《水力学》(课件)讲稿6

1、第六章 量纲分析与相似原理 第六章 量纲分析与相似原理 在水力学研究过程中，无论是试验结果的整理，还是对数值计算和理论分析方法的验证与修正，往往都离不开对各物理量的量纲的分析。量纲分析能把那些控制液体现象及其运动规律的参量组织起来，建立它们之间的恰当的关系。对于比较复杂的流动问题，直接求解基本方程在数学上是极其困难的，因此实际工程中，往往采用模型试验的方法加以解决。液体的相似性原理对模型试验进行指导，以减少其局限性和盲目性，使得试验结果能够应用到实际工程中。 本章将首先讨论如何应用量纲分析，在液体现象观测的基础上，建立起液体各影响因素之间的正确关系；其次将从液体相似性原理出发，在建立各种主要力

2、的相似条件的基础上，得到所应遵从的各种相似性准则和对应的比尺关系。具体来说：物理方程的量纲一致性原理， 定理与量纲分析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相似准则数、相似原理与模型实验。第一节 量纲、单位和无量纲数 一、物理量的量纲和单位 在水力学中，经常遇到的物理量有长度、时间、速度、质量、粘度、密度和力等等。根据物理量的性质不同而划分的各种类别，就是通常所说的物理量的量纲(或因次、尺度)；量度各种物理量数值大小的标准，就是单位。因此量纲是物理量“质”的表征，而单位却是物理量“量”的量度。通常量纲用物理量加方括号 来表示。例如长度L的量纲为L，时间T的量纲为T，质量m的量纲为M，速

3、度U的量纲为U，力F的量纲为F等等。 物理量的量纲可分为基本量纲和导出量纲两大类。所谓基本量纲是指用它们可以表示其余物理量的量纲，但它们本身却是彼此独立而不能相互代替的这样一组物理量的量纲。由这些基本量纲所导出的那些物理量的量纲，就被称为导出量纲或诱导量纲。力学中国际单位制(SI)规定，以长度L，对应的单位为米(m)；时间T，对应的单位为秒(s)；以及质量M，对应的单位为千克(kg)，为基本量纲。如密度 的量纲 就可由基本量纲L、M直接导出，故 就是一个导出量纲或诱导量纲。还有速度v=LT-1、力F=MLT-2、压强p=ML-1T-2等。如表6-1 在水力学中通常遇到三方面的物理量：表征液体的

4、几何形状的量，如长度L，面积A，体积V等，统称为几何学量；表征液体运动状况的量，如速度u，加速度a，流量Q，运动粘度等，统称为运动学量；表征液体运动动力特性的量，如质量m，力F，密度 ，动力粘度，切应力 ，压强 p 等，统称为动力学量。 需要指出的是，基本量纲的选取并不是唯一的，只要在几何学量、运动学量和动力学量中任意各取一个都可以组成一组基本量纲。在工程界，曾有用LTF为基本量纲，导出其他诱导量纲，如质量M。简称LTF制，现已被取代 二、有量纲量和无量纲数水力学中物理量的量纲一般都可用L、T、M这一组基本量纲的组合来表示 (6-1)式中各基本量纲的指数 的数值由该物理量的性质来决定。习惯上公

5、式(6-1)称为量纲表达式，只要指数 、 、 中至少有一个不为0时，即称该物理量为有量纲量。若 ，则称此物理量 X 为无量纲量或无量纲数，即此时物理量 X 的单位与基本单位 (L，T，M) 的选择无关，为纯粹的数，称为纯数，具有数值的特性。 总的来说，根据指数 的数值的不同情况，该量纲表达式(6-1)可以表示不同性质的物理量：若 ，该物理量为几何学量；如L、A、V若 ，该物理量为运动学量；如u、a、Q、若 ，该物理量为动力学量；如m、p、 、 、若 ，称此物理量X为无量纲量或无量纲数。如Re、J 三、 量纲一致性原理液体的任何运动的规律，都可以用一定的物理关系式来描述。这种物理关系式(也包括正

