5常用本构模型

1、非线性第5章 本构模型 2022年7月6日1如何学好这门课？带着科研问题！这门课得到什么？力学思维方法！增加互动机制，请同学讲问题！ 2通过“有限元离散”这条主线把连续介质力学、固体本构、板壳理论等众多固体力学课程贯穿起来，对多年来学习的力学知识进行有效的梳理。教材是科研中不可缺少的“百科全书”。通过数值语言描述一些抽象、艰深的力学概念，比如从结构体内力更新的角度阐述连续介质力学中Cauchy应力与转动Jaumann率的关系，使貌似复杂的力学定义原来是如此形象和自然。课程涉及到很多固体力学中的前沿问题，如材料的稳定性、任意欧拉-拉格朗日网格描述等，拓宽了视野，对博士生选题有很大启发。课程提高了

2、解决实际力学问题的能力，使得在科研中通过数值模拟迅速实现一些新想法，若到国外留学，从事博士后研究，更能体会到该课程带来的好处。3第5章 本构模型 引言应力-应变曲线 一维弹性 非线性弹性一维塑性 多轴塑性连续介质力学与本构模型41 引言 金属塑料生物材料工程材料本构关系是有限元模拟关键一环！52 应力-应变曲线 材料应力应变行为的许多基本特征可以从一维应力状态(单轴应力或者剪切)的一组应力-应变曲线中获得，多轴状态的本构方程常常基于在试验中观察到的一维行为而简单生成。 载荷位移曲线 名义应力（工程应力）给出为 定义伸长 工程应变定义为 62 应力-应变曲线 Cauchy（或者真实）应力表示为

3、以每单位当前长度应变的增量随长度的变化得到另一种应变度量 对数应变（也称为真实应变） 对材料时间求导，表达式为当一维情况，上式为变形率。 当前面积的表达式给出为真实应力应变曲线 工程应力应变曲线72 应力-应变曲线 考虑一种不可压缩材料(J1)，名义应力和工程应变的关系为真实应力(对于不可压缩材料)说明了对于本构行为应用不同泛函表达式的区别，对于同样材料取决于采用何种应力和变形的度量。 应力应变曲线的显著特征之一是非线性的度。材料线弹性行为的范围小于应变的百分之几，就可以采用小应变理论描述。82 应力-应变曲线 应力应变反应与变形率无关的材料称为率无关；否则，称为率相关。名义应变率定义为 率无

4、关和率相关材料的一维反应因为 和即名义应变率等于伸长率，例如 可以看出，对于率无关材料的应力应变曲线是应变率独立的，而对于率相关材料的应力应变曲线，当应变率提高时是上升的；而当温度升高时是下降的。92 应力-应变曲线 对于弹性材料，应力应变的卸载曲线简单地沿加载曲线返回，直到完全卸载，材料返回到了它的初始未伸长状态。然而，对于弹塑性材料，卸载曲线区别于加载曲线，卸载曲线的斜率是典型的应力应变弹性（初始）段的斜率，卸载后产生永久应变。其它材料的行为介于这两种极端之间。由于在加载过程中微裂纹的形成材料已经损伤，脆性材料的卸载行为，当荷载移去后微裂纹闭合，弹性应变得到恢复。卸载曲线的初始斜率给出形成

5、微裂纹损伤程度的信息。(a)弹性,(b)弹-塑性,(c)弹性含损伤 1011Fleck, 1994, (a) torsion; (b) tensionQ- torsion, k-torsion angle per unit length When diameter of copper wire reduced to d=12m, torsion strength increased 3 times than it d=170m. During thin beams bending test, Stolken and Evans found when the thickness from h=1

6、00m reduced to h=12.5m, the bending strength was also increased significantly. Size effect：对经典本构理论的挑战，诞生了微米尺度的应变梯度塑性理论，如MSG12Since the strain is non-local, which could not be obtained at a single integration Gauss point. The ABAQUS User Element is developed to calculate the non-local strain gradient

7、 plasticity.Strain gradient theories(Uchic et al., Science, 2004)Compression for micro-pillarsBy performing uniaxial compression tests for micro-pillars of Ni having diameters from 150 nm to 40m, the size dependent and dislocations escape from free surfaces are found. The thinner is harder, although

