于D,nn94ED=BD，DE的延长线与BA的延长线

8、交于P，若CD=,sinC=,求PA的长55AZADB=ZABC=90AsinC=BDBC=45设BC=5k,BD=4k则CD=BC2-BD2=3k=95k=35ABD=4k=4x3125=5BC=5k=5x35=3BC2=CD-ACAAC=BC2CD=9nn3CE，9=55:.AB=AC2-BC2=52-32=4A0=12AB=2BDn=EDAED=BD=125Zl=Z2,0A=ODAZ2=Z3AZ1=Z3.AE/OD12PEED6=PAAO25设PE=6a,PA=5aPE-PD=PA-PB6a6a+a=12=5a（5a+4）528552811PA=5a=选择题。如图1所示，。0的两条弦AB

9、、CD相交于点E,AC和DB的延长线交于点P,下列结论中成立的是（）PCCA=PBBDC.CECD=BEBACEAE=BEDED.PBPD=PCPA如图2所示，AB切OO于B点，BE是OO的直径，切线AD与BE延长线交于C点，若CD=则（）BE=3CEB.AD=CDC.AB=BED.CB=AB3.PT切于T,PB为经过圆心的割线交于A点（PBPA），若PT=4,PA=2,则cosZBPT等于（）A.45B.12C.18D.34如图3,AB为的弦，且AB丄OP于D,PA为圆0的切线，A为切点，AB=8cm，OD=3cm，则PA等于（）A.25cm3B.20cm35cmD.8cmn如图4所示，AB

10、是半圆的直径，C是半圆上一点，CD丄AB于D，CD=1，E是AC上任意一点，且ZEDC=ZFDC，以下结论正确的是（）（1）EC=CF，C2）ZE与ZF互补，（3）DEDF是变量，（4）DEDF=1,（5）ZF=ZECDA.（1）（2）（3）B.（3）（5）B.（2）（4）D.（4）（5）填空题。在直径为2的圆外有一点P到圆的最近点的距离为3,则从P点所引圆的切线长ZA=90,2.如图5所示，AD切于D点，ABC为割线，AD=24,AB=18,TOC o 1-5 h z则半径为。已知在Rt&BC中，ZC=90,D是AC上一点，以CD为直径作切AB边于E点，AE=2,AD=1,则SABC=。PA

11、切圆于A点，PBC是过圆心的割线，交圆于B、C两点，PA=42cm,PB=2cm，则圆的半径等于cm。解答题及证明题。如图6所示，已知AD是的切线，D是切点，ABC是的割线，DE丄A0于E。求证：ZAEB=ZACO如图7所示，。0是&BC的外接圆，ZACB的平分线CE交AB于D,交于E,O的切线EF交CB的延长线于F。求证：AE=AD-EF2nn已知：如图8所示，AB为半圆的直径，C、D为半圆弧上的两点，若CD=BD,DC与BA的延长线交于P,若AP:CP=3：4,S&DB=165,求AP的长。如图9所示，AB切于A,AC经过圆心0交圆于点D,BC交圆于点M、N,且使MB=MN=NC，若AB=

12、2,求。0的半径。如图10所示，。0的两弦AB和CD交于P，过P作PM/AD交CB的延长线于M,过M作。0的切线ME。求证：MP=ME如图11所示，已知。0中弦AB/CD,BG切。0于B,交CD延长线于点G,P是CD上一点，PA、PB分别交CD于E、F两点。求证：EFFG=FDFC如图12所示，AB是的直径，M是AB上一点，MP丄AB交于N,PD是O的割线交于C、D。2求证：PCPD+MAMB=PM参考答案一.选择题。1.D2.B二.填空题。1.TOC o 1-5 h zABD253.64.7三.解答题及证明题。提示：连结0D，则0D丄AD又DE丄A0于E，贝UAD=AE-AO又AD切00于E

13、，AAD=AB-ACAAE-AO=ABAC即22AEAB=，而ZOAC=ZCA0ACAOMBE公OCAZACO=ZAEB提示：连结EBTCE平分ZACB,ABE=AEBE=AEAZEAB=ZEBA又VEF切OO于EZFEB=ZEAB=ZEBAAEF/ABZF=ZABC=ZAEDADEEBFADAE=BEEFAE-BE=ADEF,即AE2=AD-EFA提示：连OD、AC，设AO=RnnCD=BD，AZCAD=ZBAD又TAO=DO,AZBAD=ZADOAAC/OD,AAOPA3=CDPC4ACD=AAD=4R=BD32R3124=16，得：-R-R=16233AB2-BD2=SMDBAR=6又PAPB=PCPD，设PA=x，贝0 x(x+12)=33xx+8x=1212,：AP=772提示：TAB为的切线，AB=BM-BNBN=BM+MN=2BMBM=MN=2,则BC=32TBA为切线，AD为直径ABA丄AD，在RtABC中，AC=又CD-AC=CN-CM，得：CD=BC2-AB2=CN-CM2=AC751422AO=由切割线定理得：ME=BM-MC，欲证MP=ME，