试验04讲评、参考答案_数学规划模型一2学时

1、实验04讲评、参考答案未按时交的同学数学：01边清水，27鲁瑞，50钟鑫信科：13林其博批改情况：批改了偶数学号的实验报告。附参考答案:海南大学信息科学技术学院实验报告成绩实验课程:数学建模实验指导教师王平学号：姓名：班级：同组成员：完成日期：20 年 月 S实验04数学规划模型（2学时）（第4章数学规划模型）1.（演示）加工奶制品的生产计划（线性规划LP） p8691问题的基本模型p86 （线性规划模型）：max z = 72x1 + 64x2s.t. x1 + x2 5012x1 + 8x2 4803x1 0, x2 0求解以上线性规划问题。要求：按如下步骤操作：打开LINGO11s LI

2、NGO 11.0 - UNGO Model UNGO1- XEle Edit LINGO Window Help0 |s a| m国| d引国 道|啜R/wdy|而 M|LnTTl , 修改 选项”（Options）S UNGO 110 - LINGO Model - HNGO1- X口|国&园 LINGCSohreCtrl+USolution.Ctrl-I-WRang 营Ctrl+ROptions-Ctrl +1GeneratePictureCtrl+KDebugCtrl+DModd StatisticsCtrl+ELook.,Ctrl 4-Lfile Edit LINGO Window H

3、elpCustomize optienal system settings选择 LINGO/Options在出现的选项Ig架中，修改2个参数：选择General Solver（通用求解器）选项卡，Dual Computations（对偶计算）设置为：Prices and Ranges（计算对偶价格并分析敏感性）选择Model Generator （模型生成器）选项卡， Model Regeneration （模型 的重新生成）设置为：Always （每当有需要时）点击OK退出。LINGO OptionsInteger Pre-Solver Irrte-ger Sohrar 61 口旧上I 专口

4、Iwr Model GeneratarIriteiFaceGenerali SolwrLinear Sclw#rNonlin-d r SolverLINtjO Options,?Interface | Generali Scdwer | Ibinear .Iver | INanlmer SolverIriiLer Pre-Sobermwger SnMi1 I Global Solver Modffl Generatoi,SOlVt Ttme Gmit:-Dual Computation!IRumtimc UHtf ；Ite-raEionsTime (ee):|忖口廿三Timie (sec):

5、Kill scripts on limit* Variables assumed uan-negiatrviBI Use- formal: names fer IMPS I/OGenerator Memory Limit MB):Unary Minus Pniorilr Low 用 HbghRxed Var Reduction:Line-ar rows anlylirfBrijartion：Qf greetRig M:De ha：Solwr DMKides ,HOODOO11D06F Allow ynrfrrtnrted ux 唱f primitive set member narrF Ais

6、ume m&dd ir& Jineai一 Check for duplicate names id data and mocfiMinimi工e mpmor u-5.ag选Interface选卡，撤消Errors in Dial复选项，使出错时指出位置;单选项被选中，使LINGO为默认状态（ltx为LINDO ）确认lg4LINGO OpdonsInteger Pre-Sohfer Intege-r SdHf | Glakial Salw-r | Model GeneratcrInterface | Generdll Solver | Linear Solver | NonliiieAr So

7、lvff家：_ Err0rsi in Dialogs： rc ie nAll Out Ranges 口nd TablesF Splash Screen斤 Status Bar万 Status WrfidewP ToolbarOutput level: Solution印台F白同配t* lg& HMende由hg (teirt only)C 也UNDOSyntax ColoringLine Limit|1DOO7 Paren MatchCommand Window:出题irHum： 000趣!imum;应Pag?号Limrts:Lfirigth- 1 .me 可OK Send Riparte t

8、e Ca-nhwiAnd Windav 厂Etho Input 在模型窗口输入模型p88LINGO 11.0 - LINGO Model - LINGO1口 |谢日牌|,囱 二|二|心股|e| 回回凶|周引主|曾随|NUMMODLn 8r CFile Edit LINGO Window HelpLINGO语法：基本语法见提示。将文件存储并命名为p85_lg.lg4操作菜单栏：File/Save As（记住所在文件夹）求解模型运行菜单LINGO/Solve。1囱 LINGO iro-LINGO Model -P5JgFile Edit LINGO Window HelpDHSolveCtrl +

9、 Ur-* LINGCSolution.RangeCtrl+WCtrl+Rmodel:IITLE文件名OptionslrkCtrlH-ln;ax=72GenerateniilktimePictureCtrl + Kcpct end|DebugCtrl + DModel StatisticCtrl+ESo Ives th e rLooLn.Ctrl + L“倒|回回后|画蹩解|选择 LINGO/Solve点击“Clos然闭求解器状态框H LING011,0 - Solution Report = p85_lg X印甘 dit LINGO JSindow Help口|阖。牌I |固向二号|电周e|

