8数字信号处理2课件

1、方法实现都有字长限制，系数都会有量化误差。 8.3 滤波器系数量化效应在前面的讨论中，都默认系统函数 H(z) 的各个系数是具有无限精度的。实际在实现系统函数时，若用软件完成，系数的精度要受到计算机存储器字长的限制。用硬件完成时，从成本等诸多因素考虑，也要最大限度的减少存取系数的寄存器的长度。总之，不论何种系数量化产生的影响，称为系数的量化效应。系数量化到底会对滤波器的性能产生多大的影响？实现高阶滤波器时应采用什么样的网络结构，使量化效应尽可能小？这些都是在实际应用中要涉及的问题。下面讨论的重点是IIR系统，所得的一些分析结果可以直接用于FIR系统。分析方法同模拟系统的分析类似，可用敏感度表征

2、系数量化的影响。伯德(Bode)给出第k条支路系数 x 变化引起系统函数H及极点 zk 变化的敏感度分别为：(8.3-1)(8.3-2)，k=ak+ ak 。IIR系统函数的一般形式 系统函数H(z)的一般形式的系数ak、bk是无限精度的系数，如果系数被量化，则量化后的系统函数为：(8.3-3)式中情况。由于系数的量化，使系统函数的零、极点会偏离原来的准确位置。如果系数量化使零、极点的移动太大，就会使滤波器的性能指标达不到设计的技术要求。甚至可能使原来在单位圆内的极点移至单位圆或单位圆外，稳定系统成为不稳定系统。本节先介绍基本IIR滤波器基本二阶节字长对零、极点位置的限制，再讨论系统一般的8.

3、3.1 基本二阶节系数量化效应系统的极点由系数a1、a2确定。a1a2x(n)y(n)z-1z-1如图8.3-1所示最少延迟二阶节系统，由图可得该系统的H(z)为若H(z)有一对共轭极点z1,2=rej ，则比较等式两边，得到坐标值 r cos 取决于系数a1 。当a1、a2被量化时，显二阶IIR系统极点的半径 r由系数a2确定，而在实轴上的然只能得到有限个极点值。1+ a1 z1+a2 z2=(1rej)(1rej)=12rcos z1+ r2 z2a1/2= rcosa2 = r2对应具体的量化情况，极点必然位于z平面同心圆(对应r2的量化)和垂直线(对应rcos 的量化)确定的栅格交点上

4、。例如当a1、a2用3位字长表示时，即b=3 (不考虑符号位)，则 r2 、 rcos都只能取8个值，如表8-1所列。例：1+ a1 z1 +a2 z2 =11.5 z1 +0.625z2=(10.791e j18.5z 1) (10.791e j18.5z 1)r2=0.625，rcos=0.75， r =0.791、三位二进制码0.000000.0010.1250.3540.0100.250.50.0110.3750.6120.1000.50.7030.1010.6250.7910.1100.750.8660.1110.8750.935rcosr表8-110.8660.7030.6120.

5、3540.510.50.250.75极点分布的位置(只画出第一象限)示意图如图所示。jImzRez如果系统所需要的极点不在这些网眼的节点上，就只能以最靠近的一个节点来代替这一极点，这就引入了误差。例二阶节的原极点为由此得出a2 =r2 0.533，系数 a1、a2在三位字长的栅格网上，实际只能取rcos= a1 /2=0.73cos 10=0.72 rcos=0.75= 1 /2，r2=0.5=2 z1,2=0.73ej10即在三位字长的情况下，实际实现的系统函数为：即量化后的极点为，其中一个极点移至单位圆上，系统不稳定。rcos=0.75= 1 /2，r2=0.5=2 1 1 z1 2 z2

6、=11.5 z1 +0.5z2=(1 z1) (10.5 z1)戈尔德雷达(GoldRader)二阶节这个网络的系统函数 z1x (n) y (n) z1rcosrcosrsinrsin极点与前面的二节阶相同，但在实现系统时，各乘法0.25、0.875 。的系数为rcos、r2、rsin ，且都可以取0、0.125、极点分布的位置如图所示。0.750.2510.50.750.2510.50jImzRez极点分布的位置图对零、极点位置的影响，最适合的是即将讨论的零、从上述的讨论可见，结构不同的系统，有不同的极点位置栅格网。如最少延迟二阶节结构的栅格在原点及实轴附近误差大，而在单位圆附近的误差小。

