自动控制原理第二章(2015)

1、Automatic Control TheoryCollege of Information Science and Engineering,CSU2015.32022年7月3日星期日hanhua2第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型n引言引言n2.1时域数学模型时域数学模型n2.2复数域数学模型复数域数学模型n2.3方框图和信号流图方框图和信号流图n2.4控制系统建模举例控制系统建模举例2022年7月3日星期日hanhua3引言（引言（ Introduction ）n自动化及其理论基础-系统与控制理论，通常被视为一门应用数学科学应用数学科学：n1）数学的理论与方法数学的理论与方

2、法是其理论研究的基本工具与手段n2）它对对许多相关数学学科的理论有许多的创许多的创造与发展造与发展；n3）它强烈的应用背景强烈的应用背景和工程导向性工程导向性使其有别于纯粹的数学。2022年7月3日星期日hanhua4控制系统定量分析的基础。描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式1.数学模型数学模型 （ Mathematical model ）:2022年7月3日星期日hanhua5若一个物理系统的动力学行为能够用若一个物理系统的动力学行为能够用一个方程或一一个方程或一组方程组方程描述，那么方程即为系统的数学模型。描述，那么方程即为系统的数学模型。静态数学模型静态数学模型动态数学模型动态

3、数学模型代数方程代数方程微分方程微分方程运动运动：泛指一切物理量随时间的变化；：泛指一切物理量随时间的变化；控制理论的任务：控制理论的任务：研究控制系统运动的规律和特性；研究控制系统运动的规律和特性；2022年7月3日星期日hanhua6n 数学模型数学模型是舍弃了各种事物的具体特点而抽抽象出象出它们的共同性质共同性质即运动运动，来加以研究的工具。 怎样知道系统的运动规律？从从工程角度工程角度讲，讲，已知这些运动已知这些运动规律足够吗？规律足够吗？7为何要建立（静态系统）的数学模型？为何要建立（静态系统）的数学模型？例例1 1：椅子问题：椅子问题椅子在不平的椅子在不平的地面上是否一地面上是否一

4、定可以放稳？定可以放稳？2 2个简单的静态模型例子：个简单的静态模型例子：8 设地面光滑，椅子腿为设地面光滑，椅子腿为A、B、C、D，腿长相等，腿长相等;椅子转动的角度为椅子转动的角度为,并并定义定义f()：腿：腿A、C与地面距离之和与地面距离之和 g()：腿：腿B、D与地面距离之和与地面距离之和ADCBADCB起码三腿着地，起码三腿着地，必有必有 f()=0 或或 g()=0 令令 h()= f()-g()椅子转动的数学模型，椅子转动的数学模型，输入输入，输出，输出h，问题：是否有问题：是否有h()=0 ？设设 f(0)=0，g(0)0，则当则当=0 时，时， h(0)0; ; 0)(h,0

5、)2(g,0)2(f BD AC 交交换换位位置置，与与时时，当当2 。使使，必必有有点点0)h(2011 9即使地面不平，只要地面的曲面是连续变即使地面不平，只要地面的曲面是连续变化的，则一定能通过转动椅子将其放稳。化的，则一定能通过转动椅子将其放稳。10例例2 2 ：帆船推力问题：帆船推力问题航向和风向已知，航向和风向已知，如何调整风帆角度如何调整风帆角度以获得最大推力？以获得最大推力？11作用在帆上的力为作用在帆上的力为帆船的数学模型，帆船的数学模型，输入输入 ，输出，输出F F2 2，问题：问题：=？时？时F F2 2最大最大帆与船的夹角帆与船的夹角= =风向与船的风向与船的夹角的一半

6、时推力最大夹角的一半时推力最大 , 可可调调已已知知， )sin(FF1 作用在船上的推力为作用在船上的推力为 sin)sin(FsinFF12 0)2sin(cos)2cos(sinFsin)cos(cos)sin(FddF2 )2(tgtg 即即 2 对对F2求导可得求导可得风力FF1F2帆帆思考：风向与航程一定时，如何以最短时间走完全程？思考：风向与航程一定时，如何以最短时间走完全程？为何要建立动态系统的数学模型？为何要建立动态系统的数学模型？12* * *实施恰当的控制，首先要对被控对象了实施恰当的控制，首先要对被控对象了如指掌，才能随心所欲。分析了解被控如指掌，才能随心所欲。分析了解

