《微分几何》第22页习题解答1(略_第1页
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1、 微分几何第22页习题解答1.(略)2.求证常向量的微商等于零向量.证明：设r(t)在其定义域内是常向量,即对其定义域内的任何ti和t2都有r(ti)=r(t2),于是由微商的定义r(t)=0.limr(t+?t)-?t-0?t3.证明dtpj=ptp(tr)p(t),其中pt)是t的标量函数.证明：利用向量微分的性质(入)=Xr+入r直接计算即可利用向量函数的泰勒公式，证明如果向量在某区间内所有点其微商为0,则此向量在该区间是常向量证明：设to(a,b)是向量函数r(t)在定义域内的任意一个取定点,则对?t=to+?t(a,b),由向量函数的泰勒公式有r(to+?t)-r(to)=?tr(t

2、o)+(?t)22!r(to)+ # =o,从而在(a,b)内成立由题设,对?t(a,b),r(t)=o,于是r(to)=r(to)=r(t)=r(to),?t(a,b).证明r(t)具有固定方向的充要条件是rxr=o.证明：设r(t)=X(t)e(t),其中入(t)=|r(t)|=0,e(t)是与r(t)同向的单位向量若r(t)具有固定方向，则e(t)为常向量e,因此r(t)=X(t)e,所以r(t)xr(t)=XXxe=0.反之，若rxr=0,我们来证明r(t)具有固定方向,换句话说即证明e(t)与t无关.事实上,对r(t)=入(t)e(t)两边求导得r(t)=入(t)e(t)+入(t)e

3、(t).由题设0=rxr=f(t)e(t)xe(t),由于ft)=0,故e(t)xe(t)=0.另一方面由Lagrange恒等式,22222(e(t)xe(t)2=e2(t)e(t)-(e(t)(t)2=(e)2(t),(这里利用e(t)是单位向量,所以e2(t)=1).所以e=0,即e(t)是常向量,或者说r(t)具有固定方向.证明r(t)平行于固定平面的充要条件是(r,r,r)=0.证明：设固定平面的法向量为n(非零常向量).注意到若rxr=0时,结论显然成立,所以我们以下假定rxr=0.=?)由r(t)-n=0,两边求导得对上式两边再求导得r(t)n=0,r(t)-n=0,于是非零矢量n同时垂直于r,r,r.故r,r,r共面,或(r,r,r)=0.?=)若(r,r,r)=0,则r,r,r共面，而rxr=0说明r与r不共线，从而可设r=fr(ir,其中f，为纯量函数.此时令n=rxr,

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