高中数学数学归纳法的应用检测试题（附答案）

1、高中数学数学归纳法的应用检测试题附答案题目高中数学复习专题讲座数学归纳法的解题应用高考要求数学归纳法是高考考察的重点内容之一类比与猜测是应用数学归纳法所表达的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法重难点归纳1数学归纳法的根本形式设Pn是关于自然数n的命题，假设1Pn0成立奠基2假设Pk成立kn0，可以推出Pk+1成立归纳，那么Pn对一切大于等于n0的自然数n都成立2数学归纳法的应用详细常用数学归纳法证明恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等典型题例示范讲解例1试证明不管正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n1,nN*且a、b、c互不相等时，均

2、有an+cn2bn命题意图此题主要考察数学归纳法证明不等式知识依托等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤错解分析应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况技巧与方法此题中使用到结论 akckac0恒成立a、b、c为正数，从而ak+1+ck+1akc+cka证明 1设a、b、c为等比数列，a= ,c=bqq0且q1an+cn= +bnqn=bn +qn2bn2设a、b、c为等差数列，那么2b=a+c猜测 nn2且nN*下面用数学归纳法证明当n=2时，由2a2+c2a+c2，设n=k时成立，即那么当n=k+1时， ak+1+ck+1+ak+1+ck+1 ak+

3、1+ck+1+akc+cka= ak+cka+c k = k+1也就是说，等式对n=k+1也成立由知，an+cn2bn对一切自然数n均成立例2在数列an中，a1=1，当n2时，an,Sn,Sn 成等比数列1求a2,a3,a4，并推出an的表达式；2用数学归纳法证明所得的结论；3求数列an所有项的和命题意图此题考察了数列、数学归纳法、数列极限等根底知识知识依托等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤采用的方法是归纳、猜测、证明错解分析 2中，Sk= 应舍去，这一点往往容易被无视技巧与方法求通项可证明 是以 为首项， 为公差的等差数列，进而求得通项公式解an,Sn,Sn 成等比数列，Sn2=anSn

4、n *1由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入*式得:a2=由a1=1，a2= ,S3= +a3代入*式得a3=同理可得a4= ,由此可推出an=2当n=1,2,3,4时，由*知猜测成立假设n=kk2时，ak= 成立故Sk2= Sk 2k32k1Sk2+2Sk1=0Sk= 舍由Sk+12=ak+1Sk+1 ,得Sk+ak+12=ak+1ak+1+Sk 由知，an= 对一切nN成立3由2得数列前n项和Sn= ,S= Sn=0例3是否存在a、b、c使得等式122+232+nn+12= an2+bn+c解假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有于是，对n=1,2,3下面等式

5、成立122+232+nn+12=记Sn=122+232+nn+12设n=k时上式成立，即Sk= 3k2+11k+10那么Sk+1=Sk+k+1k+22= k+23k+5+k+1k+22= 3k2+5k+12k+24= 3k+12+11k+1+10也就是说，等式对n=k+1也成立综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立学生稳固练习1fn=2n+73n+9,存在自然数m,使得对任意nN,都能使m整除fn，那么最大的m的值为 A30 B26 C36 D62用数学归纳法证明3k3,nN第一步应验证 An=1 Bn=2 C n=3 Dn=43观察以下式子 那么可归纳出_4a1=

6、 ,an+1= ,那么a2,a3,a4,a5的值分别为_，由此猜测an=_5用数学归纳法证明4 +3n+2能被13整除，其中nN*6假设n为大于1的自然数，求证7数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=1451求数列bn的通项公式bn;2设数列an的通项an=loga1+ 其中a0且a1记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与 logabn+1的大小，并证明你的结论8设实数q满足|q|1,数列an满足a1=2,a20,anan+1=qn,求an表达式，又假如 S2n3,求q的取值范围参考答案1解析f1=36,f2=108=336,f3=360=1036f1,f2,f3能被36整除，猜

7、测fn能被36整除证明n=1,2时，由上得证，设n=kk2时，fk=2k+73k+9能被36整除，那么n=k+1时，fk+1fk=2k+93k+1?2k+73k=6k+273k2k+73k=4k+203k=36k+53k2?k2fk+1能被36整除f1不能被大于36的数整除，所求最大的m值等于36答案C2解析由题意知n3，应验证n=3答案C3解析nN*nN*5证明 1当n=1时，421+1+31+2=91能被13整除2假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，那么当n=k+1时，42k+1+1+3k+3=42k+142+3k+2342k+13+42k+13=42k+113+342k+1

8、+3k+2?42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除当n=k+1时也成立由知，当nN*时，42n+1+3n+2能被13整除6证明 1当n=2时，2假设当n=k时成立，即7 1解设数列bn的公差为d,由题意得 ,bn=3n22证明由bn=3n2知Sn=loga1+1+loga1+ +loga1+ =loga1+11+ 1+ 而 logabn+1=loga ,于是，比较Sn与 logabn+1?的大小比较1+11+ 1+ 与 的大小取n=1，有1+1=取n=2，有1+11+推测 1+11+ 1+ *当n=1时，已验证*式成立假设n=kk1时*式成立，即1+11+ 1+ 那么当n

9、=k+1时，即当n=k+1时，*式成立由知，*式对任意正整数n都成立于是，当a1时，Sn logabn+1?,当 0a1时，Sn logabn+1?8 解a1a2=q,a1=2,a20,q0,a2= ,anan+1=qn,an+1an+2=qn+1?两式相除，得 ,即an+2=qan于是，a1=2,a3=2q,a5=2qn猜测a2n+1= qnn=1,2,3,综合，猜测通项公式为an=下证1当n=1,2时猜测成立2设n=2k1时，a2k1=2qk1那么n=2k+1时，由于a2k+1=qa2k1?a2k+1=2qk即n=2k1成立可推知n=2k+1也成立设n=2k时，a2k= qk,那么n=2k

10、+2时，由于a2k+2=qa2k?,所以a2k+2= qk+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立综上所述，对一切自然数n,猜测都成立这样所求通项公式为an=S2n=a1+a3+a2n1+a2+a4+a2n=21+q+q2+qn-1? q+q2+qn由于|q|1, =依题意知 3,死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生才能开展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为进步学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背与进步学生素质并不矛盾。相反,它恰是进步学生语文程度的重要前提和根底。观察内容的选择

11、，我本着先静后动，由近及远的原那么，有目的、有方案的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进展观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。我加以肯定说“这是乌云滚滚。当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗读自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