高考热点函数零点的应用

1、函数零点的应用.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y = f(x)(xC D),把使f(x)=0的实数x叫做函数y = f(x)(xC D)的零点.(2)三个等价关系方程f(x)=0有实数根？函数y=f(x)的图象与x轴有交点？函数y = f(x)有零点.函数零点存在性定理：设函数 f x在闭区间a,b上连续，且f a f b 0,那么在开区间a,b内至少有函数f x的一个零点，即至少有一点x0a,b，使得f x00。f x在a,b上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提(2)零点存在性定理中的几个“不一定”(假设f x连续)若f a f b0 ,则f x的零点不一定只有一个，可以有多个若

2、f a f b0 ,那么f x在a,b不一定有零点若f x在a,b有零点，则f a f b不一定必须异号.若f x在a,b上是单调函数且连续，则f a f b 0 f x在a,b的零点唯一.二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象与零点的关系A0A= 0A0)的图象与x轴的交点性,0), (x20W)尢交点零点个数210角度1根据函数零点个数求参数取值范围典例 已知函数f(x)=|x2+3x|, xCR,若方程f(x)a|x1|=0恰有4个互异的实数根，则实 数a的取值范围是.解析 设y1 = f(x)= |x2+3x|, y2=a|x1,在同一直角坐标系中作出y1，y2的图象如图所示由图

3、可知f(x)-a|x- 1|=0有4个互异的实数根等价于 yi=|x2+3xpfy2=a|x 1的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1,y= x23x,所以有两组不同解，消去 y得x2+(3a)x+a=0有两个不等实根,y= a 1 x所以 A= (3-a)2-4a0,即 a210a+90,解得 a9.又由图象得 a0,，0a9.变式1已知函数d - 3, - 1xW 0, g(x)= x+ 1若方程g(x)mxm = 0有且仅有两个不等x23x + 2, 0 x0时，因为临界位置为y= m(x+ 1)过点(0,2)和(1,0)分别求出这两个位置的斜率k=2和k2=0,此时m 0,2

4、)；11 y。x0 + 1 2 x0+ 1y=x0+13当m0时，过点(一1,0)向函数g(x)=-3, -1xa,解析：f(x)=当 xa 时，由 x - 2=0,得 xi=i x2= 3,3x，xF 2a 2, xa,x当a1时，x3, 1,3成等差数列，则 x3 = 5,代入一x-+2a2=0得，a=-9; x53当一1waW3 时，万程一x-+2a-2 = 0,即 x2+2(1 a)x+3= 0, x设方程的两根为x3,x4,且x33时，显然不符合.所以a的取值集合为一55, 5+誉.变式4已知函数f x满足f xf 3x ,当 x 1,3 , f x In x,若在区间 1,9 内,

5、函数g x f x ax有三个不同零点，则实数 a的取值范围是(解析 Q f x f 3x HYPERLINK l bookmark2 o Current Document x一 一xx HYPERLINK l bookmark4 o Current Document f x f一，当 x3,9时，f x f-In ,333In x,1 x 3所以f x XIn-,3 x 9 3而g x f x ax有三个不同零点y f x与y ax有三个不同交点,如图所示，可得直线 y ax应在图中两条虚线之间，所以可解得： a 9 3e例5 :已知函数f (x)是定义在 ,00, 上的偶函数，当X 0时，

6、2|x1|1,0 x 2f(x) 1，则函数g(x) 4f(x) 1的零点个数为()f x 2 , x 22解析 由f x为偶函数知：只需作出正半轴的图像，再利用对称性作另一半图像即可，当 x 0,2时，利用y 2x利用图像变换 TOC o 1-5 h z 簟 a -* G，一1作出图像，x 2时，f x f x 2 ,2即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作出2,4 , 4,6 的图像，g x的零点个数 一 .1 . . .、即为f x 根的个数，即f x与y 的交点个数，观察图像在 x 0时，有5个交 44点，根据对称性可得 x 0时，也有5个交点。共计10个交点变式5定义域为 R的偶函