7、被控对象和控制系统的定量对象和控制系统的定量就是就是数学模型。对分析和设计自动控制系统数学模型。对分析和设计自动控制系统而言，只是定性地了解系统的工作原理而言，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是远远不够的。和大致的运动过程是远远不够的。* * *数学模型是分析和设计自动控制系统的数学模型是分析和设计自动控制系统的基础，根据系统的数学模型可以分析反基础，根据系统的数学模型可以分析反馈控制系统的性能，进行仿真、实验、馈控制系统的性能，进行仿真、实验、调整、校正、综合等，从而设计控制器调整、校正、综合等，从而设计控制器或控制装置，达到控制的目的。或控制装置，达到控制的目的。控制控制对象对

8、象分分 析析系统分析的基本流程* * * 许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示。有了这个律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示。有了这个数学模型，我们可以不去过多地研究具体系统，而只分析数学模型，我们可以不去过多地研究具体系统，而只分析其数学表达式，就可以知道其变量间的关系其数学表达式，就可以知道其变量间的关系 。 比如，弹簧振荡系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。这在工程实践中好处多多这在工程实践中好处多多! !* * *模型的近似性与合理性模型的近似性与合

9、理性 实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确性简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变得不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂，这带来另一对矛盾，复杂与可操作性复杂与可操作性。 数学模型数学模型实际系统实际系统近似近似2022年7月3日星期日hanhua152. 2.数学模型的基本形式（连续时间系统）数学模型的基本形式（连续时间系统）时间域模型(time domain model)系统本质系统本质上是动态上是动态的的微分方程微分方程(Differential Equation )(Differ

10、ential Equation )状态方程状态方程(state-space equation)(state-space equation)1) 1)数学表达式数学表达式2)传递函数传递函数(Transfer function) s s域模型域模型(s domain (s domain model)model)拉普拉斯变换拉普拉斯变换( (Laplace Laplace transform):transform):简化微分方程的简化微分方程的解。解。2022年7月3日星期日hanhua163) 3)框图框图(Block Diagram)和信号流图信号流图 (Signal flow diagram

11、) 4) 4)频率特性频率特性 5) 5)响应曲线响应曲线(Response Curve )非参数模型(non parameter model)2022年7月3日星期日hanhua173. 3.建模的方法（建模的方法（ The Method of Modeling The Method of Modeling ）: :n1 1）分析法）分析法n是对系统各部分的运动机理运动机理进行分析，根据它们所依据的物物理规律或化学规律理规律或化学规律分别列写相应的运动方程运动方程。 n2 2）实验法）实验法n是人为地给系统施加某种测试信号测试信号，记录其输出响应输出响应，并用适当的数学模型适当的数学模型去逼

12、近逼近.辨识建模辨识建模returnreturn2022年7月3日星期日hanhua18课前复习与讨论n1、有哪些典型的输入信号？为什么需要将这些典型的信号作为控制系统的输入？n2、设计一个控制系统的基本步骤？、设计一个控制系统的基本步骤？n3、自动控制的目的？、自动控制的目的？n4、什么是数学模型？动态系统的数学模型有、什么是数学模型？动态系统的数学模型有哪些？怎样建立？怎样确定系统的阶次？哪些？怎样建立？怎样确定系统的阶次？n5 什么是相似系统和相似变量 2022年7月3日星期日hanhua19n2.1.1 2.1.1 线性元件的数学模型线性元件的数学模型2.1.2 2.1.2 控制系统的

13、微分方程控制系统的微分方程2.1.3 2.1.3 线性系统的性质线性系统的性质2.1.4 2.1.4 线性微分方程的解线性微分方程的解2.1.5 2.1.5 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化2.1.6 2.1.6 运动的模态运动的模态(Kinetic mode(Kinetic mode) )2.1 控制系统的时域数学模型2022年7月3日星期日hanhua20 2.1.1线性线性的微分方程 (Differential equations of linear component)()()()()()(0101trbdttdrbdttrdbtcadttdcadttcdammmnnn 输

14、出（果）输入（因）微分方程的标准形式：微分方程的标准形式：Order(阶次阶次)独立储能元件（ independent energy storing components）的的个数个数决定系统的阶次系统的阶次.nm的物理系统的物理系统可实现可实现2022年7月3日星期日hanhua21energy storing componentsPowerstored componentMass (m)rotor inertia (J)Capacitance ( C )Inductance ( )Spring ( k )Power equationPower formkinetic Power kinet

