随机信号分析：第五章 窄带随机过程

1、第五章 窄带随机过程 2 / 305.1、预备知识窄带随机过程0-005.1、预备知识5.1、预备知识5.1、预备知识复数表示没有损失信息5.1、预备知识5.1、预备知识5.1、预备知识5.1、预备知识 10 / 305.1、预备知识5.1.2、希尔伯特变换: Hilbert Transform1862-1943, 德国数学家（1）希尔伯特变换希尔伯特变换相当于一个正交滤波器，为什么？变量替换5.1、预备知识5.1.2、希尔伯特变换: Hilbert Transform1862-1943, 德国数学家5.1、预备知识5.1.2、希尔伯特变换: Hilbert Transform1862-194

2、3, 德国数学家希尔伯特变换对所有信号的幅度响应为1（全通），对所有正频率分量都移相-90度，对所有负频率分量移相+90度，所以，希尔伯特变换是一种正交变换，它相当于一个正交滤波器。全通 13 / 305.1、预备知识5.1.2、希尔伯特变换: Hilbert Transform（2）希尔伯特逆变换 14 / 305.1、预备知识5.1.2、希尔伯特变换: Hilbert Transform（2）希尔伯特逆变换j-jphase adjustment正交滤波器5.1、预备知识举例：已知 ，求 5.1、预备知识举例：已知 ，其中基带部分的频谱为 证明，当 时， 5.1、预备知识5.1.3、解析过程

3、及其性质注：引入解析过程的目的是为了推导窄带随机过程的莱斯表达式5.1、预备知识5.1.3、解析过程及其性质5.1、预备知识5.1.3、解析过程及其性质5.1、预备知识5.1.3、解析过程及其性质5.1、预备知识5.1.3、解析过程及其性质性质4：证明：另，因为 为奇函数，有利用两次性质3说明在同一时刻t，随机变量 和 正交。从这点上理解Hilbert是正交滤波器。互相关函数为奇函数5.1、预备知识5.1.3、解析过程及其性质性质5：证明：性质6：证明：FT观察实过程和解析过程的相关函数之间关系5.1、预备知识5.1.3、解析过程及其性质性质7：证明：由取傅里叶变换解析过程具有单边带功率谱密度

4、，其强度为原实过程功率谱密度强度的4倍。与解析信号对比分析。5.2、窄带随机过程的表示方法0-00称 为高频窄带随机过程，简称窄带随机过程定义：实平稳随机过程 25 / 305.2、窄带随机过程的表示方法cos0tsin0tXI(t)XQ(t)-+X(t)同相、正交分量方法：莱斯表达式同相(In-phase)分量正交(Quadrature)分量包络、相位表示方法：准正弦振荡表达式A(t) :包络(过程)(t) :相位(过程) 0 : 中心频率或载波频率A(t)基带过程：功率集中在零频附近 26 / 305.2、窄带随机过程的表示方法复包络：不一定具有对称谱解析过程Rice representa

5、tion5.2.1、莱斯（Rice）表达式单边谱+下变频5.2、窄带随机过程的表示方法5.2.2、准正弦振荡表达式准正弦振荡表达式和莱斯表达式的推导关系：一般的数学表达都有直角坐标和极坐标两种形式，准正弦振荡表达式从解析过程出发，将基带过程从直角坐标形式转换为极坐标形式得到的 28 / 305.2、窄带随机过程的表示方法随机信号的复包络为：将其表示为复指数形式：其中：所以：复包络包络相位5.2.2、准正弦振荡表达式 29 / 305.2、窄带随机过程的表示方法ej0t 高频窄带信号的复包络即为承载信息的复基带信号！For amplitude-phase examination! 30 / 30