7、数f x满足对 xR,有fx2f x f1,且当x 2,3 时，f x 2x2 12x 18,若函数 y f x log a x 1 在 0,上至少有三个零点，则a的取值范围是()解析 f x 2 f x f 1体现的是间隔2个单位的自变量，其函数值差f 1 ,联想到周期性，考虑先求出f 1的值，由f x为偶函数，可令x 1 ,得f 1 f 1 f 1f 10 f x 2 f x , f x为周期是2的周期函数。已知条件中函数y f x loga |x 1有三个零点，可将零点问题转化为方程 f x log a x 10即f x loga x 1至少有三个根，所以 f x与y log a x 1

8、有三个交点。先利用a 1时，不会有3f x在x 2,3的函数解析式及周期性对称性作图，通过图像可得:x上万即可,3T1,3 时，个交点，考虑0 a 1的图像。设g x logax,则y loga x 1 g x 1，利用图像变换作图，通过观察可得：只需当 x 2时，y loga x 1的图像在frr21_即 loga 2 1 f 22 loga 32 log a a 所以 30 aa变式6已知定义在R上的函数f x满足f x 2 f x ,当x- 1 x2, x 1,1一一一f x，其中t 0,若方程3f xx恰有三个不同的实数根，t 1 x 2 ,x 1,3则实数t的取值范围是（）所解方程可

9、视为y f x与g xx ，、， ,一的交点，而t的作用为影响y3t 1 x 2图像直线的斜率，也绝对此段的最值（ xymax t）,先做出y 的图像，再根据三个交点的条件3作出f x的图像（如图），可发现只要在 x 2处，f x的图像高于g x图像且在x 6处f x的图像低于g x图像即可。所以有 f 6 g 6 项f(22t2“t2f 2 g 2 f (2) t -3sin x 1,x 0变式7已知函数f x2的图loga x a 0,a 1 ,x 0像上关于y轴对称的点至少有 3对，则实数a的取值范围是（ ）解析 考虑设对称点为 x0, x0,其中x0 0 ,则问题转化为方程fx0fXo

10、至少有三个解。即sin x 1 log a x 所以问题转化为g x sin -x 1与2解析由f x 2 f x可得f x 4 f x 2 f x ,即f x的周期为4,h xlogaX有三个交点,先做出y sin x 1的图像，通过观察可知若y log a x 2与其有三个交点，则 0 a1 ,进一步观察图像可得：只要h 5 ,则满足题意，所sin5-1 log a 5八，1，2 log a 5 log a loga5a角度2根据函数有无零点求参数取值范围1 TOC o 1-5 h z 典例函数f(x)=x2ax+1在区间2，3上有李点，则头数 a的取值氾围是()解析由题意知方程ax=x2

11、+1在弓，3上有解，即a= x+：在3上有解，设t = x+1,2x 2xxC 1, 3 ,则t的取值范围是 2, 10 .，实数a的取值范围是 2, 130 . 233变式1已知函数f x ax3 3x2 1,若f x存在唯一的零点x0,且x0 0 ,则a的取值范围是() HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 一一 Q1 33.1Q斛析：ax 3x 1 0 a 一 一，令t ,依题意可知a t 3t只有一个x x x零点to且to 0 ,即y a与g t t3 3t只有一个在横轴正半轴的交点。2g t 3t2 3可知g t在 ，1,1,减，在1,

12、1增，g 12作出图像可得只有a 2时，y a与g tt3 3t只有一个在横轴正半轴的交点。0, x0,解析 函数g(x) = f(x) + xm的零点就是方程f(x)+x=m的根，画出 h(x) = f(x) + x =x, xW0,*的大致图象(图略).ex+x, x0观察它与直线 y=m的交点，得知当 mw 0或m1时，有交点，即函数 g(x) = f(x) + x m有令点.角度3根据零点的范围求参数取值范围典例1 一元二次方程x2 2kx 2k 1 0,方程有大于0的两个实数根的充要条件是什么？解析0思路一：根的分布，令f (x) x2 2kx 2k 1,依题意，k需满足 f(0)0