10、 91gli区|园引国 已阐|只“山一厂 NUM | |Ln, 口力求解结果的报告窗口检查输出结果与教材p89的标准答案是否相同。灵敏性分析点击模型窗口，使该窗口为当前窗口。LINGO 11.0 - UNGO Model - p85_lgFile Edit LINGO Window Help口|诩s圜 | |e| *|匐舒心|孰国也|冈|冉屈|曾懒|ReadyNUM选择 LINGO/Ranges网 LINGO 11.0 - Range Report - p85_lgFil# Edit LINGO Window Htlp口I宜la争Imadel!画 Range Report - p85jgRan

11、g已H m which the basis isunchanged:TITL. !文再1 0s 1mil tire. ：,cpcendObjecciveCurrent Coefficient72.0000064.00000Costficrent RangemAllawableIncrease24.000008.000000AllowableDecrease8.00000016.000GDRewMILK TIME CP CTCurrtnt RHSSO.OOODO 480.DODO 100.DODORighthand Side RangesAllowableIncrease10.00000S3.3

12、3333iNFIEfiTYAllowable Dtcrease .667 aO.OODOD 4D.D0D0DFor Help, press FlNUMIn 1, Col 151 5g pin模型的灵敏性分析报告（此处若出错，请检查步骤（2）修改 选项（Options-。） 检查输出结果与教材p90的标准答案是否相同。结果分析可参阅教材p89-91。2.（验证）奶制品的生产销售计划（LP） p9195问题的基本模型p92 （线性规划模型）：max z = 24xi + 16x2 + 44x3 + 32x4 - 3x5 - 3x6s.t. 4ci + 3x2 + 4x5 + 3x6 6004xi

13、+ 2x2 + 6x5 + 4x6 480Xi + x5 0用LINGO求解以上线性规划问题。要求：按以下步骤操作：（如果不需要保留，最好关闭之前模型的所有窗口）打开菜单“File ”/ “Ne新建模型文件。在模型编辑窗口输入模型：LINGO IkO - LINGO Io del - p92Pile Edit Lira Window Help将文件存储并命名为p92.lg4 （记住所在文件夹）求解模型。灵敏性分析。检查输出结果与教材p92-93的标准答案是否相同。结果分析可参阅教材p940求解报告（比较921）:工，SoLutinn RerrTrt -通 201回1Global cptJut

14、ion f onndiObjective valuE： Illo 11 i 11 es;Total solder i匕仁工at1口口m;3460.800O XOJOOC2hocej. Tide:妫制Ri的生产祜售计划VaiiaJle XL X2 X3 H4 SF 6Value (.OOOODC 168.X DO 19. ZOOM 0 0000 DO 24. onooo L。口 00 )1deduced Cost 0000 0.000000 0.00000(1 O.OOOODO O.nODODO l.DUODORow1 MILK TINE CPCTE Eor Surplus J4tiO.aUU0

15、.0000 DO c.ocooao7a. OOooc 0.0000 DO0.00DOQ0Du式 Ptic& .UlUUUD X1COODO 3,26000(1 o.oOOOOO44.0000032. OOODO灵敏性分析报告（比较93）:写工auge RepuiLt.-13目冈Fanoes in wtiictithe basisis unchanged：Oto j ective Coefticient BangesCuEren.till larrao leJlI LoTarat leVeuz Z.CL3 leC o ef f ic i exitIncr eDecnesseXI24.QiOOOO

16、1.68OD0OIMfIJJiT?X216.00000e lEozioo2.100COOZJ修子19.TSJOD3 . 1,5 6 6 6 7工且a2 .oocoo2.O2 66 67IM FI UTT1/3.00000015.603002.535333-3.0000001.52OD0Oiiirmmaignthaiicl 5 lie RangesRo ITCurrentlotraftleAllcwahleFH3Inc i. unnuDc.eE caseMILK600.0000120.0300200.0000TIKE490.0000253.3333eoi.oooooUP Cl,IOiO. uuo

17、oIMF1N1TY/b,UC0D0J0,0INFINITY19.20000G0.0INFINITYC .03.自来水输送问题（LP） p95983.1 （验证）求最小值的模型线性规划（LP）模型：min z = 160 xii + 130 xi2 + 220 xi3 + 170 xi4 + 140 x21 + 130 x22 + 190 x23 + 150 x24 + 190 x31 + 200 x32 + 230 x33约束条件：xii + xi2 + xi3 + xi4 = 50 x21 + x22 + x23 + x24 = 60 x31 + x32 + x33 = 5030 xii +