6、确的经验关系式)，不论其形式上的变化是什么样的，各项的量纲必须是一致的，这就是量纲一致性原理，也叫量纲齐次性原理或量纲和谐原理。量纲相同的量才能相加减；同一个方程的量纲是和谐的。如、运动方程、伯努利方程z=L，p/=ML-1T-2/ML-2T-2=L，u2/2g= L2T-2/L1T-2 =L ，方程右端常数项的量纲为L 有一些经验公式，量纲是不和谐的。应用时要注意 由于实际液体运动的复杂性，有时候通过试验或现场观测可以得出影响液体运动的若干因素，却难以得到这些因素之间的函数关系式。在这种情况下，就可利用量纲分析法，快速得出连接诸因素之间的正确结构形式或经验方程，这是量纲分析法最显著的特点和优

7、点。量纲分析法有两种：一种是适用于较简单问题的方法称为瑞利(L.Raylei gh)法；另一种是带有普遍性的方法，称为定理。这两种方法都是以量纲和谐原理为基础的。 第二节 量纲分析法一、瑞利法根据试验或现场观测，我们一般可以写出以下的表达式：其中 为被决定的物理量， 为影响因素， 为无量纲系数，通过试验确定； 为待定系数。瑞利法通过直接应用量纲和谐原理建立物理方程式通过对方程式进行求解而得到各待定系数的值，从而得到各物理量之间的函数关系式。其基本步骤通过下面的实例进行说明。 ，例6-2由试验观察得知，矩形量水堰的过堰流量 与堰上水头 ，堰宽 ，重力加速度 等物理量之间存在着以下关系 式中比例系

8、数K为一纯数，试用量纲分析法确定堰流流量公式的结构形式。解：由己知关系式，方程两边应满足：根据量纲一致性原则 L： T：联解以上两式，可得，(a)根据试验，过堰流量 与堰宽 的一次方成正比， 即 =1，从而可得 。将 的值代入式 (a)，并令 ，得例 不可压缩粘性液体在粗糙管内作定常流动时，沿管道的压强降 与管道长度 、内径 、绝对粗糙度 、平均流速 、液体的密度 和动力粘度 等有关。试用瑞利法导出压强降的表达式。解:根据题意，可以写出： (1)按照瑞利法写出量纲表达式： L：-1= T：-2= M：1=则三个方程含有6个未知数，那么其中只有三个是独立待定的。取 作为待定的，则可得则式(1)可

9、以写为： (2)由于沿管道的压强降是随管长线性增加的，故 上式左边第一个无量纲量为管道的长径比，第二个无量纲量为相对粗糙度，第三个无量纲量为 于是上式可以写作： (3) ， ， 令 ，称为沿程损失系数，可以通过试验来确定。则式(3)可最终写为： (4)这是压强降的表达式，并且 ，则管道流动中单位重力液体沿程能量损失的表达式为：从而得到第四章中提到的达西魏斯巴哈(Darcy-Weisbach)公式。通过以上的实例可以看出，对于变量较少的简单流动问题，用瑞利法可以方便地得到各物理量之间的结构关系式。对于变量较多的复杂流动，如有 n 个变量，则待定指数有 n 个，而按照基本量纲只能列出三个基本方程，

10、于是就有( n-3 )个指数不能直接确定，这就是瑞利法应用时的一个缺陷。下面将要讨论的 定理则没有这方面的问题。 二、 定理 定理方法是另外一种更具有普遍性的量纲分析方法，是1915年由白金汉(E.Buckingham)提出的，故又叫白金汉定理，其基本原理可表述如下：任何一个物理过程，涉及到 个物理量， 个基本量纲，则这个物理过程可由( )个无量纲量所表达的关系式来描述。因这些无量纲量用 ( )来表示，故简称为 定理。设影响物理过程的 个物理量分别为 ，则这个物理过程可用一完整的函数关系式表示 (6-2) 根据国际单位制，水力学中的基本量纲一般是L、T、M，即 =3，因此可在 个物理量中选出三