15、ic PowerElectric Power MagneticpowerPotential power22mv22J22cu22Li22kxL常见的储能元件常见的储能元件2022年7月3日星期日hanhua22 （） 常见的可用微分方程描述其动力学行为的物理系统：常见的可用微分方程描述其动力学行为的物理系统： Kirchhoffs voltage lawKirchhoffs current law0i 0u 2022年7月3日星期日hanhua232) ) (掌握) Newton first law0F Newton second lawFmaNewton third law A on BB

16、on AFFKenetic energy UmghPotential energy212Kmv2022年7月3日星期日hanhua24( )( )( )( ( )( )ioiottT tKtt( )( )( )( )( )ioiox tx tp tK x tx t2022年7月3日星期日hanhua252022年7月3日星期日hanhua262022年7月3日星期日hanhua27温度系统温度系统 ()（了解了解）(Thermodynamic & Conservation of matter)(Heat transfer laws, Conservation of energy)202

17、2年7月3日星期日hanhua28图2.1 R-L-C 网络()iu tRLC+i(t)()ou t建模要建模要注意些注意些什么？什么？例例2-1: 图2-1是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，试列写以ui(t)为输人量，以uo(t)为输出量的网络微分方程。2022年7月3日星期日hanhua29根据基尔霍夫电压方程（ Kirchhoff voltage equation)：21222oooid uduTTTuudtdt(1)(2)oodiLRiuudtduiCdt22oooid uduLCRCuudtdt 消去中间变量中间变量 i 得标准微分方程标准微分方程：RCTRLT21,为时间常

18、数时间常数（time constants）()iu tRLC+i(t)()ou t输人量输人量：ui(t) ；输出量输出量：uo(t)2022年7月3日星期日hanhua30例例2-2:弹簧弹簧质量阻尼器质量阻尼器机械位移系统机械位移系统 (Displacement system of spring-mass-damper)input:outside force)F t外力(（）:displacementoutputx t位移（） （）2212( )( )( )( )( )( )dv td x tma tmmF tF tF tdtdt1( )( )( )dx tF tff v tdt2( )(

19、 )( )F tKx tK v t dt: coefficient:elasticity coefficientfdampedK，22( )( )( )( )d x tdx tmfKx tF tdtdtfmKF(t)x(t)2( )F t1( )F t2022年7月3日星期日hanhua31)()()()(22tFtKxdttdxfdttxdm质量-弹簧位移机械系统的数学模型： 显然该两个系统等价。速度显然该两个系统等价。速度 x(t) 和电压 uo (t) 为(analogous variables , 这样的系统称为这样的系统称为. 21 222oooid uduTTTuudtdtRLC网

20、络的数学模型：说明了什么？相似相似系统系统有何意义？结论结论: 微分方程微分方程反映了反映了系统的本质特征。系统的本质特征。2022年7月3日星期日hanhua321) 相似性相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统 2) 简化性和准确性简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理 3) 动态模型动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。 4) 静态模型静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。2022年7月3日星期日hanhua33列写元件微分方程的步骤：P242022年7月3日星期日hanhua34 Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转

21、换的过程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。 例例2-3 电枢控制的直流电机的微分方程：2022年7月3日星期日hanhua35 例例2-3 电枢控制的直流电机的微分方程：aaaa aadiULR iEdt电枢回路电压平衡方程：电枢回路电压平衡方程：Ea：电枢反电势，EaCe m(t)， Ce是反电势系数。 Ua 和 Mc输出量: m m输入量输入量?2022年7月3日星期日hanhua36电磁转矩方程：电磁转矩方程： 式中，Cm是电动机转矩系数；Mm(t)是电枢电流产生的电磁转矩（motor torque） 。 电动机轴

22、上的转矩平衡方程：fm是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数；Jm是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量转动惯量(rotor inertia)。)()(tiCtMamm)()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm负载转矩负载转矩 (load torque)2022年7月3日星期日hanhua3712( )( )( )( )mmmmacdtT JtK u tK Mtdt 共两个一阶微分方程,两个代数方程,六个变量Ua ,Ea, , ia ,Mm ,MC , m m ，消掉中间变量后得：，消掉中间变量后得： 22( )( )()()( )( )( )mmcm ma mamm mmem

23、m aaacdtdtdML JL fRJR fC CtC u tLRM tdtdtdt( )( )( )( )ammammacmmmemmmemmmeRdtCRJtu tMtR fC CdtR fC CR fC C0,0amLL电动机机电时间常数电动机机电时间常数电动机传递系数电动机传递系数2022年7月3日星期日hanhua382.1.2控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立 Generally steps: (1)Confirm the I/O variables of system and every components; (2) Draw the block diagram o