18、 x21 + x31 8070 xi2 + x22 + x32 14010 xi3 + x23 + x33 3010 xi4 + x24 30;x11+x21+x3170;x12+x22+x3210;x13+x23+x3310;x14+x24m1(j);for(C(j): sum(R(i):x(i,j)m2(j); x(3,4)=0;end求解报告：13E Snlntinn Rspnit -二J3.2 （求解）求最大值的模型线性规划（LP）模型：max z = 290 xii + 320 x12 + 230 x13 + 280 x14 + 310 x21 + 320 x22 + 260 x23

19、 + 300 x24 + 260 x31 + 250 x32 + 220 x33约束条件：x11 + x12 + x13 + x14 W100 x21 + x22 + x23 + x24 120 x31 + x32 + x33 10030 x11 + x21 + x31 8070 x12 + x22 + x32 14010 x13 + x23 + x33 3010 x14 + x24 50变量均非负。14模型可以描述为:max z = x p0 x0 i 4 j 4约束条件：4“ Xij h,i =1,2,3 j 13m1j Xj m2j, j =1,2,3,4 i 1X34 = 0变量均非负

20、。其中 TOC o 1-5 h z 290320230280p=3103202603002602502200_100b= 120：100_m1 = 30 70 10 101m2 - 180 140 30 501(1)按表达式格式输入模型。给出输入模型和求解报告(比较971 )：输入的模型：!文件名:p97.lg4;max = 290*x11+320*x12+230*x13+280*x14 +310*x21+320*x22+260*x23+300*x24 +260*x31+250*x32+220*x33;x11+x12+x13+x14100;x21+x22+x23+x24120;x31+x32+

21、x3330;x11+x21+x3170;x12+x22+x3210;x13+x23+x3310;15x14+x2450; end求解报告:y Solution Report - pSTGlobal pt-iinal solution Xouncl.B700.00D .000000Object ivc value:Infeas ibi1 ities;Total solver iterations:VariableValueReduced CostKll0.00000020.00000XIS100.00000,000000XI30.0000000000区140.GO2000000X2130 jOQ

22、OOOc.oooooo404000000.000000.onaooo10,00000X2450.00000c.ooooooX3 1SO.DOOOOo. oooooo初工.DOOOOQ20,00000K3330,000000,000000(2)按使用LINGO函数格式输入模型。给出输入模型和求解 报告(比较97):偎示：把上题的输入模型作少量修改即可。 输入的模型：sets!定义集合及变量；R/1.3/:b;!R/1.3/可理解为类型：有3个元素的数组。b为定义的变量；C/1.4/:m1,m2;RC(R,C):p,x; !RC(R,C)可理解为3q的数组类型； endsets data:!对已知

23、变量赋值;b=100 120 100;m1=30 70 10 10;m2=80 140 30 50;p=290 320 230 280310 320 260 300260 250 220 0; enddatamax=sum(RC:p*x); !min=p(1,1)*x(1,1)+p(1,2)*x(1,2)+p(3,4)*x(3,4);for(R(i):sum(C(j):x(i,j)b(i); !x(i,1)+x(i,2)+x(i,3)+x(i,4)=b(i), im1(j);for(C(j): sum(R(i):x(i,j)m2(j); x(3,4)=0;end求解报告：16FM Soluti

24、on Eopoct - pDT二叵区Global optittial Bolutian fouiid. Objective value: I e mm ih i L xt 二曰日: Total solver iterations:8S7D0.0D o.oDaooa 74Uaclab IpB ( 1) B t 2) fi C 3) Ml t L Ml ( 3) Hit 3) (tl ( 4) tl2 1) 43) 叼3) M2 ( 4 F( lf 1 P( 1, 3) P ( b 3) P( 1, 4) P( Zf 】) Pt 2f 2) F( E. 3) F( Z,中 P ( 3, 1) Fl

25、 3, Z) P(3)Fl 3，V JU 1, 1)XI 1, 3)L为 X( Zf 1) 3引 工I 2, 3) SU % 4) 巩3 1) 工t力2) M 3弘 叼4)Ua lue 100.0000 120,0000 10 . OiOOO 30.00000 70.OOOOO 10 JD0000 10.ooooo 30,00000 140.OOOO 30 SOODOO so.OOO 290.OOOO 320,0000 Z3O.OOOO 2BO.0000 31O.OOOO 320.0000 26O.OOOO 300,0000 26口.OOOO 250,0000 220.0000.OOOO 10

