第3讲实内积空间_第1页
第3讲实内积空间_第2页
第3讲实内积空间_第3页
第3讲实内积空间_第4页
第3讲实内积空间_第5页
已阅读5页,还剩11页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

1、第3讲 实内积空间内容:1. 实内积空间正交基及正交补与正交投影内积空间的同构正交变换与对称变换在线性空间中,元素(向量)之间的运算仅限于元素(向 量)的线性运算但是,如果以向量作为线性空间的一个模 型,则会发现向量的度量(即长度)与向量间的位置关系在线 性空间的理论中没有得到反映,而这些性质在许多实际问题 中却是很关键的因此,将在抽象的线性空间中引进内积运 算,导出内积空间,并讨论正交变换与正交矩阵及对称变换 与对称矩阵1 内积空间在解析几何中,向量的长度与夹角等度量性质都可以通 过向量的数量积来表示,而向量的数量积具有以下的代数性 质:对称性(a, p)=( p, a );可加性(a +

2、d丫 ) = (a方)+ (p, y );齐次 性 (ka, p ) = k(a, p), Vk g R ;非负性(a, a) N 0,当且仅当a二0 时,(a,a) = 0 .以数量积为基础,向量的长度与夹角可表示为:|a| = %. (a,a), cos =(0包.可见数量积的概念蕴涵着长度与夹角的概念,将该概念推广至抽象的线性空间定义1.1设V是实线性空间,若对于V中任意两个元素 (向量)a和P,总能对应唯一的实数,记作(a, P),且满足 以下的性质:(1)对称性(a, P )二(P ,a)(2)可加性(a + P, y ) = (a, y) + (P, y)(3)齐次性 (ka, P

3、) = k(a, P), Vk g R(4)非负性(a ,a) 0, 当且仅当a =0 时,(a ,a) = 0 则称该实数是v中向量a和p的内积称内积为实数的实线性空间v为欧几里得(Euclid)空间 简称为欧氏空间.称定义了内积的线性空间为内积空间例1.1 在n维向量空间Rn中,任意两个向量:若规定:(a,p) = xy + x y + + x y=x y =atp,k=1k 0,同样可验证,这也则容易验证,这符合内积的定义,是Rn中向量a和P的内 积.另外,若规定:(a, p) = Zkx/kk=1是Rn中向量a和P的内积.由此可见,在同一个实线性空间的元素之间,可以定义 不同的内积,即

4、内积不是唯一的.从而,同一个实线性空间 在不同内积下构成不同的欧氏空间例1.2在L/上连续的实函数的实线性空间cL,b中,对任意函数f( x),式x) e C a, b ,定义:(f, g)“f (x) g (x粒,则可以a证明这是ca ,b 上f( x)与g( x)的一种内积.欧氏空间v中的内积具有如下的性质(o,a) = (a, o) = 0, Va e V(2) (a, kP) = k(a, P), Va, 0 e V, Vk e R(a,P+y) = (a,P) + (a,y),Va,p,y eV(4) (Zk xZi.y.) = Ek? (xy) i=1j=1j=1 i=1事实上,由

5、定义1.1有: (o,a) = (00 ,a) = 0(0 ,a) = 0 ;(a, k 0) = (k 0, a) = k (0 ,a) = k (a, 0);(a,0 +y) = (0 +y,a) = (0,a) + (y,a) = (a,0) + (a,y);因此,性质至成立,再结合数学归纳法容易验证性质 也成立.定义1.2设a是欧氏空间v中的任一元素(向量),则 非负实数,时称为元素(向量)a的长度或模,记作ai .称 长度为1的元素(向量)称为单位元素(向量),零元素(向 量)的长度为0由定义1.2易知,元素(向量)的长度具有下列性质(1)|ka|=|k|-a|,Vk e R, Va

6、 e V(2)当a0o时,-1 a = 1即L a是一个单位元素(向量).通N 网常称此为把非零元素(向量)a单位化定理1.1(Cauchy-Schwarz不等式).设a, P是欧氏空间V中 的任意两个元素(向量),则不等式(a, P )|郃|邛|,对Va, Pe V均 成立,并且当且仅当a与P线性相关时,等号成立证明:当a与P至少有一个是零元素(向量)时,结论 显然成立.现在设a, p均为非零元素(向量),则(a, B)(P?P)仇a-舒因此有ka, p )1 (a, a)(p, P),即(a,p)|a.p.而且当且仅当 a =( r )p, 即a与p线性相关 (p, p )时,等号成立.定