24、f the system and write the dynamics equations of every components using physical laws; (3)Check up the number of equations and decide if it is equal to the number of unknown variables or not. (4) Expurgate the inside variables from the set of the differential equations, and change to the standard fo

25、rm.2022年7月3日星期日hanhua39例例2-5 试列写图2-5所示速度控制系统的微分方程Operational amplifier Power Amplifier Tachogenerator 参据量：ui输出量：转速2022年7月3日星期日hanhua40(1)运算放大器运算放大器I ：参据量: ui-ut; 输出量: u1 （1）K1是运算放大器I的比例系数.(2)运算放大器运算放大器 ：参据量:u1,输出量: u2 ; （2）12111),(RRKuuKuti CRRRKudtduKu11221122, K2 运算放大器的比例系数， 是微分时间常数。列写各元部件的微分方程列写各

26、元部件的微分方程:2022年7月3日星期日hanhua41(3)直流电动机直流电动机 (3)(4)齿轮系（齿轮系（gears） (4)2( )( )( )( )mmmmaccdtTtK u tK M tdt1miOutputInputOutputInput2022年7月3日星期日hanhua42(5)测速发电机测速发电机( Tachogenerator) 输入输入: ; 输出: ut.ttuKKt是测速发电机比例系数.(5)imggiccdudTKK uK Mdtdtreturn消去中间变量ut, u1, u2, ua,及 m，整理后便得到控制系统的微分方程：2022年7月3日星期日hanhu

27、a432.1.3线性系统的特点 n用线性微分方程线性微分方程描述的元件或系统，称为线性线性元件或线性系统元件或线性系统2022年7月3日星期日hanhua44Figure2.1 Meaning of a linear systemreturn叠加原理：叠加原理：可叠加性可叠加性和和均匀性（或齐次性）均匀性（或齐次性）对线性系统的研究有何意义？2022年7月3日星期日hanhua452.1.5 非线性方程的线性化严格地说，实际物理元件或系统都是非线性的。1）直接简化数学模型直接简化数学模型，将这些元件视为线性元件。为什么要线性化？有几种线性化方法？ 忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱，或

28、者工作在线性范围以内，则它们对系统的影响很小，可以忽略其非线性。）电位器弹簧2022年7月3日星期日hanhua46 设连续变化连续变化的非线性函数非线性函数为y=f(x)，如下图所示。取某平衡状态平衡状态A为工作点工作点（ ，对应有y0=f(x0)。当x=x0+x时，有y=y0+y。设函数y=f(x)在(x0，y0)点点连续可微连续可微，则将它在该点附近用泰勒级数展开泰勒级数展开（为：何为平衡状态？ 2220000 xdxxfdxdxxdfxfyyyxxxx2）切线法切线法或或小偏差法小偏差法，这种线性化方法特别适合于具有连续变化的非线性特性函数。2022年7月3日星期日hanhua47 x

29、dxxdfxfyyyxx000若增量（x-x0）很小（，略去其高次幂项，则有：A 0 x xdf xKdx 2220000 xdxxfdxdxxdfxfyyyxxxx 0 x xdfxyxK xdx A点的斜率点的斜率非线性函数非线性函数的泰勒级数展开的泰勒级数展开（：yKx2022年7月3日星期日hanhua48微偏法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，微偏法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环这一假设是符合许多控制系统

30、实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件主要工作在平衡点附近差，所以各元件主要工作在平衡点附近2022年7月3日星期日hanhua49n小偏差线性法的关键小偏差线性法的关键: n ;n ;n Taylor series(泰勒级数泰勒级数); n continuous(连续连续); n linear approximation(线性近似线性近似);2022年7月3日星期日hanhua50n例 2.4. 非线性微分方程的线性化：n工作点:（T0，u0）n小偏差:20.24dTTcudtRr200

31、0.24TuRr00,TTTuuu 200001()()()()2!f uuf uf uufuu 20000()()2f uf uuuuu 2022年7月3日星期日hanhua51n微分方程的小偏差线性化小偏差线性化：20000()0.24(2)d TTTTcuuudtRr00.48d TTcuudtRr00.48dTTcu udtRr2022年7月3日星期日hanhua52n 若非线性方程为：n n 则在工作点工作点x0(x10, x20, xn0)的泰勒展开泰勒展开 并略去高阶项有线性化的微分方程为线性化的微分方程为：nxxxfy,21nxxnxxxxxxfxxfxxfy0002211re