26、0,0000-0000 30,00000 aoooo -0000 SO.IQDOOO 50.00000 0 . 000000 30.00000 .OODDOnPeduced Cost . OOOOO D.OOOOOO ,000000 .OOOOO ,oooooo .ooooo ,oooooo .ooooo ,oooooo , ODOCiaO .oooooo ,oooooo .oooon ,oooooo .ooooo ,oooooo .ooooo ,oooooo .ooooo ,oooooo .ooooo .ooooo .ooo 2n.oooan ,000000 4n口口n20OOOOO ,00

27、000 ,ccoaoo 10,00000 ,000000 ,00000 20.00000 D.DODODO a,0000004.(验证)货机装运(LP) p98100模型：决策变量：用xij表示第i种货物装入第j个货舱的重量(t ),货舱j=1,2,3分 别表示前仓、中仓和后仓。已知参数：货舱j的质量限制 WETj,体积限制VOLj；第i种货物的质量wi, 单位质量的体积v,利润Pio用行向量表小WET = ( 10, 16, 8 )VOL = (6800, 8700, 5300 )w = ( 18,15, 23, 12 )v = ( 480, 650, 580, 390 )p = (3100

28、, 3800, 3500, 2850 )决策目标是最大化总利润，即17444、max z = Pi x-V ）约束条件包括以下4个方面：1）供装载的四种货物的总重量约束，即3、Xj MW, i =1,2,3,4j I2）三个货舱的重量限制，即4“ Xij WETj, j =1,2,3i 13）三个货舱的空间限制，即4、M% WETfl);a for(c;ing(j): it siun(wu(i):Ar(i)*x(ij)- A OL(j):/rfoi(c；nig(j):foiXcang0c|k#GT#j: !=GT#Jk 大于的含义； $um(wu(i) :x(i JJAVE T (fy=sum

29、(wii(i) :x(i,k)/WET(k);)；end要求： 输入模型（见99）并求解模型。对照教材p100的结果。阅读LINGO软件及应用.doc和LINGO求解优化问题.docc19给出模型求解报告（比较100）:y Solution Report - p99匚后HGlobal optical solution Objective value: Inf easifcii litles:Total soIver iterationsfound.121515.6 .222O446E-15 ie八ModelTitle:货机装运（最大值问题）VariableWET( 1)ET( 2)IET( 3

30、) 0L( 1) 0L( 2)V0L( 3)1( liW( 4)V( 1) ( 2)V( 3)V( 4)P( 1)P( 2)P( 3)F( 4)X( 1, 1)1, 2)K( 1, 3)X( 2t 1)X( 2, 2)X( 2.3)X( 3, 1)X( 3, 2)X( t 3)X( 4, 1)X( L 2)XC % 3)Value10. 00000 16. 00000 8.000000 6800.000 8700.ODO 5300.00018. OOODO 15. 0000023.00000 12, 0D0D0 480.0000 650.0000 680.0000 39D.OODO 3100.

31、000 3800.000 3500.000 2850.000 0.000000 0. 000000 0.000000 7.OOOOQO 0.000000 8,000000 3.00000012, 94737 口, 000000 0.000000 3.052532 0. 000000Reduced Cost 0. 000000 0,000000 0.000000 0.ODODOO 0. 000000 0.000000 0.000000 0.000000 0. 000000 0. 000000 0 . 000000 0. 000000 0.000000 0. 000000 0.000000 0,0

32、00000 0.0000000. 00000040 0-0000 57.89474 40 0.0000 0.000000 239.4737 0. 000000 0.000000 0. 000000 0.000000 650.0000 0. 000000 650.0000V附：输入的模型。model:TITLE货机装运（最大值问题）；!文件名：p99.lg4;!定义集合及变量； setscang/1.3/:WET,VOL; !cang/1.3底示类型：有3个元素的一维数组，定义了 两个变量；wu/1.4/:w,v,p;link（wu,cang）:x;!link（wu,cang）表示类型：有 4

33、行 3 列的二维数组；20endsets!对已知变量赋值;data:WET=10,16,8; VOL=6800,8700,5300;w=18,15,23,12; v=480,650,580,390;p=3100,3800,3500,2850;enddatamax=sum(wu(i):p(i)* sum(cang(j):x(i,j);for(wu(i):sum(cangO):x(i,j)w(i);for(cang(j):sum(wu(i):x(i,j)WET(j);for(cang(j):sum(wu(i):v(i)*x(i,j)VOL(j);for(cang(j):for(cang(k)|k#

34、GT#j: !#GT#是大于的含义;sum(wu(i):x(i,j)/WET(j)= sum(wu(i):x(i,k)/WET(k););end21附1:实验提示LINGO语法：基本语法.程序以“model号始，最后以“endg束（两者均可省略）；. TITLE为标题注释，！为一般注释；.字母不区分大小写；.每条语句必须以分号”;结束（英文分号）；.默认决策变量均为非负；. 洲 =、=形式输入，它们与 、等效；.乘号*不能省略；.输入模型中第1行为目标函数，milk、time、cpct盟对各约束条件命名， 便于从输出结果中查找相应信息（缺省时，LINGO自动用数字按顺序对约束 条件命名）；.

