第七章马尔柯夫预测法ppt课件

1、经济预测与决策.经济预测与决策第七章 马尔柯夫预测法.本章学习目的与要求 经过本章的学习，了解马尔柯夫预测法的根本概念，运用马尔柯夫预测法进展市场销售预测、市场占有率预测。.本章学习重点和难点 重点是运用马尔柯夫预测法进展市场销售预测、市场占有率预测。 难点是稳定形状市场占有率预测。.本章内容提示第一节 马尔柯夫过程分析的根本原理第二节 马尔柯夫预测法的分析步骤第三节 市场占有率预测.马尔柯夫预测法马尔柯夫预测法是运用概率论中马尔柯夫链的实际和方法研讨分析有关经济景象的现状及变化规律，并籍此预测未情况的预测方法。.马尔柯夫过程对于一个系统，在由一种形状随机地转移至另一种形状的转移过程中，存在着

2、转移概率，这种转移概率可以根据其前一种形状推算出来，而与该系统的原始形状和此次转移以前的有限次或无限次转移无关，系统的这种由一种形状至另一种形状的转移过程为马尔柯夫过程，其整体转移过程称为马尔柯夫链。.马尔柯夫分析对于某一预测对象的马尔柯夫过程或马尔柯夫链的运动、变化进展研讨分析，进而推测预测对象的未来情况和变化趋势的任务过程，称为马尔柯夫分析。.第一节 马尔柯夫过程分析的根本原理一、概率向量二、概率矩阵三、系统的稳定形状四、形状转移概率矩阵.一、概率向量恣意一个行向量U，假设内部各元素均非负，并且总和为1，那么此向量称为概率向量。概率向量中的各元素，可以用整数 、分数、小数或百分数表示。.二

3、、概率矩阵 在一个nn矩阵P中，对于恣意一个元素Pij均有Pij0(i=1，2，n；j=1，2，n)。并且Pi1+Pi2+Pin=1，那么矩阵P 叫做概率矩阵。即，由概率行向量构成的方阵。.概率矩阵性质：1.假设A和B皆为概率矩阵，那么乘积AB亦为概率矩阵。从而推论P的m次方幂Pm也是概率矩阵。.概率矩阵性质：2.假设概率矩阵P的有限次方幂Pm的一切元素均为正非零非负，那么P为正规概率矩阵。如概率矩阵：A2及Amm2中各元素均为正值，所以A为正规矩阵。但是，假设Am中有为零的元素存在，那么A不是正规概率矩阵。.概率矩阵性质：3.恣意非零行向量U=u1，u2，un，乘以某一方阵A所得的结果依然为

4、U，那么称U为方阵A的固定点，或固定向量。记作UA=U。对于正规概率矩阵P和概率向量U，假设UP=U成立，那么称U为P的固定概率向量。并且P只需一个固定概率向量。.例设P的固定概率向量为 U=x 1-x，那么有：UP=U，所以U=1/3 2/3，为P的独一的固定概率向量。.三、系统的稳定形状一个马尔柯夫链假设是正规的，根据以上讨论可知，经过形状转移可以使系统到达某一稳定形状。在这种情况下，处于形状i的概率如用Si表示，那么系统整体的形状可用下面的概率向量来表示：S=S1，S2，Sn.系统的稳定形状系统的稳定形状是指系统即使再经过一步形状转移，其形状概率仍坚持不变的形状。即：SP=S式中：P是反

5、映形状转移的正规概率矩阵，S称为对P的稳定形状概率向量。假设知正规概率矩阵P，就可以根据以上关系式求出系统的稳定形状概率向量S。.求稳定形状概率向量假设知概率矩阵所求的稳定形状概率向量S=S1，S2，Sn。.根据公式有：根据公式有：并且S1+S2+Sn=1.从而有：P11S1+P21S2+Pn1Sn=S1P12S1+P22S2+Pn2Sn=S2 P1 nS1+P2 nS2+Pn nSn=SnS1+S2+Sn=1由前n个方程中去掉一个不独立的方程，求解联立方程组，解得S1、S2、Sn。.四、形状转移概率矩阵假设系统的形状共有n个，系统的形状i一次转移到形状j的概率为Pij，那么系一致次转移概率的