7、要求总误差小，就要加长字长，使栅格密集。否则误差就有可能引起系统性能的改变。不过上述涉及的仅限二阶系统，更清楚反映系数量化极点位置敏感度。8.3.2 IIR系统的极点位置敏感度影响，零点位置敏感度可以类推。令H(z)的分母多项式为因为在IIR系统中极点对系统的性能影响较大，所以下面重点讨论极点位置敏感度即系数量化对极点的一般式中 zi 为极点，i=1,2,N。系数量化后的极点为，i=1,2,N。(8.3-4)zi是由系数量化产生的。 某个ak的误差ak引起任一极点zi的误差为：，i=1,2,N。(8.3-6)(8.3-5)当ak很小时，上式仅有一项，否则用泰勒级数展开后，还有高次项。则所有ak

8、变化引起极点zi的误差为：上式表明，zi/ak的大小，决定着误差ak对极点zi的影响程度。 zi/ak越大，ak对zi的影响越大，反之亦然。因此定义zi/ak为极点zi对ak 变化的敏感度。利用系统的分母多项式P(z)，可得到这个敏感度的表达式，由于(8.3-7)所以(8.3-8)其中上式表明极点zi对系数ak的敏感度是P(z)对系数ak及P(z)对极点zi的偏导之比。(8.3-9)所以(8.3-10)从而得到系数量化后误差与极点的关系为(8.3-11)以上是N个(所有)系数量化对极点 zi 影响的计算公式，其它极点可由此类推。因为(zi zl )是一个极点指向另一个极点的矢量，所以上式的分母

9、正是所有极点指向该极点的矢量积。 这些矢量越长(两个极点相距越远)，极点位置敏感度越低，即zi/ak与zi zl成反比。因此，极点之间越靠近，极点之间的距离越小，系数量化效应就越大。系统阶数越高，极点越多，极点的分布越密，距离越小，系数量化效应也就越大。对量化误差要求越高，字长就越长；系统阶数越高，量化误差要求不变，字长也要越长。所以高阶直接形式结构网络的极点对系数量化误差非常敏感。例8.3-1 已知某系统的系统函数为分析该系统的系数量化影响。提示：为了简化讨论，设 a1、a2无误差。解 分母多项式一般形式P(z)=1 a1 z1 a2 z2 a3 z3 a1=2.9425，a2= 2.893

10、4，a3= 0. 9508，其中：z1=0.99，z2=0.98 e j5，z3=0.98e-j5，一般情况，总的移动是所有ak变化，导致zi的变化之和。这样各系数量化引起 zi 总的移动，必然大于某一个系数量化产生的移动。P(z)=1 a1 z1 a2 z2 a3 z3 P(z)=(10.99z 1) (10. 98ej5z 1) (10.98e j5z 1) =0。在此条件下，讨论将 z1移至单位圆上需要的字长。z1=0.01 ，使得导致系统不稳定。为了既简化讨论，又说明问题，提示已假设a1 =a3 已知系数量化后误差与极点的关系为(8.3-11)这可令z1=0.01，求出a2，即a2有多

11、大时，代入公式(8.3-11)，且N=3，k=2z1=0.01a2计算结果说明， a2的量化误差为7.7556105，就会使所以要满足量化误差不至于引起该系统不稳定的要求，系统的极点z1移到单位圆上。因为214 7.7556105，从计算的结果可知字长至少要14位。如果不采用直接形式结构，而是采用基本二阶节(一阶节是二阶节的特例)的级联或并联实现。由基本二阶节分别实现每一对共轭极点，使一个已知极点的误差与它到系统其它基本节极点的距离无关。因此所需字长可以低很多。所以对高阶网络，一般由于每一个基本节的极点稳定性变化不会影响另一节，不用直接形式的结构，而是分解为基本二节阶的级联或并联形式。级联或并