11、个基本物理量作为基本量纲的代表。这三个基本物理量既要包含上述三个基本量纲，又要相互独立，一般可在几何学量、运动学量和动力学量中各选一个即可。然后，在剩下的( )个物理量中每次轮取一个，连同所选的三个基本物理量一起，组成一个无量纲的 项。如果这三个基本量纲为 ，则其他物理量均可用某种幂次的三个基本量纲和无量纲量 的乘积表示，即也就是根据量纲和谐原理，就可以确定待定系数 ，从而也就确定了 。如此直至得到 为止。因此原来的方程式(6-2)可写成 或这样，就把一个具有 个物理量的关系式(6-2)简化成具有( )个无量纲数的表达式，给模型试验以及试验数据的整理带来了极大的方便。下面举例来进一步说明 定理

12、的应用。(6-3)例 已知光滑圆球在粘性流体中的运动阻力FD与流体密度 、圆球直径d、圆球速度v和流体动力粘度 有关，试用 定理导出阻力FD的一般表达式。解:根据题意，有 (1)选定几何学量中的 d，运动学量中的 ，动力学量中的 为基本物理量，本题中物理量的个数 =5，基本量纲数 =3，因此，式(1)可以写成由 =5-3= 2个无量纲数组成的方程，即比较上式中每个因子的分子和分母的量纲，它们应满足量纲一致性原则。第一个因子 的量纲关系有 由量纲一致性原则 解得 求得：即或第二个因子 的量纲关系有由量纲一致性原则 解得 求得：用数构成新的方程整理有圆球阻力公式 即或其中阻力系数例6-3试验表明，

13、液体中的边壁切应力 与断面平均流速 ，水力半径 ，壁面粗糙度 ，液体密度 和动力粘度 有关，试用 定理导出边壁切应力 的一般表达式。解:根据题意，有 (1)选定几何学量中的 ，运动学量中的 ，动力学量中的 为基本物理量，本题中物理量的个数 =6，基本量纲数 =3，因此，式(1)可以写成由 = 6-3=3个无量纲数组成的方程，即比较上式中每个因子的分子和分母的量纲，它们应满足量纲一致性原则。第一个因子 的量纲关系有即 由量纲一致性原则 解得 求得：第二个因子 的量纲关系为即 由量纲一致性原则： 解得 求得同理，对 ，可求得 。因此，对于任意选取的独立的物理量 ，上述物理量之间的关系为无量纲数 即

14、为雷诺数Re，而 为相对粗糙度，因此上式也可以写成或这就是液体中边壁切应力 与流速 ，液体密度 ， 雷诺数 ，相对粗糙度 之间的关系式。这里 只是由量纲分析得出它们的关系式，至于 的具体关系，还要作进一步的研究方可得出。 具体应用时还须注意以下几点:(l)确定表征物理过程的特性量时，错选、漏选、多选都将导致错误的结论；(2)所选择的基本物理量，要能表达其余的所有的特征量，因此要尽可能在几何学量，运动学量和动力学量中各选一个；(3)当通过量纲分析所得到物理过程的表达式存在无量纲系数时，量纲分析无法给出其具体数值，只能通过有关试验求得；(4)量纲分析法无法区别那些量纲相同而物理意义不同的量。例如，

15、流函数 ，势函数 ，运动粘度 它们的量纲均为L2/T，但却有不同的物理意义，这一点通过量纲分析是无法区别的。 第三节 流动相似与相似准则 一、流动相似的意义液体的运动问题是十分复杂的，即便是在计算机和计算技术日益发达的今天，完全依靠数值计算并不能解决所有的流动问题，因此一些复杂的流动问题往往需要在试验的帮助下解决。那么，试验如何进行，或者说试验按照什么规则来进行，以及如何把试验成果应用到实际问题中去就成了不得不考虑的问题。为了解决这一问题，流动的相似性理论就应运而生了。 相似概念最早出现在几何学中。对于两个几何相似的图形，把其中一个图形的几何要素(长度、面积等)值以某固定的比例常数放大或缩小，

