高等数学35函数最大值和最小值课件

高等数学主讲人

宋从芝河北工业职业技术学院高等数学主讲人宋从芝河北工业职业技术学院1

本讲概要3.5函数的最大值和最小值闭区间上连续函数的最值某区间内有唯一极值点实际问题在开区间内有唯一驻点本讲概要3.5函数的最大值和最小值2一.闭区间上连续函数的最值

存在性

设函数f(x)在[a,b]上连续

在闭区间上一定有最大值和最小值。一.闭区间上连续函数的最值存在性设函数f(x)3可能的最值点端点极值点驻点不可导点

(尖点)可能的最值点可能的最值点端点极值点驻点不可导点可能的最值点4（闭区间连续函数求最值）方法一的步骤:①求驻点和不可导点；②求区间内的端点、驻点和不可导点的函数值；③比较函数值的大小。（闭区间连续函数求最值）方法一的步骤:①求驻点和不可导点；②5例1求函数

在[-2,2]上的最大值与最小值。解函数

f(x)在[-2,2]上连续，在(-2,2)内可导比较函数值，则f(x)在[-2,2]上例1求函数在[-26练习求函数

在[-2,0]上的最大值与最小值。练习求函数在[-27

（函数在某区间内有唯一极值点x0）方法二:OO二.某区间内有唯一极值点当x0是极大值点时，就是该区间上的最大值点;当x0为极小值点时，即为该区间上的最小值点。

（函数在某区间内有唯一极值点x0）方法二:OO二.某区8例2

求函数的最大值。解函数的定义域为因为函数在定义域内有唯一的极大值点，则函数的极大值由极值的判定定理二知，就是函数的最大值。例2求函数的最大值。解函9①实际问题本身决定函数在开区间内确有最大值②在开区间内只有唯一驻点

则可以断定驻点就是所要求的最大值点。（实际问题在开区间内有唯一驻点）方法三的步骤：

三.实际问题在开区间内有唯一驻点①实际问题本身决定函数在开区间内确有最大值（实际问题在开区间10

求函数的最值有三种方法：1.闭区间上连续函数的最值2.某区间内有唯一极值点3.实际问题在开区间内有唯一驻点闭区间闭区间、开区间开区间求函数的最值有三种方法：闭区间闭区间、开区间开区间11

在生产实践和科学研究中，往往要求在一定条件下，“用料最省”、“耗时最少”、“成本最低”、“效率最高”等问题。这些问题，在数学上常常归结为函数的最大值和最小值问题。在生产实践和科学研究中，往往要求在一定条12(1)建立目标函数（确定定义域）；(2)选择适当方法（3种）来求目标函数在定义域上的最值；求实际中最值的步骤：(3)求出最值或最值点。(1)建立目标函数（确定定义域）；(2)选择适当方法（3种）13例3

用边长为48cm的正方形铁皮做成一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形。然后把四边折起，就能焊成铁盒。问在四角截去多大正方形，才能使所做的铁盒容积最大？例3用边长为48cm的正方形铁皮做成一个无盖的铁盒时，在1448x48(a)x48-2x48-2x(b)图形：48x48(a)48-2x48-2x(b)图形：15问题归结为：求x为何值时，函数V在区间内(0,24)取得最大值，铁盒的容积为Vcm，解

令设截去的小正方形的边长为xcm，据题意，则有驻点为x1=8，x2=24即，求最大值点。(舍)。问题归结为：求x为何值时，函数V在区间内(0,24)16由题意知，铁盒必然存在最大容积，则当x=8时，即当截去正方形边长为8cm时，铁盒的容积最大。且函数在(0,24)内有唯一的驻点

x=8。由题意知，铁盒必然存在最大容积，则当x=8时，即当截去正方17例4铁路线上AB段的距离为100km，工厂C距离A处为20km，AC垂直于AB。为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修一条公路，已知铁路上每公里的货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3:5，为了使货物从供应站B运到工厂C的总运费最省，问D应选在何处？例4铁路线上AB段的距离为100km，工厂C距离A处为218A20kmCDB100kmx100-x?ACDB100kmx100-x?19解设铁路每公里的货运的运费为3k，公路每公里的货运的运费为5k（k为正常数）。设点D选在距A点xkm处，则设货物从B点运到C点的总运费为y，则解设铁路每公里的货运的运费为3k，公路每公里的设点D选在距A20求x在[0,100]上取何值时，函数y的值最小,得在[0,100]的驻点x=15。求最小值点。求x在[0,100]上取何值时，函数y的值最小,得在[21使用闭区间上求最值的方法，即D应选在距A点15km处，此时总运费最省。比较函数值的大小：使用闭区间上求最值的方法，即D应选在距A点15km处，此时总22小结求最值的方法