32、turn2022年7月3日星期日hanhua53以你学过的知识，建立了系统的微分方程后，如何要定量分析被控变量在激励作用下的运动规律？2022年7月3日星期日hanhua542.1.6 Kinetic mode (运动的模态度(振型)为什么要求微分方程的解？拉氏变换法拉氏变换法线性线性定常微分方定常微分方程程的求解方法的求解方法有有哪几种哪几种？经典法经典法欧拉（欧拉（EulerEuler）待定指数函数法）待定指数函数法n一阶微分方程一阶微分方程 有指数形式的解：有指数形式的解： . .yay atycen提问提问引言：一阶齐次线性微分方程解的启示引言：一阶齐次线性微分方程解的启示 对于对于n

33、 n阶齐线性方程阶齐线性方程 是否也有类是否也有类似形式的解？似形式的解？11110nnnnnnd ydydyaaa ydtdtdt1111111()( )ntntttnnnnnnttnnd ededeaaa edtdtdtaaaeFe于是有：于是有：111( )0nnnnFaaa假如假如 是方程的解是方程的解tye要要 是方程是方程 的解的的解的充要条件充要条件为：为：tye11110nnnnnnd ydydyaaa ydtdtdt称上式为方程称上式为方程 的的特征方程特征方程，它的根称，它的根称为为特征根特征根。11110nnnnnnd ydydyaaa ydtdtdt求解常系数线性微分方

34、程问题求解常系数线性微分方程问题转化为转化为求解一个代数方程问题求解一个代数方程问题于是有于是有11110(1)nnnnnnd ydydyaaa ydtdtdt111( )0nnnnFaaa 设设 是特征方程的是特征方程的n个彼此不相等的根，则相个彼此不相等的根，则相应地方程有如下应地方程有如下n个解：个解： n,2112,nttteee 可以证明这可以证明这n个解在区间上个解在区间上线性无关（线性无关（？），从而组成方程，从而组成方程的的基本解组基本解组。于是有。于是有 如果如果 均为实数，则是方程有均为实数，则是方程有n个线性无关的个线性无关的实值解，而方程的实值解，而方程的通解通解可表示

35、为可表示为), 2 , 1(nii1212ntttny cecece 其中其中 为任意常数。为任意常数。nccc,212 2） 特征根是重根的情形特征根是重根的情形设特征方程有设特征方程有k重根重根 ，由代数学基本知识有：，由代数学基本知识有：10)(, 0)()( )(1)(1)1(11kkFFFF下面分三步来讨论基本解组的构成：下面分三步来讨论基本解组的构成：01先讨论先讨论12, 1kttt，此时，有线性无关的函数组，此时，有线性无关的函数组：01讨论讨论把这种情况通过变换把这种情况通过变换 化为第一种情况。化为第一种情况。tyex1再构成线性无关的函数组再构成线性无关的函数组：1111

36、112,tttktetet ete特征根特征根 的重数分别为：的重数分别为：m,321;,32imkkkk则有线性无关的则有线性无关的函数组：函数组：1111122222121212,mmmmmtttkttttkttttktetet eteetet eteetet ete2022年7月3日星期日hanhua611100nnnnaaa1nroots,：11n重根：1 2iiji, ,.n 复根：常规解法常规解法osy(t )y (t )y (t )10( )( )( )( )nnnd y tdy taaa y tu tdtdt经典法经典法11n: 单根( ) 强制分量(特解)，用待定系数法确定s

37、y t 12012( )ntttny tc ec ec e1012( ) ttntny tcec tec te101111( )(cos sin)(cossin)nttnnnny tectctectctn常用激励信号对应的特解形式常用激励信号对应的特解形式输入信号特解KAKtA+BtKe-at(特征根s -a)Ae-atKe-at(特征根s=-a)Ate-atKsinw0t或 Kcosw0tAsinw0t+ Bcosw0tKe-atsinw0t或 Ke-atcosw0tAe-atsinw0t+ Be-atcosw0t对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了。对于特征方程有复重

38、根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了。譬如假设是譬如假设是k k重特征根重特征根 ，则，则 也是也是k k重特征根，重特征根，仿仿1 1一样处理，将得到方程的一样处理，将得到方程的2k2k个实值解：个实值解：ii2121cos,cos,cos,cossin,sin,sin,sintttkttttktet tet t ettetet tet t ettet2022年7月3日星期日hanhua64Original function（solution）Mirror functionDifferential equationAlgebra equationLaplace transferInver