6、5.2、窄带随机过程的表示方法-a3aSC()0-a0+3aSX() 31 / 305.2、窄带随机过程的表示方法 32 / 305.2、窄带随机过程的表示方法SA()B 基带高频部分解调（中频转基带）工程实际中的接收解调方法 48 / 305.2、窄带随机过程的表示方法高频窄带系统线性包络检波器理想带通限幅器低通网络相位检波器N(t)X(t)A(t)2cos0tcos(t)补充：基带信息的提取（检波）检波（包络、相位）5.2、窄带随机过程的表示方法数字检波（幅度和相位）在实际的数字接收机中，信号首先经过数字DDC下变频到基带，分为I、Q两路，然后经过CORDIC算法，得到幅度和相位。 50

7、/ 305.2、窄带随机过程的表示方法2()2LPF高频成分补充：基带信息的提取（检波）平方律包络检波平方律包络检波：只能得到幅度，丢失相位信息，不如正交解调 51 / 30diffracted wavereflected wavePDFAtAt2RayleighExponentialGaussian narrowband signal5.3、窄带高斯信号包络与相位的概率密度Fast (short) fading signals without direct path:移动无线信道：窄带信道 52 / 30高频窄带系统包络检波器理想带通限幅器低通网络相位检波器X(t)A(t)2cos0tcos

8、(t)S(t)N(t)宽带噪声瑞利分布均匀分布高斯分布5.3、窄带高斯信号包络与相位的概率密度很多电子接收系统都是这样的，并且数字接收机也一样的模型。因此，研究清楚窄带高斯随机过程很有实际意义掌握概率密度对于确定检测门限很重要 53 / 30回顾2.1.3、随机过程的概率分布 设随机变量 X1、X2 和 Y1、Y2 满足单调可逆函数关系： Y1 = g1(X1,X2), Y2 = g2(X1,X2) X1 = h1(Y1,Y2), X2 = h2(Y1,Y2)在可取值范围 Y1、Y2 取值在 Sy1y2 内的概率应与 X1、X2 在 Sx1x2 内的概率相等，其中 x1 = h1(y1,y2)

9、，x1 = h1(y1,y2)，即 fY1Y2(y1,y2)Sy1y2 = fX1X2x1 = h1(y1,y2), x2 = h2(y1,y2)Sx1x2 利用随机变量二维变换求取随机信号二维概率密度函数x1 = h1(y1,y2)x2 = h2(y1,y2)fX1X2(x1,x2)Sx1x2y1y2fY1Y2(y1,y2)Sy1y2求二维随机变量函数的概率密度 54 / 30回顾2.1.3、随机过程的概率分布若 fY1Y2(y1,y2) 未知，则 fY1Y2(y1,y2) = fX1X2x1 = h1(y1,y2), x2 = h2(y1,y2)(Sx1x2/Sy1y2) 由二重积分有关知

10、识可知 Sx1x2/Sy1y2 = | Jh(y1,y2) |，其中这样，我们最终得到（具体例子见 Ch.5）： fY1Y2(y1,y2) = | Jh(y1,y2) | fX1X2x1 = h1(y1,y2), x2 = h2(y1,y2)利用随机变量二维变换求取随机信号二维概率密度函数行列式 55 / 30进一步地，分别记 t 时刻包络、相位，同相、正交分量的可能取值为a、，xI、xQ，则 包络、相位和同相、正交分量满足下面的关系：5.3、窄带高斯信号包络与相位的概率密度同相、正交分量和包络、相位的关系 56 / 30所以其中5.3、窄带高斯信号包络与相位的概率密度同相、正交分量二维联合概

11、率密度 57 / 30由于所以 XI(t) 和 XQ(t) 均是高斯随机变量。由前面的讨论又知这表明 XI(t) 和 XQ(t) 是两个均值为零，方差为2 且相互独立的高斯随机变量，由此可得两者联合概率密度：高斯信号同相、正交分量的性质5.3、窄带高斯信号包络与相位的概率密度 58 / 30将上式代入同相、正交分量，包络和相位二维联合概率密度5.3、窄带高斯信号包络与相位的概率密度并利用 ，最终得到： 59 / 30包络和相位各自一维概率密度利用边沿概率密度，进一步求得瑞利分布均匀分布5.3、窄带高斯信号包络与相位的概率密度注意：若信号 X(t) 的功率为 2，则包络的均值和均方值分别为 和