7、义1.3设x与y是欧氏空间V中的任意两个元素(向量),则称e= arccos。为,与y的夹角,记作1, y,即lxl |y|=e = arccos(: y) ,(0 K )同lyl例1.3 试证明欧氏空间-中成立三角不等式证明 因X + y| |x| + |y|, Vx, y e V x + yI2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y),由Cauchy - Schwarz不等式,有|x + y2 = |x|2 + 2(x, y) + |y|2 |x2 + 2|x| |y| + |y|2 = (|x + y|)2,即有 |x + y| 0,从而

8、有k = 0 (i = 1,2 ,m), 所以a ,a , ,a线性无i12m关推论:在八维欧氏空间中,正交元素(向量)组所含元 素(向量)的个数不会超过几个定义2.3在几维欧氏空间v中,由几个元素(向量)构 成的正交元素(向量)组称为v的正交基;由单位元素(向 量)组成的正交基叫作标准正交基定理2.2 (Schmidt正交化方法)设 ,an是n维欧氏 空间v的任意一个基,则总可将其进行适当运算后化为v的 一个正交基,进而将其化为一个标准正交基证明 因为 ,am线性无关,所以a产0 (i=1,2, ,n)首先,取P1二a1;其次,令p =a 丝色)p,则可得两个正交元素(向量)2(P, pJ1

9、11p1,p2;再次,令p =a 空山P 巴山p,则得到三个正交元素3 (P , P )1 (P , P ) 21122(向量)01, p2, p3.依此进行下去,一般有o (aP ) o (a.,B)r,(P,P ) 1 (B,B) 21122(a P)r / . 9 q) d i、p ( - 2,355 n)(B ,B )-i-l i-1这样得到V的一个正交基.再将其单位化,令y = P (,2,则可得V的一组标准正交基y ,y ,.|P | /1 2例 2.1 在r4中,将基a =(1,1,0,0)t,a =(1,0,1,0)t,a =( 123a = (l,-l,-l,l)r ,用Sc

10、hmidt正交化方法化为标准正交基.4解先正交化P = oc22(a,B)r _1 1Av.(P ,P ) i 2 2 1 1(a , B ) r 31 p (p,p) 11 1(a )n111 nP2=(-3,3,3,)r,-(P,P) 1(a )1 1再单位化43(P ,p)22o (a , B )P -43-2 (P,P)33,0,0)r_ 1 R 112 八、|P2| 2展 46 J6Y = in-r 0=(3 IP3I 3Y = J-P =(4 IP4I 41111- 9, 9 77),2 2 2 2HL就是所要求的标准正交基.例2.2设逐是维欧氏空间v的一个标准正交基,12, nX

11、 = X +% HFX 9y = y j s -y 8 9 则有1 12 2n n(x,y) = (xcei,y,ej) =xyi ,i=1j=1i=1在标准正交基下,v中任意两个元素(向量)的内积等于它们对应坐标的乘积之和定义2.4设)e2,e”是n维欧氏空间V的一个基,x,y在 其基下的坐标表示分别为x = (x , x,,x ) t,y = (y , y ,.,y ) t,12 n(x 工xe.,i=1y = ,),贝1有i =1(羽y) = (xe ,y e ) = x (e ,e )yii jji=1 j=1i=1j=1 其中,G = G(gj)为n阶方阵, 矩阵,它为对称可逆矩阵i

12、jj= Exgijyj = xTGy -i=1j=1g1(e, e J ij 1,2,n 称 G 为度量12 n2 正交补与正交投影定义2.5设可和吗是欧氏空间V的两个子空间,若对 任意的x e wy e w总有(x, y)= 0成立,则称%与w正交,记作 卬Iw2 .若对某个确定的x及任意的ye W,总有(x, y) = 0成立, 则称x与w正交,记作x W -例 2.3设W1= (x,y,0)1x, y e R,w2=(0,0, Z)1Z e R ,则容易得可和吗均为R 3的子空间,且叫 w2 -定理2.3设wJw2,.,w是欧氏空间V的子空间,且两两 正交,则叫+ w2 +. +卬是直和

13、.证明设一 W, (i = 1,2,s)且aa2 + a=o,分别用ai在上式两边作内积,得(a , a ) = 0,即a= 0(i = 1,2,s),即iiiw + W2+w是直和.定义2.6设可和吗是欧氏空间v的两个子空间,若W 1W,且 W + W = v, 则称 W与W互为正交补,记作W = W1 或12121212叫W2 = v 定理2.4欧氏空间v的任一个子空间w,都存在唯一 的正交补w 1.证明 先证存在性.设) 2., e m是子空间W的一个标准 正交基,则可以扩充为v的一个标准正交基:e ,e ,e ,e ,e,显然:w 1 = l(e,,e)m+1n12 ,m m +1n再