6、全体组成一个矩阵，称为形状转移概率矩阵，记为：P。矩阵的每一行为一概率向量，它表示由形状i转移到其它形状的概率。.多步转移概率矩阵假设系统的形状不止经过一次转移，而是经过多次转移，那么可用多步转移概率矩阵来描画。设系统的形状经过K次转移，那么用K步转移概率矩阵来描画。.设K步转移概率矩阵为PK，即：.由定义可知：PK=PK-1P =PK-2P2 =PK-3P3 =PK-K+1PK-1 =PPK-1 =PK 即，K步转移概率矩阵就是一步转移概率矩阵的K次方。.SK的计算设系统互不相容的形状有n个，系统的初始形状用概率向量S0表示，那么：经过一次转移，系统到达S1形状，那么有：S1=S0P经过二次

7、转移，系统到达S2形状，那么有：S2=S1P=S0P2.SK的计算依此类推，可得递推关系式：S3=S2P=S0P3 SK=S0PK即经过K步转移后的形状取决于转移前的初始形状S0，一步转移概率矩阵P和转移的次数K。.表示成矩阵方式：.第二节 马尔柯夫预测法的分析步骤马尔柯夫链作为一种根本的预测模型，用来预测客观经济事件的未来形状。当分析研讨由一种形状转移为另一种形状时，可以运用这种模型。.运用条件运用马尔柯夫预测法进展预测时，首先必需将研讨的问题归纳成独立的形状；其次是要确定经过一个时期后，时间由一种形状转变为另一种形状的概率，并且这种概率必需满足以下条件：1.只与目前形状有关；2.与详细的时

8、间周期无关；3.预测期间，形状的个数必需坚持不变。.步骤 假设研讨的问题符合上述条件，那么构成一阶马尔柯夫链，并可以据此建立预测模型，进展预测。详细步骤如下：第一步，确定系统的形状；第二步，确定转移概率矩阵；第三步，进展预测。.例7-1某公司将最近20个月的商品销售额统计如下，试预测第21个月的商品销售额。.表7-1 各月商品销售额 单位：万元月 数 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额 40 45 80 120 110 38 40 50月 数 9 10 11 12 13 14 15 16销售额 62 90 110 130 140 120 55 70 月 数 17 18 19 20销售额 4

9、5 80 110 120 .解：划分形状。按销售额多少作为划分形状的规范。形状1滞销：销售额60万元；形状2平销：60万元销售额100万元；形状3畅销：销售额100万元。.那么各形状出现的次数Mi为：M1=7；M2=5；M3=8。根据统计数据计算比例数，建立形状转概率矩阵。.由形状i转移为形状j的次数记为Mij，那么有：M11=3；M12=4；M13=0；M21=1；M22=1；M23=3；M31=2；M32=0；M33=5。在计算时，最后一个数据转移到哪个形状时未知的，所以不参与计算。.转移概率以转移次数Mij与形状次数Mi之比作为转移概率，那么转移概率Pij= Mij / Mi。各转移概率

10、为：P11=3/7；P12=4/7；P13=0；P21=1/5；P22=1/5；P23=3/5；P31=2/7； P32=0； P33=5/7。.预测第21月的销售额由于第20月的销售属形状3，而形状3经过一步转移到达形状1、2、3的概率分别为2/7、0、5/7，P33P31P32，所以第21月仍处于形状3的概率最大，即销售额超越100万元的能够性最大。.第三节 市场占有率预测在市场竞争条件下，企业向市场提供的商品份额占市场总份额的比例为企业该商品的市场占有率。市场占有率的预测是企业运营管理中的一项重要任务。下面利用马尔柯夫预测法进展关于市场占有率的预测的分析。.条件设市场中提供某种商品的厂商

11、共有n家。当前的市场占有率,即本期市场占有率为：用Pij代表经过一个时期后i厂商丧失的顾客转移到j厂商的概率，或j厂商得到由i厂商转来的顾客的概率。特别是当i=j时，Pij代表i厂商保管上期顾客的概率。这样Pij即为市场占有率的转移概率。.转移概率矩阵对于整个市场中各厂商的顾客的转移概率，可用转移概率矩阵表示：.市场占有率对于未来一个时期的市场占有率，有：.上式阐明，对于某一厂商下期市场占有率，包括本人保管下来的顾客和从其它厂商转来的顾客两部分占有率构成。将上式写成矩阵方式，有：.结论即：St+1=StP下期市场占有率取决于本期市场占有率和转移概率。.同理，假设St-1表示上期市场占有率， S

