自动控制原理-(4)课件

1、第四章 根轨迹法第一节 前 言第二节 根轨迹的基本概念第三节 根轨迹绘制的基本法则第四节 根轨迹草图绘制举例第五节 参量根轨迹 第六节 增加极点或零点对根轨迹的影响 第七节 设计实例 闭环系统的特征根与其运动特性是紧密相关的，如果我们能够确定闭环系统的特征根，那么就可以掌握瞬态响应的基本特征。 然而，在没有计算机之前，求解高次代数方程是很困难的. 为了解决这个问题，1948年伊文斯（W.R.Evans）提出了根轨迹。 所谓根轨迹是指当系统中某一参数的数值从零至无穷大变化时，闭环系统特征方程的根在根平面上所描绘的曲线。 应用这些曲线可以分析不同参数情况下的系统过渡过程特征，以及进一步指出改善系统

2、过渡过程品质的方向。 应用根轨迹曲线研究系统运动特性的方法，称为根轨迹法。 在根轨迹法中，最常用的变化参数是系统开环增益K或与之成比例的所谓根轨迹增益K*。有时也取其他参数为变化参数，但用的不多，所以以后不特别指明，变化参数均为K或K*。 用根轨迹法不但可以进行系统分析，而且可以进行系统设计，它是经典控制理论的基本方法之一。 本章主要介绍根轨迹的基本概念、作图方法，并通过例题给出用根轨迹分析系统的方法。 根轨迹定义：当系统中某一参数的数值从零至无穷大变化时，闭环系统特征方程的根在平面上所描绘的曲线。 根轨迹法定义：应用根轨迹曲线研究系统运动特性的方法，称为根轨迹法。 本章重点：本章主要介绍根轨

3、迹的基本概念、作图方法、并通过例题给出用根轨迹分析系统的方法。41 根轨迹的基本概念一、 二阶系统的根轨迹 我们先举一个例子来说明根轨迹例41 若二阶系统的结构图如图41所示，试绘 制其根轨迹曲线。解：根据图41得系统闭环传递函数为式中闭环系统特征方程为解方程(4-1)得对(4-2)式取不同的 值，得对应 的数值列表4-1。根据表41绘出系统的根轨迹曲线示于图42。 分析：由根轨迹曲线可以看出 ：当K1时，闭环系统的特征根为具有负实部的共轭复数。表 4-1 例 4-1 中 与 的对应值 二、辐角条件和幅值条件 高阶系统特征方程的求解遇到困难时，其根轨迹的画法就不能和上述二阶系统一样先求出闭环系

4、统的特征根；如果易于求解，根轨迹就失去了意义。 事实上，高阶系统的根轨迹是用图解法绘制的。 下面将重点介绍绘制根轨迹的基础辐角条件和幅值条件。闭环传递函数为为系统开环传递函数，而闭环系统的特征方程为比较式两端的模和幅角，可得一般开环传递函数可写成称为根轨迹增益，它与系统开环增益 存在下述关系：式中 为开环系统零点， 为开环系统极点，由有则如果将积分环节视为 的特殊情况，则上式可写成令因为系统开环传递函数为p1p2p31230s1zj取s平面上任一点s1为实验点，画出由零点和极点至s1的矢量，并计算各矢量的模和辐角，如果下式成立，则s1是根轨迹上的一个点式中分别为开环系统零、极点至s1所画的各s

5、1的根轨迹增益由下式确定：矢量的辐角。 通过上例归纳出根据开环系统传递函数的零极点绘制根轨迹曲线的步骤如下：1）在s平面上找出所有满足辐角条件的点， 然后把这些点连接成光滑曲线，这些曲线就是K*由零变至无穷大时的根轨迹。2）应用辐值条件，对根轨迹上若干所关心 的点计算K*，并标在该点旁边，如果有必要还可求出相应的K值。分析： 由上面的步骤不难看出，按照这样的试探法绘制根轨迹曲线是很复杂的。所以，在一般情况下，先根据根轨迹的性质绘制草图，然后再对感兴趣的点计算出精确值。42 根轨迹的性质及草图绘制法则一、根轨迹的起点、终点和分支数 原则：根轨迹的起点是指当根轨迹增益 时的根 轨迹点，而终点是指

6、时的根轨迹点。 根轨迹起于开环传递函数的极点，终于开环传递函数的零点，根轨迹的分支数等于开环系统的极点数n与零点数m之大者。分析： 由根轨迹的幅值条件可知， 故有n条根轨迹起始于开环传递函数的极点；故有m条根轨迹终止于开环传递函数的零点。 在物理系统中，mn。当mn时，有n-m条根轨迹终止于无穷远处。的确，当s时， 如果把有限值零点称为有限零点，把无穷远处的零点称为无穷零点，则可以说所有的根轨迹均终止于零点。当变化参数为K时，nm；当变化参数不是K时，可能nm。因此，根轨迹的分支数等于m和n之大者。二、根轨迹的对称性 由于闭环系统特征方程的根只有实数和共轭复数两种，所以根轨迹必然对称于实轴。三