8、 there is no strain gradient.13Dislocation source starvation14Movie 1Movie 2ZW. Shan et al, Nature Materials,2008Microstructure and sample geometry:Defects free pillar, Diminishing of the taper angle without apparent shearing and bucklingMechanical data: Test 1: Fluctuation force increase following

9、by dominant elastic responseTest 2: dominant elastic response followed by fluctuation force increaseDislocation nucleation/annihilate rate!Compression of micro-pillar15(a) The initial annealed dislocation network in the single crystal copper got by an energy minimization process. (b) FE mesh, the co

10、nstant stress rate is applied on the top surface along 001 direction.Volume averaged compression stress-strain curve of Cu single-crystal micro-pillar; A, B, C is a typical microstructure corresponding to three different stages.3 一维弹性 弹性材料的基本性能是应力仅依赖于应变的当前水平。这意味着加载和卸载的应力-应变曲线是一致的，当卸载结束时材料恢复到初始状态。称这种

11、应变是可逆的。而且，弹性材料是率无关的(与应变率无关)。弹性材料的应力和应变是一一对应的。小应变 可逆和路径无关默认在变形中没有能量耗散，在弹性材料中，储存在物体中的能量全部消耗在变形中，卸载后材料恢复。 对于一维弹性材料，可逆、路径无关、无能量耗散是等价的特征。对于二维和三维弹性，以及超弹性材料，也类似。对于任意应变，不管如何达到应变值，上式给出唯一应力值。 163 一维弹性 应变能一般是应变的凸函数，例如， (a)凸应变能函数 (b)应力应变曲线 当 公式的等号成立。 凸应变能函数的一个例子如图所示。在这种情况下，函数是单调递增的，如果w 是非凸函数，则 s 先增后减，材料应变软化，这是非

12、稳定的材料反应， 如右下图。(a)非凸应变能函数(b)相应的应力应变曲线 17大应变 从弹性推广到大应变，只要选择应变度量和定义应力（功共轭）的弹性势能。势能的存在是默认了可逆、路径无关和无能量耗散。如 3 一维弹性 在弹性应力-应变关系中，从应变的势函数可以获得应力为超弹性。如一维大应变问题，以Green应变的二次函数表示 对于小应变问题，即为胡克定律。18大应变 一种材料的Cauchy应力率与变形率相关，称为次弹性。这种关系一般是非线性的，给出为 3 一维弹性 一个特殊的线性次弹性关系给出为对上式的关系积分，得到 这是与路径无关的超弹性关系。对于多轴问题，一般次弹性关系不能转换到超弹性，它

13、仅在一维情况下是严格路径无关的。然而，如果是弹性小应变，其行为足以接近路径无关的弹性行为。因为次弹性的简单性，公式 的多轴一般形式常常应用在有限元软件中，以模拟大应变弹塑性的弹性反应。194 非线性弹性 Kirchhoff材料式中 C 为弹性模量(切线模量)的四阶张量，对Kirchhoff材料是常数，代表了应力和应变的多轴状态。它可以完全反映材料的各向异性。 许多工程应用包括小应变和大转动。在这些问题中，大变形的效果主要来自于大转动，如直升机旋翼、船上升降器或者钓鱼杆的弯曲。 由线弹性定律的简单扩展即可以模拟材料的反应，但要以PK2应力代替其中的应力和以Green应变代替线性应变，这称为Sai

14、nt-Venant- Kirchhoff材料，或者简称为Kirchhoff材料。最一般的Kirchhoff模型为204 非线性弹性 式中C为弹性模量的四阶张量，有81个常数。利用对称性可以显著地减少常数。 一般的四阶张量有3481个独立常数，与全应力张量的9个分量和全应变张量的9个分量有关。 如次弹性本构方程214 非线性弹性 利用势能表示的应力应变关系和Green公式， 故有 应力张量和应变张量均为对称张量（次对称性: ），即 这样C为对称矩阵（主对称性: )， 在81个常数中有45个是独立的。成为上三角或下三角矩阵。 224 非线性弹性 应力张量和应变张量均为对称张量（次对称性），即 再利