13、,k 0.一 1一解得 一k02k 0-k02k 10变式一元二次方程x2 2kx 2k 1 0,方程有大于1的两个实数根的充要条件是什么? 解析 提示：根的分布或韦达定理，部分过程如下02思路一：根的分布，令 f(x) x 2kx 2k 1,依题意，k需满足 f(1)0k100思路二：韦达定理 (x1-1)+( x2-1) 0 x1 x22代入求解即可(x1-1) (x2-1) 0 x1x2-( x1 x2)+1 0典例2若函数f(x)= (m-2)x2+mx+ (2m + 1)的两个零点分别在区间(一1,0)和区间(1,2)内，则 m的取值范围是.mw 2,解析 依题意，结合函数f(x)的

14、图象分析可知 m需满足f 1 f00,f1 f 2 0,m w2, 11即m 2-m+ 2m+1 2m+1 0,解得4Vm2.m 2+m+ 2m+1 4 m 2 +2m+ 2m+1 0依题意，k需满足 f (1) 0 ,解得 2V k 1或3 k0必备二级结论【附录】结论11 一元二次方程ax22af (m) 0,( a(am20(b 4ac 0)2一元二次方程ax22af (m) 0,( a(am3一元二次方程ax22af (m) 0,( a(am20(b 4ac 0)b一 m2abx c 0有两个大于bm c) 0)bx c 0有一个大于bm c) 0)bx c 0有两个小于bm c) 0

15、)m的实数根的充要条件m的实数根，一个小于m的实数根的充要条件m的实数根的充要条件结论2一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)有两个大于m的实数根的充分条件也就是说一元二次不等式ax2 bx c 0(a 0)解集包含，m ,用函数语言讲就是二次函数y ax2 bx c(a 0)在定义域，m大于0恒成立。元二次方程ax2 bx c 0(a 0)有两个小于m的实数根充分条件也就是说一元二次不等式 ax2 bx c 0(a 0)解集包含m,用函数语言讲就是二次函数y ax2 bx c(a 0)在定义域m,大于0恒成立。一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)有两个大于m的实数根充分条件也就是说

16、一元二次不等式 ax2 bx c 0( a 0)解集包含，m ,用函数语言讲就是二次函数y ax2 bx c(a 0)在定义域，m小于0恒成立。一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)有两个小于m的实数根充分条件也就是说一元二次不等式 ax2 bx c 0( a 0)解集包含m,用函数语言讲就是二次函数y ax2 bx c(a 0)在定义域 m,小于0恒成立。函数，不等式，方程的相互转换在高中数学中叫做划归思想。结论3,m大于0恒成立的充要条件是,m大于0恒成立的充要条件是二次函数y ax2 bx c(a 0)在定义域2af (m) 0,( a(am bm c) 0)20(b 4ac 0)b

17、一 m2a或者 0(b2 4ac 0)结论42一次函数y ax bx c(a 0)在定义域2af (m) 0,( a(am bm c) 0)0(b2 4ac 0)-m 或者 0(b2 4ac 0)2a元二次方程 ax2 bx c0有两个实数根在区间m, n之间的充要条件结论7结论5af (m) 0af (n) 00b m n 2a0有两个实数根在区间m, n左边的充要条件一元二次方程 ax2 bx c af (m) 00b m 2a元二次方程ax2 bx c0有两个实数根在区间m, n右边的充要条件af (n) 00bn2a结论62ax bx c 0两个头数根一个在区间m,n中间，另一个在区间

18、m,naf ( m )0af ( n )0右边的充要条件2ax bx c 0两个实数根一个在区间m, n左边，另一个在区间m,n右边的充要条件af (m) 0af (n) 02ax bx c 0两个实数根一个在区间m,n左边，另一个在区间m,n中间的充要条件af (m) 0af (n) 0一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 有两个实数根在区间 m, n 左边的充分条件结论 8一元二次不等式ax2 bx c 0(a 0) 的解集包含区间 m, n二次函数 y ax2 bx c 0(a 0) 在定义域 m, n 上恒大于 0一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 有两个实数根在区间 m, n 右边的充分条件一元二次不等式ax2 bx c 0(a 0) 的解集包含区间 m, n二次函数y ax2 bx c 0(a 0) 在定义域 m, n 上恒大于 0ax2 bx c 0(a 0)两个实根一个在区间 m, n 左边，一个在区间 m,n 右边的充分条件一元二次不等式ax2 bx