35、LINGO模型文件一般以LG4为后缀名。22附2:第4章数学规划模型（一） 854.1奶制品的生产与销售第 T量_ _数学规划模型在上一章中我们看到，建立优化模型要确定优化的目标和寻求的决策.用工 表示决策变量（#）表示目标函数.实际问题一般对决策变量卡的取值范围有限 制，不妨记作X e 称为可行域.优化问题的数学模型可表示为min（或 max）f（x），工 w。在第3章/通常是1维或2维变量，n通常是1维或2维的非负域.实际中的优化问题通常有多个决策变暴，用虐雄向景一（O,宝，.） 表示，目标函数/（工）是多元函数，可行域门比较复杂，常用一组不等式（也可以 有等式）鼠（父）三0仆=1,2,，

36、切）来界定，称为约束条件.一般地，这类模型可表 述成如下形式min z =J（x）与，匚旦（工）毛0, = 1 ,2 ,m 这里的s,匕（mubjst W ）是受约束于的意思.威然，上述模型属于多元函数的条件极值问题的范围,然而许多实际问题归 结出的这种形式的优化模型，其决策变量个数n和约束条件个数穆一般较大， 并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不能简单地用微分法求解，数学 规划是解决这类问题的有效方法.需要指出的是，本章无意涉及数学规划（或运筹学）的具体计算方法，仍然 着重于从数学建模的角度，介绍如何建立若干实际优化问题的模型,并且在用现 成的数学软件求解后，对结果作一些分析4.1奶

37、制品的生产与销售企业内部的生产计划有各种不同的情况.从空间层次看，在工厂级要根据外 部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品的生产计划， 在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成 本为目标制订生产作业计划.从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部 资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划，2386 例1加工奶制品的生产计划本节选择几个单阶段生产计划的实例，说明如何建立这类问题的数学规划 模型，利用软件求解并对输出结果作一些分析.例1 加工奶制品的生产计划问题 一奶制品加工厂用牛奶生产AltA.两种奶制品/桶牛奶可

38、以在甲 类设备上用12 h加工成3 kg 或者在乙类设备上用8 h加工成4 kg A史.根据 市场需求，生产的AIfA2全部能售出.且每千克%获利24元，每千克A获利 16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应.每天正式工人总的劳动时间为 480 h,并且甲类设备每天至多能加工100 kg A，乙类设备的加工能力没有限制. 试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加 问题：1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资,每天最多购买 多少桶牛奶？2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小 时几元？3）由于市场需求变化,每千克%的获利增加

39、到30元,应否改变生产计划？ 问题分析这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要做的决策是生产 计划，即每天用多少桶牛奶生产A-用多少桶牛奶生产A,（也可以是每天生产 多少千克儿,多少，千克A.,决策受到3个条件的限制：原料（牛奶）供应、劳动 时间、甲类设备的加工能力.按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用 数学符号及式子表示出来，就可得到下面的模型.基本模型决策变:设每天用O桶牛奶生产A一用物桶牛奶生产冬.目标函数；设每天获利为片元.与桶牛奶可生产3盯kg A3获利24x3%,均 桶牛奶可生产4町kg A工，获利16 x4/，故”72。+64、约束条件：原料供应 生产A1,A）的原料（

40、牛奶）总量不得超过每天的供应，即 町十fW50 ：劳动时间 生产A, .A：的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时 间，即 12% +8巧 W480；设备能力 A、的产星不得超过甲类设备每天的加工能力,即3%宅100；非负约束 看,盯均不能为负值，即孙N0,3三0.练上可得 TOC o 1-5 h z max z = 72x1 + 64典（1 ）s t. + x2 W50（ 2）12勺+8与 480（3）24(4)这就是该问题的基本模型,由于目标函数和约束条件对于决策变域而言都是线 性的，所以称为线性裁划（Linear Programming,简记作LP）.模型分析与假设从本章下面的实例可