7、、实轴上的根轨迹原则：对于实轴上某一区域，如果在其右方的开环实数极点个数与开环实数零点之和等于奇数，则该区域是根轨迹。 请看下一页的图45。 由前页图可得出以下结论：1）开环共轭复数极点 和 至 的矢量辐角之和为 所以开环系统共轭复数极点对实轴上的根轨迹辐角条件式没有影响。同理，开环共轭复数零点 和 对实轴上的根轨迹辐角条件也没有影响。2）试验点 之左的开环实数极点 和实数零点 至 的矢量辐角均等于零，对实轴上根轨迹辐角条件没有影响。3）试验点 之右的开环实数极点 和实数零点 至 的矢量辐角均等于 。 由上面三点可知，在计算各矢量辐角时，只需计算在试验点之右的开环实数极点和实数零点至该试验点的

8、矢量辐角即可。若在实验点之右有A个实数极点和B个实数零点，在不计算开环复数零、极点和实验点之左零极点至实验点的矢量辐角时，则可写成对于图4-5的 点，A=1，B=2，A+B=2，所以 区间的实轴不是根轨迹。四、根轨迹的渐近线当 很大时，可近似为： 四、根轨迹的渐近线若 在 时，有 条根轨迹伸向无穷远处，并在无穷远处根轨迹趋近于渐近线，则渐近线与正实轴的交角为渐近线与实轴的交点为式中 为开环传递函数极点， 为开环传递函数零点。例 4-2 若开环系统传递函数为试画其实轴上的根轨迹和s时的渐近线。解1) 在图4-6上标出开环传递函数极点：在实轴上(-1,0)和(-,-2)区间之右的实数零极点数之和为

9、奇数，故这两个区间的实轴是根轨迹。本题n=3，m=0，故有三条根轨迹在K时伸向无穷远处，其渐近线与实轴的交点为渐近线与正实轴的交角为当k=0时，当k=1时，当k=-1时，p1p2p3j18060-60图 4 - 6五、根轨迹的分离点 当K*由零至无穷大变化过程中，几条根轨迹在s平面某一点相遇后立即分开，这一点称为分离点。 最常见的分离点出现在实轴上，实轴上的分离点由两种情况：实轴上的根轨迹相向运动，在某一点相遇后进入复数平面；五、根轨迹的分离点ii) 复数平面内的一对共轭复数根轨迹在实轴上相遇，然后趋向实轴上的零点。 不难看出，如果根轨迹在两相邻极点或两相邻零点之间至少有一个分离点。下面介绍分

10、离点的求法。方法一 分离点对应闭环特征方程的重根，可以此作为计算分离点的依据。若系统开环传递函数为式中P(s)和Q(s)为s的多项式函数，则其闭环特征方程为若s2是方程的二重根，则s2满足下面二式：而 次重根 应满足在此应指出，若按上式求出的所谓分离点处的K0，则此点不在根轨迹上，不是分离点。例 4-3 若开环传递函数为试求根轨迹的分离点，并绘制根轨迹草图。解 系统闭环特征方程为分离点应满足得整理得解方程得得分离点的K值j 方法二：设系统开环传递函数为 由系统闭环特征方程，得 求极值即可确定分离点（或会合点）的参数。若开环传递函数为 由 得 解之得 相应的增益为 方法三：分离点（或会合点）的坐

11、标可由方程 解出，其中 为开环极点， 为开环零点。分离角 分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。分离角为显然，当时，分离角必为直角。 六、根轨迹的起始角和终止角 为使所绘制的根轨迹草图有一定精度，还需要求出根轨迹在开环复数极点和零点附近的移动方向。起始角：根轨迹在开环复数极点处的切线与正实轴的夹角称为起始角 六、根轨迹的起始角和终止角 终止角 ：根轨迹在开环复数零点处的切线与正实轴的夹角称为终止角 。 试验点s1在十分靠近某开环复数极点或零点的地方移动时，由其他开环极点或零点指向s1的矢量幅角之和可认为保持不变。因此，根轨迹在开环复数极点的起始角和在开环零点处