16、就可方便地得到另一图形相应的几何要素数值，这样的两个图形几何形状相似，几何性质也相似。类似于几何相似，如果模型流动与实际流动力学相似，则其流场中几何相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，这样可将模型试验的成果方便地应用于实际流动中。因此，相似原理广泛地应用于自然科学以及工程设计的各个领域。 两个互为相似的流动，各同名物理量的比例常数都将保持对应的比例关系。例如，长度 ，速度 ，力 的比例常数可分别写为式中下标“ ”表示原型量，“ ”表示模型量，而 、 、 分别表示原型中和模型中长度 ，速度 ，力 的比例常数，简称为各种物理量的比尺，即原型物理量和对应的模型物理量之比。因此， 称为长度比

17、尺， 称为速度比尺， 称为力的比尺。其他的物理量也有类似的比尺关系。 二、流动相似的特征表征流动现象的物理量可以分为三类： 几何学的量：描述液流形状 如长度、面积、体积等 运动学的量：描述液流运动状况 如速度、流量、时间 动力学的量：描述液流运动动力特征 如质量、动量、密度等 两个流动的相似特征，可以分别用几何相似、运动相似和动力相似来描述。 等 1几何相似几何相似是指两个流动中对应的几何量都满足一定的比例关系。也就是要求原型和模型两种流动对应的全部线性长度成比例几何相似就是要求对应的边界性质相同，例如同为固体壁面或自由表面等。 长度比尺： (6-8) 面积比尺： (6-9) 体积比尺： (6

18、-10) 几何相似是通过长度比尺 来表达的，只要对应的长度都保持一定的比尺关系，就可以保持两个流动的几何相似 2运动相似运动相似是指两个流动中，对应点上各运动学量的保持一定的比例关系，也就是说模型与原型流场所有对应点上的对应时刻的流速方向相同而流速的大小成比例。简言之，运动相似就是两个流动的时间、速度场、加速度场均相似。 时间比尺 (6-12) 速度比尺 (6-11) 加速度比尺 (6-13)还有流量比尺等等 3.动力相似动力相似是指在对应时刻作用于两个流动对应质点上的各种相同物理性质的动力学量成比例，即同名力相似。也就是要求模型和原型中所有对应点作用在流体微团上的各种力彼此方向相同，大小成比

19、例。动力相似中常用的比尺有 密度比尺 动力粘度比尺 作用力比尺 (6-15) 作用在流体上的作用力通常有重力 、粘滞力 、压力 、弹性力 和表面张力 等，作用力的比尺关系有，两个流动相似就意味着几何相似、运动相似和动力相似，这三者是相互关联的。例如，运动相似要求流速成比例，也就要求对应的时刻和对应的位移成比例，即又如动力相似，要求作用力成比例，根据牛顿第二定律有 (6-15)上式表明作用力比尺可用密度比尺、时间比尺和长度比尺来表示。 总的来说，这三种相似是互相联系和互为关联的。流场的几何相似是运动相似和动力相似的前提条件和依据；动力相似是决定两个流场实现运动相似的主导因素；而运动相似则是几何相

20、似和动力相似的表现和结果。三个相似是一个彼此密切相关的整体，缺一不可。有了以上的关于几何学量、运动学量和动力学量的三组比尺关系，模型和原型流场之间各种物理量之间的相似换算就很方便了。 三、牛顿相似原理 上一节回答了什么是流动相似问题，这一节来讨论如何保证两种流动的相似。首先，若要两个流动相似，必须满足几何相似，这是流动相似的必要条件，前面已有阐述。其次，若满足了动力相似，则可保证两个流动完全相似。也就是动力相似是起主导作用。动力相似主要是指对应点上各种作用力保持一定的比例。下面将从动力这个角度推导两种流动的相似原理，也叫相似准则。推导相似原理有两种方法： 从基本方程或单值条件出发推导； 从量纲