39、se Laplace transfersolution拉氏变换法（拉氏变换法（Laplace transfer）2022年7月3日星期日hanhua650( )( )stF sf t edt( )0,0f tt , ,( )ta bf t对于任意的可积0000,( )s ttMsf tMe对于任意的 ，存在常数和使成立拉普拉斯变换：拉普拉斯变换：1）上式成立的条件：）上式成立的条件：第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 sj为复数自变量2022年7月3日星期日hanhua662）线性特性）线性特性11211121( )( )( )( )L k f tk f t

40、k L f tk L f t3）终值定理）终值定理0lim( )lim( )tsf tsF s4）延迟定理）延迟定理5）位移定理）位移定理 ()( )sL f teF s( )()atL ef tF sa第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 6）微分性质）微分性质2022年7月3日星期日hanhua67在已知在已知象函数象函数F(s),求求f(t)时，对于简单的象时，对于简单的象函数，可直接查拉氏变换表，但对于复杂函数，可直接查拉氏变换表，但对于复杂的，可利用的，可利用部分分式展开法部分分式展开法，即通过代数，即通过代数运算将一个复杂的象函数化为数个简单的运算

41、将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再求出各个分式的原函数，部分分式之和，再求出各个分式的原函数，从而求出总的原函数从而求出总的原函数 。第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 2022年7月3日星期日hanhua68第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 对于象函数对于象函数F(s), ,常可写成如下形式：常可写成如下形式： -1-1012-1-1012( -)( -) ( -)( )( )( )( -)( -) ( -)mmmmmnnnnnb sbsLbk s zs zL s zB sF sA sa sa sLas

42、ps p L s p零点零点极点极点部分分式展开法部分分式展开法 2022年7月3日星期日hanhua69F(s)F(s)总能展开成下面的部分分式之和总能展开成下面的部分分式之和 其中，分子为待定系数。其中，分子为待定系数。1 1）F(s)F(s)无重极点的情况无重极点的情况1212( )( )nnkB skkA sspspsp()( )()( )()iiiispiB pB skspA sA p2022年7月3日星期日hanhua70设设F(s)有有r个重极点个重极点p1,其余极点均不相同，则其余极点均不相同，则 2 2、F(s)F(s)有重极点的情况有重极点的情况1111121111111(

43、 )( )( )( )() ()()()()()()()rnrnnrrrrrrnB sB sF sA sa spspspkkkkkspspspspsp11111 111 2121 3121111() ()() ()1() ()2 !1() ()(1 ) !rsprsprsprrrsprkFsspdkFsspd sdkFsspd sdkFssprd s11111 111 2121 3121111() ()() ()1() ()2 !1() ()(1) !rsprsprsprrrsprkFsspdkFsspd sdkFsspd sdkFssprd s2022年7月3日星期日hanhua71解解求求

44、 的拉氏反变换的拉氏反变换 23s +2s+3F(s) =(s+1)213111233223( )(1)(1)(1)(1)assaaF sssss2311132312132231312323(1)2(1)23(1) 0(1)123(1) 12!(1)sssssassdssasdssdssasdss122321( )(1)(1)1tttf tLt eetess2022年7月3日星期日hanhua72nExample: RC network, determine outputn1、Laplace transfer:rccuudtduRC tuc sUsUUssURCrccc0 0crccRCusU

45、sUsRCsU 01cccRCusUsURCs用拉普拉斯变化求解微分方程举例：用拉普拉斯变化求解微分方程举例：2022年7月3日星期日hanhua73n2、代数方程的解放nn 3、原微分方程的解 0111crcuRCsRCsURCssU 1111011ccrcRCutLUsLUsLuRCsRCs ssUr1 tRCctRCceuetu1101 2022年7月3日星期日hanhua742022年7月3日星期日hanhua75 振型振型控制系统微分方程的特征根的指数微分方程的特征根的指数形式形式 ， .returnte12te,2iiittte,te,t e,每一种模态代表一种类型的运动形态，齐次