12、（求解见后面例题）： 60 / 305.4、窄带高斯信号包络平方的概率密度窄带高斯噪声包络平方的一维概率密度ca根据变换法：所以指数分布0 61 / 305.4、窄带高斯信号包络平方的概率密度 62 / 305.4、窄带高斯信号包络平方的概率密度 63 / 305.4、窄带高斯信号包络平方的概率密度线性窄带系统X(t)Y(t)Z(t)线性包络检波器若 Y(t) 的功率为 1W，求 Z(t) 21/2V 的概率 64 / 305.4、窄带高斯信号包络平方的概率密度总结： 对于均值为 0，方差为 2 的高频窄带平稳高斯信号：（1）同相、正交分量均是实平稳高斯过程（2）复包络为复平稳高斯过程（3）包

13、络（实）一维为瑞利分布，相位一维为均匀分布（4）包络平方一维为指数分布（5）同相、正交分量均值均为 0，方差为 2 （6）包络均值为 ，复包络均值为 0（7）相位均值为 1/2 （8）复包络和包络的方差均为 22 65 / 30Gaussian narrowband signal + sinusoid?direct wavereflected wave随参信道衰落源存在强直(反)射源5.5、正弦型信号与窄带高斯噪声包络与相位的概率密度Fast (short) fading signals with direct path: 66 / 30高频窄带系统包络检波器理想带通限幅器低通网络相位检波器X

14、(t)A(t)2cos0tcos(t)S(t)N(t)宽带噪声瑞利分布均匀分布?5.5、正弦型信号与窄带高斯噪声包络与相位的概率密度 67 / 30正弦信号加窄带高斯噪声之包络一维概率密度fA(a)a = 2 = 1 = 0零阶修正贝塞尔函数随机相位信号方差为2的窄带高斯信号与前面的结论一致5.5、正弦型信号与窄带高斯噪声包络与相位的概率密度5.5、正弦型信号与窄带高斯噪声包络与相位的概率密度莱斯表达式准正弦震荡表达式求条件二维概率密度函数独立的高斯随机变量5.5、正弦型信号与窄带高斯噪声包络与相位的概率密度均值方差求广义瑞利分布（莱斯分布）函数：第一类零阶修正贝塞尔函数5.5、正弦型信号与窄

15、带高斯噪声包络与相位的概率密度讨论（1）信噪比 退化为瑞利分布 fA(a)A = 2 = 1 = 0（2）信噪比很小时，趋近于瑞利分布（3）信噪比很大时，趋近于高斯分布当At偏离a很小时， 71 / 30f|(|) = 2-正弦信号加窄带高斯噪声之相位一维概率密度 = 1 = 0, = 0+与前面的结论一致5.5、正弦型信号与窄带高斯噪声包络与相位的概率密度5.6、正弦型信号加窄带高斯噪声包络平方的概率密度 5.7、 分布与非中心 分布在信号检测中，为了提高检测性能，经常采用视频积累技术，即对包络的平方进行独立取样后再积累（非相干积累）。数学模型：指数分布特征函数利用特征函数的性质：独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量的乘积，可得求逆傅里叶变换，可得n个自由度的 分布若输入信号为正弦型信号与窄带高斯噪声之和，则模型为 5.7、 分布与非中心 分布利用双曲函数其特征函数 5.7、 分布与非中心 分布特征函数做逆傅里叶变换其中， 定义为非中心参量。 定义归一化变量 5.7、 分布与非中心 分布概率密度函数其中，非中心参量 表示视频积累后的信噪比。 5.7、 分布与非中心 分布N自由度的非中心 分布 若S不是常量，则模型为特征函数： 5.7、 分布与非中心 分布其中，非中心