高中数学必修4第一章第四节《三角函数的图像与性质》全套教案

1、三角函数的图像与性质课时分配第一课正弦函数、余弦函数的图象1个课时第二课正弦函数、余弦函数的性质1个课时第三课复习1个课时1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【教学目标】（1）了解正弦曲线的画法及原理，理解余弦曲线与正弦曲线的联系；（2）观察y=sinx，x0，2的图象，归纳出“五点法”，并推广到余弦函数以及复合函数的图象的画法【教学重点难点】【教学重点】：五点法【教学难点】：正余弦曲线间的联系；数形结合、图象变换的思想方法【学前准备】：多媒体，预习例题 电脑 教学课程 第一课教学环节导案/学案师生互动/随堂测试备注一、复习引入（5分钟）三角形函数线：正弦线、余弦线：设任意角的终边与单位圆相交

2、于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有，有向线段MP叫做角的正弦线，有向线段OM叫做角的余弦线二.探究新知（25分钟）利用课件边演示边讲述利用正弦线画比较精确的正弦函数图象的方法：（1）如上图，将圆12等分，（每一等分都是），得到12个角（不妨称为角x）的终边；（2）作出12个中每一个角的正弦线；（3）将x轴从0到2这一段分成12等份；（4）把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合；（5）将平移后的正弦线的终点用光滑的曲线连接起来，得到函数y=sinx，x0，2的图象y=sinx的定义域为R，那么如何根据y=sinx，x0，2的图象得到y=sinx的图象呢？学生代表回答

3、，教师补充完整：由于终边相同的三角函数值相等，所以y=sinx，x2k，2（k+1），kZ且k0的图象与y=sinx，x0，2的图象形状完全一致。因此我们只需将函数y=sinx，x0，2的图象向左（或右）平移（每次平移2个单位），就可以得到正弦函数y=sinx，xR的图象。教师用电脑演示y=sinx，xR的图象：三.巩固练习（20分钟）例1：画出下列函数的简图：（1）y=1+sinx，x0，2；（2）y=cosx，x0，2教师重点讲解：从函数图象变换的角度来看，函数y=1+sinx的图象可看作是由函数y=sinx的图象向上平移1个单位而得到；函数y=cosx的图象可由函数y=cosx的图象沿x

4、轴翻折而得到。学生练习：课本P38页第2题。观察两个函数图象的关系，并思考为什么它们是这种关系2、利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：（1）sinx；（2）cosx解：（1）作出正弦函数y=sinx，x0，2的图象：由图形可以得到，满足条件的x的集合为：（2）作出余弦函数y=cosx，x0，2的图象：由图形可以得到，满足条件的x的集合为：四小结谈收获用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，从函数图象和函数解析式两个角度分析了一些函数图象之间的关系，并用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式五.布置作业完成课后习题1、（不画图）说出下列函数图象之间的关系：（1）、y=sin

5、x，y=cosx； （2）、y=sinx，y=sinx；（3）、y=sinx，y=2+sinx； （4）、y=sinx，y=sin（x）。解：（1）、函数y=cosx的图象可看作是由函数y=sinx的图象向左平移个单位而得到；（2）、函数y=sinx的图象可看作是由函数y=sinx的图象向沿着x轴翻折而得到；（3）、函数y=2+sinx的图象可看作是由函数y=sinx的图象向上平移2个单位而得到；（4）、函数y=sin（x）的图象可看作是由函数y=sinx的图象沿着y轴翻折而得到。2、画函数y=|sinx|的大致图象六教学反思 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质【教学目标】1.借助图象理解正弦

6、函数、余弦函数的基本性质，会求复合函数的单调区间.2.体会数形结合思想及整体换元思想【教学重难点】通过正弦函数、余弦函数的图象归纳其性质.整体换元思想的渗透，复合函数单调性的求法【学前准备】：多媒体，预习例题 教学课程 第一课教学环节导案/学案师生互动/随堂测试备注一、复习引入（5分钟）复习引入，展示目标1、正、余弦函数图象“五点法”作图的过程是什么？2、正、余弦函数的周期是什么？3、一般来说，我们是从哪些方面来研究函数的性质？4、回顾上学期我们学习指、对、幂函数性质的过程，是如何进行研究的？二.探究新知（25分钟）1、师生共同研究得出正弦函数的性质：定义域：值域：单调性：递增区间为，函数值从

7、-1增至1； 递减区间为，函数值从1减至-1.最值：当时，； 当时，.奇偶性：奇函数，对称性：对称轴为； 对称中心为.2、小组合作探究得出余弦函数的性质：定义域：值域：单调性：递增区间为，函数值从-1增至1； 递减区间为，函数值从1减至-1.最值：当时，； 当时，.奇偶性：偶函数，对称性：对称轴为； 对称中心为三.巩固练习（20分钟）1、求函数的最值，并写出取得最大值、最小值时自变量的集合.2、求函数的单调递增区间.变式1、求函数，的单调递增区间.变式2、求函数的单调递增区间四小结谈收获五.布置作业完成课后习题六教学反思 从图象的特征获得它们的性质，反过来根据性质进一步认识三角函数的图象，充分