21、分析出发推导先举一个简单例子说明推导方法。对于一般的物体运动，应满足牛顿第二定律，即设有两个物体，其质量分别 为 和，在外力 和 的作用下，发生相似运动，其速度分别为 和 分别写出牛顿第二定律因现象相似，各物理量成比例，有代入牛顿第二定律原型表达式，整理 比较上式和牛顿第二定律模型表达式，有这就是物体运动的相似指标，其值等于1。若把两个相似现象的比例关系带入相似指标，则有 就是物体运动的相似准则数，在相似现象中其值不变，称其为牛顿数，以 表示，即或者说若两种流动动力相似，其牛顿数Ne应对应相等，这就是牛顿相似原理或牛顿相似准则。 也叫牛顿一般相似性原理(3)(2)(1)牛顿数还可写成那么牛顿相

22、似准则式(3) ，还有即为两种动力相似流动的各种其他的力与惯性力组成无量纲牛顿数Ne应相等用比尺表示即为两种动力相似流动的相似判据为1；各种其他的力与惯性力的比尺相等(5)(6)(7)(4)对于液流运动来说，作用力有重力、粘滞力、和惯性力等多种力。应满足连续性方程和N-S方程上述方程应对两个力学相似的水流系统均适用。现对原型流动和模型流动，分别有原型模型N-S方程均以x方向为例由于相似，有各物理量比例关系式代入原型方程(8)得(9)(8)若两个流动相似，则式(10)与式(9)应相等，有以 除上式各项，得(10)将各比尺关系式带入上式，有这些式子，如不考虑原型和模型的下标，两边的形式完全相同，而

23、且都是无量纲数。这些无量纲数都是相似准则数，也可以说是牛顿准则数的具体体现。上式说明，在两种相似的流动中，上述准则数应相等。这些准则数常用下列符号和名称表示。 斯特罗哈数 弗劳德数 雷诺数 欧拉数由上述讨论知，如果两个不可压缩粘性流体相似，则上述四个相似准则数必须对应相等。当然对于其他类型的流动，还可推得柯西准则数、韦伯准则数等等相等。这就是后面各部分阐述的各类相似准则。四、单项力相似准则按照牛顿一般相似性原理，两个相似流动的牛顿数应相等，也就是说，要求各种性质的作用力与惯性力之间都要成相同的比例。但是，由于各种力的性质不同，影响它的物理因素不同，要做到这一点，实际上是极其困难的。通常我们并不

24、能保证所有性质的力全部相似，全都保持同样的比尺，而只能抓住流动现象中主要的作用力使其相似，其他次要的力则不要求其相似，允许有偏离。因此，针对某一具体的流动现象进行模型试验时，可将其起主要作用的某单项力代入(35)中的 F 项，进而求得表示该单项力相似的相似准则。根据主要作用力的不同，有以下几个主要的模型相似准则。 (3)(4)(5)1) 重力相似准则当流动中主要作用力为重力 G 时，现用 代表其大小，并代入牛顿数关系式(5)中可得重力与惯性力之比为即也称之为弗劳德相似准则(5)或为无量纲数，是重力相似关系的准则数。弗劳德数Fr表征流体惯性力与重力之比。 Fr值越小，重力作用的影响越大。弗劳德数

25、Fr中的u、l分别为特征流速和特征长度可得以比尺表示的形式弗劳德数由各流动参数的比尺推导由比尺表示式可得由于地球上各地重力加速度 g 的差别很小，可以认为 ，即令重力加速度比尺 ，有 流速比尺：其他流动参数的比尺，有 流量比尺：各流动参数的比尺有流速比尺：其他流动参数的比尺见表6-2 加速度比尺：流量比尺：时间比尺：力的比尺：名称比尺重力相似准则粘性力相似准则流速比尺加速度比尺1流量比尺时间比尺力比尺1应力比尺压强水头比尺功、能比尺功率比尺表61 重力相似准则与粘性力相似准则比尺对照表 2) 粘滞力相似准则当流动中主要作用力为粘滞力 F 时，由可用 代表其大小，并代入牛顿数关系式(5)中可得粘滞力与惯性力之比为即也称之为雷诺相似准则(5)或为无量纲数，是粘滞力相似关系的准则数。雷诺数Re表征流体惯性力与粘滞力之比。 Re值越小，粘滞力作用的影响越大。雷诺数Re中的u、l分别为特征流速和特征长度可得以比尺表示的形式雷诺数由各流动参数的比尺推