12、联形式的量化误差效应优于直接形式，对零、极点聚在一起的窄带滤波器这种优点尤为突出。递函数Fnm发生变化时，网络的系统函数Tab对Fnm的变8.3.3 系统的敏感度在8.3.2中讨论的是系统系数量化引起系统函数零、极点的变化。但没有得到某个系数变化，引起系统函数变化的一般形式。当系统很复杂时，实际上很难得到零、极点和系统系数的一般关系。这时可用系统的敏感度反映系统的量化效应。系统敏感度定义为n、m支路的传化率。 (8.3-12)WaFnmWmWnWbXY系数Fnm的敏感度为：如图8.3-5所示任意数字系统，设a为输入节点， Wa为输入节点变量的z变换； b为输出节点， Wb为输出节由伯德敏感度定

13、义，定义数字网络H(z)对某一支路传递点变量的z变换；系统函数H(z)为Tab=Wb / Wa。式中：Tana点输入、 n点输出的传递函数；Tmbm点输入、 b点输出的传递函数；Taba点输入、 b点输出的传递函数；Fnm任一支路n、m的传递系数。与极点位置敏感度类似，系统的敏感度越低，当系数有量化误差时，系统函数的变化越小。同样的，不同结构的系统敏感度是不同的，高阶系统的级联、并联形式比直接形式的敏感度低。3214例：如图所示二阶数字网络，传递系数已在图中标明。求支路41传递系数-a1变化时网络的敏感度x(n)y(n) z1 z1a1b1b0a2解：由敏感度的一般公式 所以直接得到系统的敏感

14、度，此例也可以利用因为T14 = a1，且T12=H(z)，而所以与前面结果相同。当Fnm较大时，引起系统函数Tab的变化Tab为 Tab的推导留作习题。(8.3-13)8.3.4系数量化对IIR系统频响的影响系统的系数量化对零、极点位置的改变，将导致系统频响特性的改变。 在以下讨论中为分析简便，只考虑系数量化误差，不涉及运算误差。无限精度的理想系统函数一般形式为(8.3-14)bk、ak是系数量化误差，如果系数有效字长b位、定点舍入量化，bk、ak的误差范围设量化后的系数为q/2 bk，ak q/2(8.3-15)为、 k采用k=ak+ ak 量化后的实际系统函数为式中，(8.3-16)将H

15、(z)代入上式并整理由上式得到实际系统与理想系统的偏差HE(z)(8.3-17)(8.3-18)实际系统，可以由如图8.3-7所示的理想系统与偏差系统系统的频响误差为HE(z)的并联组合而成。x(n)y(n)e(n)H(z)HE(z) (n)= y(n) +e(n)HE(e j) = (e j) H (e j)但实际上计算时，很难知道bk、ak的准确值。为了频响的均方误差为(8.3-19)将HE(z)代入，可以计算频响的均方误差。理论上可以频响的均方误差即误差能量度量频响偏差。为了估计 2的大小，假设bk、ak是独立均匀等概分布的随机变量。在舍入情况下，其均值与方差分别为(8.3-20)(8.

16、3-21)求均方误差2 的均值，得到频响误差的方差为m e=Ebk= Eak=0，对HE(z)作一阶近似 若bk系数共有M1项，ak系数共有N1项，则考虑bk、ak是统计独立的，有所以Ebiaj= Eaiaj=Ebibj=0， ij， 最后频响误差的方差为数所需的字长。或者按一定的偏差方差系统设计一旦完成，H(z)、A(z)、M1、N1就是已知的，可以利用上式估计在一定系数字长b之下(q=2b)，频响(8.3-22)的偏离方差确定系实际上系数量化误差与运算误差不同，对一个确定的滤波器，其系数的量化误差是确定值，其频响的均方差 2也是固定值不变的。在上述分析中将其假设为随机变量，是为了对 2的大小作概率估计，即最有可能出现的估值。是 2系统的阶数越高，这种估计的收敛性越好，(8.3-22)式的计算结果越接近实验结果。8.3.5系数量化对FIR系统的影响上面详细讨论了系数量化对IIR系统的影响，如果将只有零点，没有极点的FIR系统看作IIR系统的特例，以上所讨论的相关结果可以直接用于FIR系统。例如IIR系统的极点