15、用模量的主对称性使独立弹性常数的数目减少，由36个常数减少为21个，为各向异性材料。 应力和应变张量的对称性要求应力的6个独立分量仅与应变的6个独立分量有关，由弹性模量的局部对称结果，独立常数的数目减少到36个。 234 非线性弹性 写成矩阵形式为（可以是上或下三角矩阵） 当材料有一个对称面时，假设为X1平面这样由21个常数减少到13个。 24 对于一个由三个彼此正交的对称平面组成的正交材料，仅有9个独立弹性常数，Kirchhoff应力应变关系为材料对称坐标平面，为正交各向异性体4 非线性弹性 对于各向同性材料，仅有2个独立常数 254 非线性弹性 横观各向同性正交各向异性264 非线性弹性

16、对于各向同性的Kirchhoff材料，其应力应变关系可以写成为式中Lam常数，体积模量K，杨氏模量 E和泊松比的关系为 材料对称的一个重要的例子是各向同性。一个各向同性材料没有方位或者方向的选择，因此，以任何直角坐标系表示的应力应变关系是等同的。对于小应变的许多材料(如金属和陶瓷)可以作为各向同性进行模拟。张量C是各向同性的。在任何坐标系中，一个各向同性张量有相同的分量。Kirchhoff材料274 非线性弹性 Kirchhoff应力 由Jacobian行列式放大，称它为权重Cauchy应力。对于等体积运动，它等同于Cauchy应力。 次弹性材料次弹性材料规律联系应力率和变形率。 上式是率无关

17、、线性增加和可逆的。对于有限变形状态的微小增量，应力和应变的增量是线性关系，当卸载后可以恢复。然而，对于大变形能量不一定必须守恒，并且在闭合变形轨迹上的作功不一定必须为零。次弹性规律主要用来代表在弹-塑性规律中的弹性反应(弹性变形小)，且耗能效果也小。 Question: What is the difference between rate-form and rate dependence?284 非线性弹性 超弹性材料 平衡方程是以物体中应力的形式建立的，应力来源于变形，如应变。如果本构行为仅是变形的当前状态的函数，为与时间无关的弹性本构。而对于接近不可压缩的材料(泊松比0.495)，仅依

18、赖变形（应变）不一定能够得到应力。 储存在材料中的能量（功）仅取决于变形的初始和最终状态，并且是独立于变形（或荷载）路径，称这种弹性材料为超弹性（hyper-elastic）材料，或者为Green弹性，例如常用的工业橡胶。动物的肌肉、细胞也具有超弹性的力学性质。这里主要讨论橡胶材料的超弹性力学行为。294 非线性弹性 超弹性材料 对于功独立于荷载路径的弹性材料称之为超弹性（Green弹性）材料。超弹性材料的特征是存在一个潜在（或应变）能量函数，它是应力的势能： 通过适当转换获得了对于不同应力度量的表达式 由于变形梯度张量F是不对称的，因此名义应力张量P的9个分量是不对称的。 在橡胶大变形中应用

19、多项式模型和Ogden指数模型。304 非线性弹性 超弹性材料 世界半数以上的橡胶是合成橡胶。合成橡胶的种类很多，例如，制造轮胎使用的丁苯橡胶（苯乙烯和丁二烯的共聚物）或乙丙烯橡胶（ERP）；用于汽车配件的有氯丁橡胶及另一种具有天然橡胶各种性能的异戊橡胶。 在众多的合成橡胶中，硅橡胶是其中的佼佼者。它具有无味无毒，不怕高温和严寒的特点，在摄氏300度和零下90度时能够“泰然自若”、“面不改色”，仍不失原有的强度和弹性。例如生物材料。 橡胶是提取橡胶树、橡胶草等植物的胶乳，加工后制成的具有弹性、绝缘性、不透水和空气的材料。在半个世纪前，“橡胶”一词是专指生橡胶，它是从热带植物巴西三叶胶的胶乳提炼

20、出来的。314 非线性弹性 超弹性材料 1839年，Charle Goodyear发明了橡胶的硫化方法，其姓氏现在已经成为国际上著名橡胶轮胎的商标。 从19世纪中叶起橡胶就成为一种重要的工程材料。然而，橡胶材料的行为复杂，不同于金属材料仅需要几个参数就可以描述材料特性。橡胶受力以后，变形是伴随着大位移和大应变，其本构关系是非线性的，并且在变形过程中体积几乎保持不变。 现在，可以借助计算机对超弹性材料的工程应用进行深入研究以及优化设计。可以用有限元等数值方法来计算分析橡胶元件的力学性能，包括选取和拟合橡胶的本构模型，以及用有限元建模和处理计算结果等。32固体橡胶材料的拉伸试验曲线与材料演化模型