12、的终止角可由辐角条件解出。起始角为终止角为式中 和 分别为待求的起始角和终止角， 和 为由其余开环零点和极点指向根轨迹终止的开环零点或起始的开环极点的矢量辐角。 起始角可表示为： 式中 分别表示矢量 与正实轴之间的夹角。终止角为 式中 和 分别为待求的起始角角， 和 为由其余开环零点和极点指向根轨迹终止的开环零点或起始的开环极点的矢量辐角。例 4-4 若开环系统的传递函数为试求根轨迹的起始角、终止角及根轨迹草图。解：1) 在图上标出开环传递函数的极点和零点，并画出由p3以外各零极点指向p3的矢量。2) 确定p3的起始角j124p3把上述指向p3的矢量辐角代入(4-45)式，得确定p4的起始角

13、由于根轨迹的对称性，所以p4的起始角为确定z2的终止角 图4-12示出除z2之外各开环零极点至z2的矢量辐角，根据图4-12可得j1234把上述各角度代入(4-46)式，得确定z3的终止角 同样，由于根轨迹的对称性，得z3的终止角为应用根轨迹性质及绘制法则画出的根轨迹草图示于图4-13请看下一页的图4-13。78.4-78.4149.6-149.6j 根轨迹曲线从左半s平面通过虚轴进入右半s平面以后，系统就变的不稳定了。 因此精确的确定根轨迹与虚轴的交点是非常之必要的，确定该交点最方便的方法是应用劳思稳定性判据来确定。七、根轨迹与虚轴的交点 方法一：应用劳思稳定性判据 当两条根轨迹对称原点交于

14、虚轴时，闭环系统将有一对纯虚根出现，此时劳思行列表的 行左端第一个数等于零，而行列表左端第一列其它数均大于零。因此，可以利用这一关系确定根轨迹与虚轴的交点。七、根轨迹与虚轴的交点 方法二：将 代入特征方程中得： 或 令 则可解出 值及对应的临界开环增益 及 来。例 4-5 若开环系统传递函数为试求系统根轨迹与虚轴的交点，并绘制全部根轨迹草图解 该系统的开环传递函数其闭环特征方程为即1) 列写劳思行列表2) 求根轨迹与虚轴的交点-1-2j八、根之和与根之积系统开环传递函数为1) 若满足nm+2，则八、根之和与根之积系统开环传递函数为2) 若开环传递函数在原点有极点，则式中 为系统开环传递函数零点

15、 为开环传递函数的极点 为该系统闭环传递函数的极点。证明 或写成因上面两个方程实为一个方程，所以有下面等式：其闭环特征方程为 若满足nm+2，则 和 项的系数与 和 无关，所以存在2) 若开环传递函数在原点有极点，则左端第二部分常数项为零，所以有或写成其闭环特征方程为若开环传递函数在原点有极点，则左端第二部分常数项为零，所以有分析：根之和表明，当 变化时，闭环特征方程根的重心 保持不变。也就是说，当系统满足nm+2时，闭环传递函数的极点之和与根轨迹增益无关，而且等于该系统开环传递函数极点之和；即随 的增大，若闭环特征方程的某些根在s平面上向左移动，其它根必向右移动，使其和保持不变。这一特性可以

16、估计根轨迹曲线的变化趋势，并可用这一关系式确定其中的某个未知闭环极点。表明：当开环系统含有积分环节时，闭环传递函数极点之积与开环传递函数极点无关，仅与开环零点及根轨迹增益 有关 。这一关系式也可以用来确定其中的未知量。 例 若开环系统传递函数为试确定根轨迹与虚轴相交时所对应的闭环实数根解方法一 由于该系统满足nm+2，有由例 4-5 可知，当根轨迹与虚轴相交时，由题设知所以有即返 回方法二 由于该系统含有积分环节，有4-3 根轨迹草图绘制举例为了熟悉根轨迹的性质及草图绘制法则，本节再举一些例题。例 4-7 若开环系统传递函数为试绘制其根轨迹草图解1) 在图(4-15)上标出开环传递函数的极点确

17、定根轨迹的分支数及渐近线 由于m=0，n=4，故有四条根轨迹，而且这四条根轨迹当 时趋向无穷远处。渐近线与实轴的交点为渐近线与实轴的交角为当k=0时，当k=1时，当k=2时，当k=3时，确定实轴上的根轨迹 由于在(-3,0)区间之右的开环实数零、极点数之和等于1，故实轴上(-3,0)区间是根轨迹。确定分离点 d可采用试探法求解，具体方法是假定一个d值，并把它代入式中，直到左端计算的数值与零之差小于给定的值为止。第一次试探 令d=-1.5，把d的数值代入得第二次试探 令d=-2.3，把d的数值代入得第三次试探 令d=-2.28，把d的数值代入得由上面计算出等式的符号相异可以判断，d的准确值在-2