41、以看到，许多实际的优化问题的数学模型都是线性规 划（特别是在像生产计划这样的经济管理领域），这不是偶然的.让我们分析一 下线性规划具有哪些特征，或者说，实际问题具有什么性质，其模型才是线性 规划.比例性每个决策变量对目标函数的贡献与该决策变量的取值成正 比#每个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与该决策变量的取值成 正比.可加性各个决策变量对目标函数的“贡献”，与其他决策变最的取值无 关;各个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与其他决策变量的取值 无关.连续性 每个块策变量的取值是连续的.比例性和可加性保证了目标函数和约束条件对于决策变量的线性性，连续 性则允许得到决策变量的实数最

42、优解.对于本例，能建立上面的线性规划模型，实际上是事先作了如下的假设：L A,AZ两种奶制品每千克的获利是与它们各自产量无关的常数.每桶牛 奶加工出AttA3的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数：AtA2每千克的获利是与它们相互间产量无关的常数，每插牛奶加工出 A, ,A7的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；3,加工A一储的牛奶的桶数可以是任意实数.这3条假设恰好保证了上面的3条性质.当然，在现实生活中这些假设只是 近似成立的，比如，AAa的产量很大时，自然会使它们每千克的获利有所减少由于这些假设对于书中给新的、经过简化的实际问题是如此明显地成立，本 章下面的例题就不再列

43、出类似的假设了 .不过，读者在打算用线性规划模型 解决现实生活中的实际问题时，应该考虑上面3条性质是否近似地满足模型求解图解法 这个线性规划模型的决策变陆为2维，用图解法既简单，又便于直 观地把握线性规划的基本性质.将约束条件（2）、（5）中的不等号改为等号，可知它们是孙。巧平面上的5 条直线，依次记为5 人,如图1.其中LAtL,分别是孙轴和如轴，并且不难判 断，（2） （5）式界定的可行域是5条直线上的线段所围成的5边形OABCD.容25易算出，5 个顶点的坐标为：。（0,。）工（0,50） ,E（2O,3O） , C（ 100/3, 10）, D（100/3,0）.-目标函数（1）中的工

44、取不同数值时，在图1中表示一组平行直线（虚线），称 等值线族.如工工0是过。点的直线， 芸二2 400是过。点的直线，工=3 040是过 C点的直线，可以看出，当这族平行 线向右上方移动到过B点时力=3 360, 达到最大值，所以R点的坐标（2。，30） 即为最优解法=20,2=30.我们直观地看到，由于目标函数和约束条件都是线性函数，在2维情形，可行、域为直线段围成的凸多边形，目标函数的 等值线为直线，于是最优解一定在凸多边形的某个顶点取得,图I模型的图解法推广到维情形，可以猜想，最优解会在约束条件所界定的一个凸多面体 （可行域）的某个顶点取得.线性规划的理论告诉我们，这个猜想是正确的：软件

45、实现 求解线性规划有不少现成的数学软件，比如用LINGO软件就可 以很方便地实现.在LINGO下新建一个模型文件（即LINGO程序，一般以 “LG4”为后缀名）,像书写模型（1）（5）一样,直接输入；mode 1：max = 72 * xl + 64 * x2 ;milk xl + x2 50 ；t ime 12 * xl + 8 * x2 480 ；cpct S * xl =”形式输入，它们与“父” J等效输入模型中第1行 为目标函数milk、 time、 cpct是为F对各约束条件命名，便于从输出结果 中查找相应信息（也可以不对约束命名，此时LING。会自动用数字按顺序对约 束条件命名）.

46、将文件存储并命名后，选择菜单“UNCOISolv/执行，即可得到如下输出：Global optimal solution found,Objective value：3360.0。882689结果分析Total solver iterations：VariableValue Reduced Cost20,000000.00000030,000000.000000Row Slack or SurplusDual Price1.00000048.000002.0000000.00000013360.000MILK0.000000TIME0.000000CPCT40,00000上面结果的前3行告诉我

47、们，LINGO求出了模型的全局最优解（Global optimal solution），最优值为3 360（即最大利润为3 360元），迭代次数为2 次,接下来的3行告诉我们，这个线性规划的最优解为为=20. =30（即用20 桶牛奶生产Ai ,30桶牛奶生产Ad 对其中“Reduced Cost”的含义，将在例2 中结合问题3）的讨论进行说明.结果分析上面的输出中除了告诉我们问题的最优解和最优值以外，还有许多对分析 结果有用的信息，下面结合题目中提出的3个附加问题，并利用图解法的直观给 予说明.（1） 3个约束条件的右端不妨看作3种资源原料、劳动时间、甲类设备 的加工能力.输出第8 -11行