21、固体橡胶是几乎不可压缩的，其泊松比接近于0.5。可逆，大应变。初始各向同性，应变增加后分子定向排列。超弹性材料 常用的橡胶性态可分为固体橡胶和泡沫橡胶。33超弹性材料 一般将多孔橡胶或弹性泡沫材料统称为泡沫材料。弹性泡沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海绵、包装材料等。 泡沫橡胶是由橡胶制成的弹性泡沫材料，能够满足非常大的应变要求，拉伸时的应变可以达到500或更大，压缩时的应变可以达到90或更小。与固体橡胶的几乎不可压缩性相比，泡沫材料的多孔性则允许非常大的体积缩小变形，因此具有良好的能量吸收性。泡沫橡胶材料的多面体微元模型 a) 开放腔室，b) 封闭腔室泡沫橡胶材料的应力-应变曲线 a)压缩

22、b)拉伸34典型固体橡胶材料单轴拉伸应力-应变曲线 橡胶本构模型 4 非线性弹性 35 常用的橡胶力学性能描述方法主要分为两类，一类是基于热力学统计的方法，另一类是基于橡胶为连续介质的唯象学描述方法。 热力学统计方法的基础为观察到橡胶中的弹性恢复力主要来自熵的减少。橡胶在承受荷载时分子结构无序，熵的减少是由于橡胶伸长使得橡胶结构由高度无序变得有序。由对橡胶中分子链的长度、方向以及结构的统计得到本构关系。橡胶本构模型 唯象学描述方法假设在未变形状态下橡胶为各向同性材料，即长分子链方向在橡胶中是随机分布的。这种各向同性的假设是用单位体积（弹性）应变能函数（U）来描述橡胶特性的基础，其本构模型为多项

23、式形式模型和Ogden形式模型。36定义伸长 工程应变定义为 二阶张量基本不变量 小变形，有 小变形 橡胶本构模型 4 非线性弹性 37小变形 以多项式形式本构模型为例，其应变能密度表达式为忽略二阶及二阶以上微量，变为弹性常数为 当 橡胶本构模型 4 非线性弹性 38例题 在超弹性计算中，橡胶使用三次减缩多项式应变能本构模型，应变能密度表达式为若取(单位为MPa)，求材料弹性常数。 利用公式解：解出橡胶的弹性常数为 ， E=2.768MPa，= 0.5 小变形 橡胶本构模型 4 非线性弹性 39典型的本构模型为多项式形式，其应变能密度表达式为特殊形式可以由设定某些参数为0来得到。如果所有 则得

24、到减缩多项式模型 对于完全多项式，如果, 则只有线性部分的应变能量，即Mooney-Rivlin形式橡胶本构模型 40，则得到Neo-Hookean形式 对于减缩多项式，如果 Mooney-Rivlin形式和Neo-Hooken形式本构模型（后者是将Hooke定律扩展至大变形）橡胶本构模型 41Yeoh形式本构模型是 时减缩多项式的特殊形式 典型的S形橡胶应力-应变曲线 ，C10正值，在小变形时为切线模量；C20为负值，中等变形时软化；C30正值，大变形时硬化。橡胶本构模型 42Ogden形式本构模型 Arruda-Boyce形式本构模型 Van der Waals模型 橡胶本构模型 其他形式

25、的本构模型有：43试验拟合本构模型系数 橡胶类材料的本构关系除具有超弹性、大变形的特征外，其本构关系与生产加工过程有直接关系，如橡胶配方和硫化工艺。确定每一批新加工出来的橡胶的本构关系，都要依赖于精确和充分的橡胶试验。44 通常在试验中应该测得在几种不同荷载模式下的应力-应变曲线，这样可以选择出最合适的本构模型以及描述这种模型的参数。 同一种橡胶材料的三种拉伸变形状态的应力-应变曲线图，对比试验曲线，由最小二乘法拟合多项式本构模型中的系数。试验拟合本构模型系数45试验拟合本构模型系数 给出实验数据，应力表达式的系数通过最小二乘法拟合确定，这样可以使得误差最小。即对于n 组应力-应变的试验数据，