8、体现了数形结合的思想方法，由形到数，再由数到形，这样设计通俗易学，容易被学生接受.存在的问题是由于知识点较多，基础知识生成所用的时间较长，练习较少，课后应加强基础知识的应用练习正切函数的性质与图象【教学目标】1.掌握正切函数的性质；2.掌握性质的简单应用；3.会解决一些实际问题。【教学重点】正切函数的性质的应用。【教学难点】灵活应用正切函数的性质解决相关问题【学前准备】：多媒体，预习例题 教学课程 第一课教学环节导案/学案师生互动/随堂测试备注一、复习引入（5分钟）正切线：首先练习正切线，画出下列各角的正切线：正切线是AT。正切函数，且的图象，称“正切曲线”余切函数ycotx，x(k，k+)，

9、kZ的图象（余切曲线）正切函数的性质： 1定义域：，2值域：R 3当时，当时4周期性：5奇偶性：奇函数6单调性：在开区间内，函数单调递增余切函数ycotx，x(k，k+)，kZ的性质1定义域：2值域：R，3当时，当时4周期： 5奇偶性：奇函数6单调性：在区间上函数单调递减二.探究新知（25分钟）例1：用图象解不等式解：利用图象知，所求解为亦可利用单位圆求解例2：求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。解：由得，所求定义域为 值域为R，周期，是非奇非偶函数。在区间上是增函数三.巩固练习（20分钟）3：作出函数且的简图。解：4：求下列函数的定义域1 2解：12四小结谈收获五.布置作

10、业完成课后习题已知函数y=sin2x+cos2x-2。（1）用“五点法”作出函数在一个周期内的图象。（2）求这个函数的周期和单调区间。（3）求函数图象的对称轴方程。（4）说明图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的。解：y=sin2x+cos2x-2=2sin(2x+)-21利用单位圆中的三角函数线：（1）证明当0 x时tanxx，（2）解方程tanxx，（x）。（1）证明：如图xAP，角x的正切线为AT即tanxA，由扇形AOPA即xtanx（0 x）又由于yx与ytanx为奇函数，当0 x时，xtanx（2）解：由（1）结论，得当x0时xtanx又x0是方程xtanx的解。因此方程x

11、tanx在（，）内有惟一解即x0。2已知f(x)=tanx，对于x1，x2（0，）且x1x2试证证明：0 x1 0 x2x1x2且x1x2 cos（x1x2）1即1cos（x1x2）2cosx1cosx2 ， 说明：通过本题的证明可知函数ytanx的图象，当x（0，）时是下凸的，同样可以证明函数ytanx的图象当x（，0）时是上凸的3求函数ytan2x的定义域、值域和周期、并作出它在区间，内的图象解：（1）要使函数ytan2x有意义，必须且只须2x，Z即x，Z函数ytan2x的定义域为xR，x，Z（2）设2x，由x，Z知，Zytan的值域为（，）即ytan2x的值域为（，）（3）由tan2（x

12、）tan（2x）tan2xytan2x的周期为。（4）函数ytan2x在区间，的图象如图六教学反思 加练习：1函数y的定义域是( )Ax0 x） Bx2kx2k，kZCxkxk，kZ Dxkxk，kZ解析：由logtanx0，得0tanx1根据ytanx在x(，)上的图象可知0 x结合周期性，可知原函数的定义域为：xkxk，kZ答案：C2求函数y的定义域解：cotxsinxsinxcosx函数的定义域由确定解之得2k-x2k，且xk，(kZ)从而原函数的定义域为：2k，2k(2k，2k (kZ)3如果、(，)且tancot，那么必有( )A BC D解：tancottantan(、(，)，(，

13、)又ytanx在(，)上是增函数 即答案：C4函数ylg(tanx)的增函数区间是( )A(k，k)(kZ) B(k，k)(kZ)C(2k，2k)(kZ) D(k，k)(kZ)解：函数ylg(tanx)为复合函数，要求其增函数区间则要满足tanx0，且ytanx是增函数的区间解之得kxk (kZ)原函数的增函数区间为：(k，k)(kZ)答案：B5试讨论函数ylogatanx的单调性解：ylogatanx可视为ylogau与utanx复合而成的，复合的条件为tanx0，即x(k，k)(kZ)当a1时，ylogau在u(0，)上单调递增；当x(k，k)时，utanx是单调递增的，ylogatanx在x(k，k)(kZ)上是单调增函数当0a1时，ylogau在u(0