18、.3与-2.28之间，最大误差小于0.02，今取d=-2.28。5) 求复数极点的起始角求 p3以外各极点指向p3的矢量图示于图可得s11=1352=26.64=90p3 = -71.6ii) 由于根轨迹的对称性可得确定根轨迹与虚轴的交点 闭环系统特征方程为其劳思行列表为令 和 得 把此 值代入 行，并以此行的数值为系数列写方程 解此方程得根据上面六步绘制的根轨迹草图示于图(4-15)。45-4571.6-71.6例 4-9 若开环传递函数为试画其根轨迹。解1) 在图(4-19)上标出开环系统极点2) 确定实轴上的根轨迹在(-4,0)区间之右仅有一个实数极点，故此区间实轴是根轨迹。3) 确定根

19、轨迹分支数及渐近线 由于n=4，m=0，故有4条根轨迹，且均在 时伸向无穷远处。其渐近线与实轴的交点为根轨迹与实轴的交角为当k=0时，当k=1时，当k=-1时，当k=-2时，4) 确定分离点 该闭环系统的特征多项式为根据(4-26)及(4-27)式，分离点应满足和由于G(s)H(s)的极点分布对称于(-2,j0)点，根据(4-48)式的根轨迹上的点重心不变原则，可判断s2=-2为一个分离点，即s=-2是方程的一个根。因此(4-58)式左端除以(s+2)可得另外的因子，于是(4-58)式可分解为由上式解出另外两个分离点为5) 求根轨迹与虚轴的交点 系统闭环特征方程为令 和 得 把此值代入 行，并

20、用此行个数构成方程解上面方程得根轨迹与虚轴的交点为 4-4 参量根轨迹在用根轨迹分析自动控制系统时，最常用的参变量是K*，但有时也取其它参数为变化参量，这时所绘制的根轨迹称为参量根轨迹。绘制参量根轨迹的方法: 首先写出系统的闭环特征方程然后对此方程进行变换，将其化成下面形式：式中 为根轨迹所使用的变化参量 为以s为自变量的函数，称为等效开环传递函数。这时，可以继续使用以K*为变化参量的根轨迹绘制法则。例 若反馈控制系统的结构图如图所示，试画以速度负反馈系数为参变量的根轨迹，并讨论速度负反馈对系统过渡过程的影响。解1) 求等效开环传递函数 闭环系统特征方程为上式通分，得因此上式除以多项式得式中

21、等效开环传递函数为2) 绘制以 为参变量的根轨迹) 在图(4-22)上标出等效开环传递函数的零极点) n=3，m=1，有三条根轨迹，其中一条当 时趋于零点z=0，其它二条趋于无穷远。III) 根轨迹的渐近线 渐近线与实轴的交点为渐近线与实轴的交角为当k=0时， 当k=-1时， IV) 实轴上的根轨迹 在(-5.4 , 0)区间之右仅有一个实数零点，故此区间实轴是根轨迹。V) 求复数极点p2和p3的起始角 指向的矢量辐角分别为 根据(4-45)式有由根轨迹的对称性，可得通过以上五步绘制的以 为参变量的根轨迹示于图(4-22)。由上述例题可以得出关于参量根轨迹的两条结论:I）参量根轨迹的绘制方法与

22、以K*为变化参量的根轨迹的绘制法则相同，关键在于求出等效开环传递函数。II）求等效开环传递函数的零、极点时，对于高于三阶以上的系统，要应用计算机。3) 速度负反馈对系统过渡过程的影响 由图(4-22)可知，当 时，原系统为三阶系统，闭环系统有一个负实数极点和一对共轭复数极点，实数极点与共轭复数极点至虚轴距离之比为5.4/0.3=18，所以它是一个以p2和p3为主导极点的等效二阶系统，当 增大时，即速度负反馈增大时，共轭复数极点左移， 增大， 增大；同时实数极点右移。这样会使系统单位阶跃响应的超调量 下降和调节时间ts 缩短。当 =7.75时，共轭复数极点与实数极点距离轴的距离相等，超调量 会下降的很小，同时调节时间ts 也会很小。当继续增大 时，即继续增大速度负反馈时，实数极点距虚轴的距离比复数极点近，系统具有一阶系统的特征，超调量 =0，且随 增大，ts 增大；当 时，实数极点接近坐标原点，此时系统反应很迟钝，ts 很大。 返 回 4.6 增加极点或零点对根轨迹的影响根轨迹直接与开环传递函数的极点和零点有关，所以增加一个开环极点或增加一个开环零点必然会使根轨迹移动，从而使闭环极点位置发生变化。用根轨迹方法对系统进行校正实质： 为校正装置传递函数选择合适的极点和零点，以