48、Slack or Surplu区给出这3种资源在最优解下是否 有剩余：原料MILK,劳动时间TIME的剩余均为。,甲类设备CPCT尚余 40 kg加工能力.这与图解法的如下结果一致：最优解在B点（图1中约束条件 2,3所定义的直线。和L2的交点）取得，表明原料、劳动时间已用完，而甲类设 备的能力有余,一般称“资源”剩余为。的约束为紧约束（有效约束）,（2）目标函数可以看作“效益”，成为紧约束的“资源”一旦增加效益”必 然跟着增长,输出第8 -11行Dual Prices给出这3种资源在最优解下“资源”增 加1个单位时“效益”的增量：原料MILK增加1个单位（1桶牛奶）时利润增长 48元，劳动时

49、间TIME增加I个单位（1 h）时利润增长2元，而增加非紧约束 CPCT甲类设备的能力显然不会使利润增长.这里，“效益”的增量可以看作 “贷源”的潜在价值，经济学上称为影子价格，即1桶牛奶的影子价格为48元, 1 h劳动的影子价格为2元，甲类设备的影子价格为0.读者可以用直接求解的办法验证上面的结论，即将输入文件中原料约束 MILK右端的50改为51，看看得到的最优值（利润）是否恰好增长48元，用影子价格的概念很容易回答附加问题1）:用35元可以买到1桶牛奶，低 于1桶牛奶的影子价格，当然应该做这项投资.类似地，可以回答附加问题2）：27聘用临时工人以增加劳动时间，付给的工资低于劳动时间的影子

50、价格才可以增 加利润，所以工资最多是每小时2.元.（3）目标函数的系数发生变化时（假定约束条件不变），最优解和最优值会 改变吗？这个问题不能简单地回答.从图1看，目标函数的系数决定了等值线族 的斜率，原题中该斜率（取绝对值，下同）为72/64 =9/8,介于直线L1的斜率1 与的斜率3/2之间,最优解自然在Lx和L2的交点B取得.并且只要目标函 数系数的变化使得等值线族的斜率仍然在（1 .3/2）范圉内，这个最优解就不会 改变.而当目标函数系数的变化使得等值线族的斜率小于1时，最优解将在4点 取得，大于3/2时，最优解将在C点取得.这种对目标函数系数变化的影响的讨论，通常称为对目标函数系数的敏

51、感 性分析.LINGO在缺省设置中不会给出这种敏感性分析结果，但可以通过修改 LINGO选项得到.具体作法是：选择LINGO I Options”菜单，在弹出的选项卡中 选择“ General Solvbi然后找到选项“ Dual CompiitalionSH，在下拉框中选中 Prices & Ranges,应用或保存设置.重新运行“ LINGO I Solve,然后选择“ LINGO I菜单，则得到如下输出:Ranges in which the basis is unchanged：Objective CoefficientVariableXIX2CurrentCoefficient72.

52、0000064.00000AllowableIncrease24.000008.000000RangesAllowableDecrease 8.000000 16.00000Righthand Side RangesRow CurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecreaseMILK50.00000TIME480,0000CPCT100.000010.0000053,33333INFINITY6.66666780*0000040,00000上面输出的第2 6行“Current Coefticient（当前系数）对应的Allowable Increase*和A

53、llowable Decrease给出了最优解不变条件下目标函数系数的允许变化范围内的系数为（72 -8,72 +24）,即（64,96）；峋的系数为（64 - 16,64 + 8）,即（48,72）.注意色系数的允许范围需要看系数64不变，反之亦然.用这个结果很容易回答附加问题3）：若每千克A1的获利增加到30元，则 航系数变为30 *3 =90,在允许范围内，所以不应改变生产计划，（4）对-资源”的影子价格作进一步的分析.从图1看，随着原料（牛奶）的增加，直线/向右上方平移出 与4的交点次它仍是最优解）向A点靠近，在902891 例2奶制品的生产销售计划这个过程中，每增加I桶牛奶利润增长4

54、8元（影子彷格）.但是，当B点与八点 重合后再增加牛奶就不可能使利润增长了.这就是说，影子价格的作用（即在最 优解下“资源增加】个单位时“效益”的增量）是有限制的.这种对影子价格在 什么条件下才有意义的讨论，通常称为对资源约束右端项的敏感性分析.上面输 出的第712行“Current RH5（当前右端项）对应的Allowable IncreaW 和AL lowable Decrmse”给出了影子价格有意义条件下约束右端项的限制范围：原料 MILK最多增加10桶牛奶，劳动时间TIME最多增加53.3民现在可以回答附加问题1）的第2问：虽然应该批准用35元买1桶牛奶的 投资，但每天最多购买1。桶牛