46、微分方程的通解则是它们的线性组合。模态由什么决定？系统的行为与模态有何关系？有何意义？1,ststrstetete重根则：j 复根：ttecost,esint则有：1ns ts t:e ,e单根2022年7月3日星期日hanhua76 课前复习与讨论n1、对微分方程求解有何意义？非齐次方程的解说明了什么？n2、什么是运动的模态？模态能反映系统的什么？n3、能不能说模态是系统自由运动自由运动的解空间解空间的？2022年7月3日星期日hanhua77当系统的结构和参数改变时，微分方程将发生改变，此时得重新求解微分方程，计算量大！利用解微分方程来了解被控变量的运动规律合适吗？有没有更好的办法？202

47、2年7月3日星期日hanhua782.2 2.2 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型 (Plural domain mathematical models)(Plural domain mathematical models)n2.2.1 2.2.1 传递函数（传递函数（Transfer function(TFTransfer function(TF）) )n2.2.2 2.2.2 传递函数的零点和极点传递函数的零点和极点n2.2.3 2.2.3 典型元件的传递函数典型元件的传递函数Return2022年7月3日星期日hanhua79 零初始条件零初始条件下，下，系统输出量系统输

48、出量的的拉氏变换拉氏变换与与输入量的输入量的拉氏变换拉氏变换之比之比。Zero initial conditions ( )( )( ) ( )( )L C tC sG sL R tR sj0s js S- S-平面平面2.2.1传递函数 (Transfer function)（重点重点）2022年7月3日星期日hanhua80)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn设设线性定常系统线性定常系统由下述由下述n阶阶线性常微分方程线性常微分方程描述：描述：( )12(2)(1)(

49、 )( )(0)(0)(0)(0)nnnnnnL cts C sscscscc 1100,00,0000,00,00nncccrrrnm零初始零初始条件？条件？11011011( )()( )nnmmnnmma sa sasaC sb sb sbsbR s2022年7月3日星期日hanhua8110111011( )( )( )( )( )mmmmmnnnnb sbsbsbC sM sG sR sa sa sasaN s10111011( )()( )nnnnmmmma sa sasaC sb sb sbsbR s由拉氏变换，并根据传递函数的定义拉氏变换，并根据传递函数的定义：得系统传递函数:

50、1011( )mmmmM sb sb sbsb1011( )nnnnN sa sa sasa2022年7月3日星期日hanhua82n1.一般为复变量 s的有理真分式函数,即 n m.且所有的系数均为实数 。用微分算符用微分算符d/dd/dt t置换置换s s，便得到相应的微分方程：，便得到相应的微分方程：2. 传递函数是一种具有与微分方程相通性的数学模型2022年7月3日星期日hanhua83n3. 3.传递传递函数只取决于取决于系统或元件的结构和参系统或元件的结构和参数数，而与，也不不反映反映系统内部的任何信息系统内部的任何信息。传递函数的由哪些因素决定？传递函数的由哪些因素决定？2022

51、年7月3日星期日hanhua840tr(t)(t)g(t)0t系统的脉冲响应系统的脉冲响应n4.传递函数G(s)的拉氏反变换拉氏反变换是脉冲响应脉冲响应g(t)g(t)。1( ) ( )g tLG s ( )1Lt ( )( ) ( ) ( )L g tG sL g tLtG(s)(t)g(t)2022年7月3日星期日hanhua85n4.若已知系统的传递函数，则可求出在不同输入作用下的系统输出（响应），输出（响应），以便以便掌握系统的性掌握系统的性质质 。n5. 传递函数便可通过实验的方法获得（测量（测量给定给定输入作用下输入作用下系统输出）系统输出）。n6.若系统没有零极点相消，传递函数完

52、整地完整地描述描述了系统的动力学行为，动力学行为，但存在零极点相消时，只但存在零极点相消时，只是对系统的一种局部描述是对系统的一种局部描述。n* 7.只适用于只适用于线性定常系统（线性定常系统（LTILTI） ，严格地，严格地说只有说只有线性定常系统线性定常系统。2022年7月3日星期日hanhua86( )8.( )( )M sG sN s特征多项式（特征多项式（characteristic polynomail）( )0N s ( )0M s 零点特征方程（特征方程（characteristic equation）特征方程的根：极点特征方程的根：极点2022年7月3日星期日hanhua87

53、n9.传递函数是单变量系统描述单变量系统描述,外部描述外部描述，对内内部其它变量部其它变量的情况却无法得知，无法得知，特别是当某些变量不能由输出变量反映时，传递函数就不能不能正确表征系统的特性正确表征系统的特性，甚至会得到错误的结果。n10.传递函数是在零初始条件零初始条件下定义的,不能反不能反映映在非零初始条件下在非零初始条件下系统的运动系统的运动；对于非零初非零初始条件始条件的系统，传递函数便不能完全表征系统不能完全表征系统的动态性能，的动态性能，但蕴含零输入响应的信息但蕴含零输入响应的信息。 n 零初始条件零初始条件下定义的传下定义的传递函数有没有递函数有没有局限性局限性？2022年7月