12、t表示本期市场占有率，那么St=St-1P。本期市场占有率取决于上期市场占有率和转移概率，而与上期以前时期的市场占有率无关。，对市场占有率的预测是符合马尔柯夫原理的，因此可以利用马尔柯夫的实际和方法进展市场占有率的预测。.K期市场占有率的预测设当前形状为初始形状，那么对于下一期市场占有率的预测，可以看成是在当前形状下经过一步转移所到达的形状。即：S1=S0P。假设假定各期的转移概率不变，那么那么对于下K期市场占有率的预测，可以看成是在当前形状下经过K步转移所到达的形状。即：SK=S0PK。.例7-2知市场上有A、B、C三种品牌的洗衣粉，上月的市场占有率分布为0.3 0.4 0.3，并且转移概率

13、矩阵为：试求本月和下月的市场占有率。.解：依题意，设上月市场占有率为初始概率向量，即S0=(0.3 0.4 0.3，那么本月市场占有率为S1，下月市场占有率为S2，.由马尔柯夫预测法有：本月市场占有率S1=S0P =0.25 0.37 0.38下月市场占有率S2=S1P =0.225 0.347 0.428计算结果阐明A、B、C三种品牌的洗衣粉，本月的市场占有率分别为：25%，37%和38%；下月的市场占有率分别为：22.5%，34.7%和42.8%。.S2的计算亦可采用下式S2=S1P=S0P2即可以为是在初始形状经过二步转移后所到达的形状。那么对于K个时期后的市场占有率的预测，那么可由初始

14、形状S0与市场的转移概率矩阵P的K次方的乘积求得。即：SK=S0PK。.例7-3有A、B、C三家企业的同种产品上个月在某地域市场上的占有率分别为：052、030、018。根据市场调查情况，每1000户顾客中分别购买A、B、C三家企业产品的变化情况如表7-3。试用马尔柯夫预测法分析，假设按目前趋势开展下去，三家企业产品占有率的情况。.表7-3 企业占有顾客变化情况 单位：人企业 上月占有顾客数 本月流动情况 A B C A 520 312 156 52 B 300 105 105 90 C 180 18 36 126本月占有顾客数 435 297 268.解： 1确定初始形状。以上月各企业的市场

15、占有率为初始形状，S0=(0.52 0.30 0.18。.2确定转移概率矩阵。转移概率矩阵可以反映企业现有顾客在下一周期仍购买该企业产品的顾客人数的百分比，即保有率；和在下一周期转向购买其它企业产品顾客人数的百分比，即转出率。根据顾客人数转移的数据，计算出保有率和转出率，作为转移概率，组成转移概率矩阵。.表7-4 企业转移概率计算表出 入 A B C A 312520=0.60 156520=0.30 52520=0.10B 105300=0.35 105300=0.35 90300=0.30C 18180=0.10 36180=0.20 126180=0.70 .上表结果用矩阵方式表示为：.

16、3.计算本期市场占有率。假设分析期内转移概率不变即顾客的偏好不变，根据马尔柯夫预测模型，本月市场占有率S1=S0P。即： S1=0.435 0.297 0.268.4.后续周期趋势预测假设以本月为第一个月,那么第K个月的市场占有率为SK=S0PK。假设需求进展长期趋势预测,那么可以此公式计算下去。根据上式，计算第一月至第十二月的市场占有率于表7-4：.表7-4 逐期市场占有率计算表预测期 市场占有率 K SAK SBK SCK 1 0.4350 0.2970 0.2680 2 0.3918 0.2881 0.3202 3 0.3679 0.2824 0.3497 4 0.3555 0.2791

17、 0.3663 5 0.3471 0.2773 0.3766 6 0.3429 0.2763 0.3808 7 0.3405 0.2757 0.3838 8 0.3392 0.2754 0.3854 9 0.3384 0.2752 0.3863 10 0.3380 0.2751 0.3868 11 0.3378 0.2751 0.3871 12 0.3376 0.2750 0.3874.分析1A企业和B企业产品的市场占有率逐期下降，并且A企业产品的市场占有率下降幅度较大；2C企业产品的市场占有率却以较大的幅度逐期上升。3变化的幅度逐渐减小，趋近于不变。.5长期市场占有率预测稳定形状分析企业产品的市场占有率的稳定形状是各企业产品的市场占有率不发生逐期变化时的形状。从例7-3可以看到，随逐时间的推移，各企业产品的市场占有率逐期上升或下降，但变化的幅度逐渐减小，趋近于不变，即处于稳定形状。.稳定形状根据对稳定形状的分析可知，稳定形状时，上期形状经过一步转移后其形状该当不变。即相邻两个时期各企业