14、证唯一性.设w与w都是w的正交补,则v = W W,12v = W W2,令任意的 x e W2, X 丰 o,贝 UX 电 W,且(x, y ) = 0, V ye W,所同理有W1 u W2 .因此得 W1 = W2 定理2.4既证明了欧氏空间中任意子空间的正交补是存 在且唯一的,又给出了正交补的计算方法.另外,v中的任 一向量X都可唯一地分解为x - y + z, y e W, z e W1 由此可引进正投影的概念定义2.7设x是欧氏空间v中任意的一个元素(向量),W是v的一个子空间,且x被分解为x - y + z, y e W, z e W1.,则称y 元素(向量)为x元素(向量)在子

15、空间W上的正投影(又称 内投影).显然(W1) 1-W,故z为元素(向量)x在W1上的正 投影例2.4设W-(x ,0,0) x e R ,则W 是 R 3的一个子空间,且它的正交补为W,=(0, y, z)| y, z e R .若a=(,b, c) e R3,a在w上的 正投影为(,0,0),在w 上的正投影为(0, b, c).3实内积空间的同构定义3.1设v与u是两个欧氏空间,若存在v到u的一个 对应a,使o (a + 0) = o (a) + o (0), Va, 0 e V;o (a),o (0) e Uo (ka) = ko (a), Va e V, Vk e R;ko (a)

16、e U (o (a),o (0 ) = (a, 0), Va, 0 e V;o (a),o (0) e U则称o为V到U的一个同构映射,并称欧氏空间V与U同构同构作为欧氏空间的关系与线性空间的同构相同,因此 有:同构的有限维欧氏空间必有相同的维数;任意一个维 欧氏空间均与R”同构此外,欧氏空间的同构还具有以下性质:反身性:任意 一个欧氏空间V均与自己同构;对称性:若V与V,同构,则V,与 V同构;传递性:若V与V,同构,V,与V同构,则V与V同构事实上,(1) V到V的恒等映射是一个同构映射;设o是V到V,的同构映射,记。一1为o的逆映射,则对Va, 0 e V 有g(o(a) + o(p)

17、= g(o(a + p) = a + 0 =g(o(a) + o-i(o(p),o-i(ko(a) = o-i(o(ka) = ka = ko-i(o(a),9 一 19 (a),o - 19 (P) = (a, P) = 9 (a),o (P), 即。一1是V,到V的一个同构映射.) 传递性的证明留作习题正交变换与对称变换正交变换与正交矩阵定义4.1设V是一个欧氏空间,a是V上的线性变换, 如果对任意的元素(向量)a, Pe V,均有(。(a), a (P)二(a, P)成立, 则称a是V上的一个正交变换例如,恒等变换是一个正交变换,坐标平面上的旋转变 换也是一个正交变换正交变换可以从以下几

18、个方面来刻 画定理4.1设a是欧氏空间V上的一个线性变换,则下列 命题是等价的:a是一个正交变换;(2)保持元素(向量)的长度不变,即对任意的ae V,有a (a)| 二 |a ;v中的任意一个标准正交基在下的象仍是一个标准 正交基;在任一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵,即AAt = At A = E ,证明 采用循环证法。(1) n (2)若a是一个正交变换,则对 Va, Pe V,有(。(a ),。(P)二(a, P),取 Ja,有 (o (a),o (a) = (a, a)即 卜(a)|2 二 |a |2,也即0(a)| = a| ,n设 )2,.是V的一个标准正交基,贝U(0(),0(

19、 .) = ( , ) = : . 一 j,即0( ),0( ),.,O( )是一个标准正 TOC o 1-5 h z i J i J 10, I 牛 j12n交基.n(4)及=(1)证明略.推论:正交变换与正交矩阵有一一对应关系2 22例4.1V V3,试判断a是否为正交矩阵?0 - 2 血 13322-26 31 0 0解因为AAT = at A10 1 0 I, 所以A是正交矩阵.0 0 1此外,正交矩阵还具有以下性质:正交矩阵是可逆矩阵, 且det A二1或-1 ;正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵;两个正交 矩阵的乘积仍是正交矩阵;实方阵A为正交矩阵的充要条件 是:A的行(或列)向量组为标准正交向量组2对称变换与对称矩阵定义4.2设o是欧氏空间V上的一个线性变换,若对Va, Pe V,均有(o (a), P )二(a

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论