54、3日星期日hanhua88传递函数的实际意义传递函数的实际意义1 1）现实的控制系统多）现实的控制系统多是零初始条件是零初始条件。2 2）在输入没加入之前，认为输入恒等于零在输入没加入之前，认为输入恒等于零。3 3）指输入作用加于系统之前加于系统之前，系统是相对静止的，相对静止的，因此，系统输出量及其各阶导数输出量及其各阶导数等于零等于零。4 4）对于非零初始条件所产生的影响，可用）对于非零初始条件所产生的影响，可用叠加原叠加原理理来进行处理。来进行处理。建立传递函建立传递函数的步骤？数的步骤？2022年7月3日星期日hanhua89建立传递函数的步骤建立传递函数的步骤: : Define t

55、he system and its components and identify the input and output of the system. Formulate the mathematical model and list the necessary assumptions. Write the differential equations describing the system. Linearize the differential equation.(*) Take Laplace transform with Zero initial conditions. Dete

56、rmine the ratio output/input which is called the Transfer Function.2022年7月3日星期日hanhua90 确定确定系统的系统的输出响应输出响应 -定量分析定量分析;分析分析系统参数变化系统参数变化对输出响应的影响对输出响应的影响- -了解系了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响统参数或结构变化时系统动态过程的影响定性分析定性分析; ; 用于用于控制系统的设计控制系统的设计- -可以将对系统性能的要可以将对系统性能的要求转化为对传递函数的要求求转化为对传递函数的要求综合综合。 传递函数的传递函数的应用（重点）应用（重点）传

57、递函数的传递函数的作用？作用？2022年7月3日星期日hanhua91例例 试求以下 RLC无源网络的传递函数Uo(s)/Ui(s)。2022年7月3日星期日hanhua9222oooid uduLCRCuudtdt2( )( )( )( )oooiLCs usRCsususu s解解 RLC网络的微分方程表示为： 在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，并令( )( )oou sL u t( ) ( )iiu sL u t2( )1( )1oiusu sLCsRCs2022年7月3日星期日hanhua93122( )( )( )( )mmmacdtTtK utK Mtdt1( )( ),

58、( )1mamsKG sUsT s2( )( )( )1mmcmsKGsMsT s 如何求传递函数例例2-9 试求例2-2电枢控制直流电动机的传递函数m(s)/Ua(s)。 2022年7月3日星期日hanhua941( )( ),( )1mamsKG sUsT sReturn( )( )( )( )( )( )( )( )( )amamcmcUssG s UsGs MsG sGsMs2( )( )( )1mmcmsKGsMsT s2022年7月3日星期日hanhua95w w传递函数的零点和极点形式传递函数的零点和极点形式:*112121()()()()( ),()()()()mjjmlklk

59、iiszszszszG sKKs spspspssplknm零点（零点（zero）极点极点(pole)传递系数传递系数或根轨迹增益（根轨迹增益（ Gain）系统的系统的型号型号2022年7月3日星期日hanhua96ImRe0PoleZero2022年7月3日星期日hanhua97121222112211121121mmklllklnnvijjjijK(s)(ss)M(s)G(s)N(s)s(Ts)(T sT s) 传递函数可以写成传递函数可以写成相乘的形式相乘的形式 : :确定实数零极点确定实数零极点确定共轭复数零极点确定共轭复数零极点时间常数时间常数数学上的每一个因子都对应着物理上的一个环

60、节，称之为典型环节 *11(0)()()mnmjkjknbKGKzpa 2022年7月3日星期日hanhua98 1.传递函数传递函数的的极点极点决定了所描述系统决定了所描述系统，它由，它由系统系统而而，是，是的的.2.2.3则则极点极点为为：p p1 1= = 1 1、 p p2 2= = 2 2、z z1 1= = 3 3，对应的，对应的自由运动的模自由运动的模态为态为 e e t t和和 e e 2 2t t 。若r(t)=r1+r2e5t 即R(s)=r1/s+r2/(s+5) ，则系统则系统下的下的为：为： 2022年7月3日星期日hanhua99与输入有关与输入有关自由运动的模态自由运动的