55、奶,类似地,可以用低于2元/h的工贸聘用临时 工人以增加劳动时间.但最多增加53. 3 h*需要注意的是：一般情况下LINGO给出的敏感性分析结果只是充分条件, 如上述“最多增加10桶牛奶”应理解为“增加10桶牛奶”一定是有利可图的，但 并不意味着“增加10桶以上的牛奶”一定不是有利可图的（对最大可增加的劳 动时间也应该类似地理解），只是此时无法通过敏感性分析直接得到结论，而需 要看新求解新的模型进行判断.以后我们对此不再特别进行说明（同样，对目标 函数系数给出的敏感性分析结果也只是充分条件）.评注本例在产品利润、加工时间等参数均可设为常数的情况下,建立了线 性规划模型.线性规划模型的三要素是

56、：决策变量、目标函数和约束条件.线性规 划模型可以方便地用LINGO软件求解，得到内容丰富的输出，而且利用其中的 影子价格和敏感性分析，可对模型结果作进一步的研究，它们对实际问题常常是 十分有益的.例2 奶制品的生产销售计划问题 例I给出的A、，A3两种奶制品的生产条件,利润及工厂的“资源”限 制全都不变,为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术；用2 h和3元加 工费，可将1 kg Z加工成0.8 kg高级奶制品，也可将1 kg A.加工成6 75 kg 高级奶制品B,每千克瓦能获利44元，每千克能获利32元.试为该厂制订 一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论以下问题：（1）若投资

57、30元可以增加供应1桶牛奶，投资3元可以增加1 h劳动时间， 应否作这些投资？若每天投资150元,可赚回多少？（2）每千克高级奶制品B1 ,B1的获利经常有10%的波动，对制订的生产销 售计划有无影响？若每千克用的获利下降10%,计划应该变化吗？（3）若公司已经签订了每天销售10 kg的合同并且必须满足，该合同对公 司的利润有什么影响？何题分析要求制订生产销售计划,决策变量可以像例门那样，取作每天用 多少桶牛奶生产A1,A1再添上用多少千克A,加工瓦，用多少千克A工加工B?,2992题2(1)答案但是由于问题要分析b(1b3的获利对生产销售计划的影响，所以决策变量取作 每天的销售量更方便.目标

58、函数是工厂每天的净利润b,.b3的获利之和扣除深加工费用.约束条件基本不变，只是要添上A1tA2深加 工时间的约束.在与例1类似的假定下用线性规划模型解决这个问题.基本模型决策变:设每天销售.kg Aj/2 kg Aa.x, kg Bl kg 用灼kg A(加工B) kg A?加工B式增设%也可使下面的模型简单).目标函数：设每天净利涧为3容易写出z =24/ + 16% +44% +32% -3xs - 3x6,约束条件：原料供应 每天生产A,+/kg,用牛奶(孙+x5)/3桶，每天生产Ag +见网,用牛奶(的+打)/4桶，二者之和不得超过每天的供应量50桶；劳动时间 每天生产A-A?的时间

59、分别为4(如+0)和2(知+&),加工BltB2的时间分别为2%和2人，二者之和不得超过总的劳动时间480 h；设备能力 A1的产量3+%不得超过甲类设备每天的加工能力100 kg；非负约束 孙，3，,x6均为非负.附加约束 】kg A,加工成0.8381,故事=08%,类似地处=0.75驾.由此得基本模型： TOC o 1-5 h z max z = 24/ + 16/ + 44/ + 324 - 3xs -3q(6)s. t. + ； W50(7)344(孙 +如)+2(% +/)+2%+2*6 =30；xll + x21 + x31 =70;xl2 + x22 +x32 = 10 ；xl

60、3 + x23 + x33 =10;xl4 + x24 作这样的简化后得到的解没有任何9735例2货机装运变化.评注 本题考虑的是将某种物质从若干供应点运往一些需求点，在供需量 约束条件下使总费用最小或总利润最大.这类问题一般称为运输问建，是线性规 划应用最广泛的领域之一.在标准的运输问题中，供需量通常是平衡的，即供应 点的总供应曷等于需求点的总需求最.本题中供需量不平衡，但这并不会引起本 质的区别，同样可以方便地建立线性规划模型求解.例2货机装运问匣 某架货机有三个货舱：前仓、中仓、后仓.三个货舱所能装载的货物的 最大质量和体积都有限制，如表3所示.并且为了保持机的平衡，三个货舱中 实际装载