26、取相对误差E 的最小值，拟合应力表达式中的系数，得到理论本构模型。按照本构关系与伸长率对应的应力表达式 实验数据中的应力值 46确定材料常数的经验公式 试验拟合本构模型系数 对于已经成型的橡胶元件，通常不容易通过上述试验来确定其材料常数。经验公式是通过橡胶的IRHD硬度指标来确定材料的弹性模量和切变模量，再由材料常数和弹性模量的关系来确定材料常数。基本公式为（小应变条件）将得到的材料常数代入Mooney-Rivlin模型进行计算。 例子 采用氢化丁腈橡胶H-NBR75，硬度为75MPa，解得 47Part1Part3部分解析解与FEA解径向应力的比较 Part3部分解析解与FEA解环向应力的比

27、较 平面应变问题发生体积自锁过盈量1.9mm ，应力非常大，原因是平面应变模型Part3钢Part2橡胶 RsPart1钢Rr b过盈面工程实例：橡胶减震轴过盈配合的解析解和有限元解平面应变模型48Part3钢Part2橡胶 RsPart1钢Rr b过盈面橡胶减震轴过盈配合的解析解和有限元解广义平面应变和平面应力模型过盈量1.9mm ，应力非常大，原因是平面应变模型橡胶和钢环的解析解与FE解的径向应力比较 广义平面应变平面应力问题不发生体积自锁平面应变模型发生体积自锁邹雨、庄茁、黄克智，工程力学，2004，21(6): 72-7549 由于大型有限元软件的迅速发展，使得复杂的超弹性模型计算过程

28、由计算机程序完成，在ABAQUS等商用软件中给出了具体的计算。用户要熟悉如何输入数据文件，根据试验数据拟合和选用合适的本构模型，如何处理输出结果并检验其是否正确。对于初学者来说，商用软件是一个“黑匣子”，因此，掌握超弹性材料模型理论和计算方法是取得仿真成功的关键。结论与讨论-1 需要注意的是，对于不可压缩材料的平面问题，无论是解析解还是数值解，均不能采用平面应变解答。因为对于不可压缩材料，如果采用平面应变模型，其体积不变，内力为不确定量，在有限元中的节点位移不能反映单元内力的变化。对于不可压缩材料或者接近于不可压缩材料的平面问题，务必应用平面应力（或者广义平面应变）解答。50Hypo: Cau

29、chy (Eulerian) Stress (objective) rate is linear homogeneous function of deformation rate.Elastic (Cauchy Elastic)Possesses a homogeneous stress free state, and has a finite neighborhood of this state wherein there is a one-to-one correspondence between Cauchy (Eulerian stress) and Almansi strain. N

30、o strain energy potential required.Hyperelastic (Green Elastic):Commonly presupposes adiabatic motion. Internal energy is an analytic function of the Green-Lagrange strain (formed with respect to a homogeneous natural state).Usually one-to-one correspondence of stress and strain required.结论与讨论-2Hypo

31、 Elastic 0, ； ，给出应变率的表达式为 率敏感指数685 一维塑性 应变软化 单调凸本构曲线不再成立。应变软化如何加载？位移加载696 多轴塑性 从前面的一维塑性本构关系生成到多轴情况。 给出一般处理大应变的次弹性塑性本构关系，这些公式典型的基于分解变形率张量成为弹性和塑性部分的和并取弹性反应作为次弹性。 给出特殊形式如金属塑性的J2流动理论、土壤塑性的Drucker-Prager模型、含孔隙固体塑性的Gurson本构模型，作为一种特殊情况，给出了从一般的大应变公式退化到小应变的情况。 自学：描述了修正率无关的结果而获得率相关塑性(粘塑性)的情况。讨论了根据变形梯度的多项式分解使大

32、变形塑性公式成为弹性和塑性部分。弹-塑性行为是基于弹性反应的超弹性表示。也考虑了单晶塑性的特殊情况，以及粘弹性本构。 706 多轴塑性 当弹性应变小于塑性应变时，一般应用次弹性-塑性模型。对于次弹性材料在变形闭合回路中能量是非保守的。然而，对于弹性小应变，能量误差是不显著的，并且弹性反应的次弹性表述常常是合适的。在这些本构模型中，假设分解变形率张量D为次弹性塑性材料 根据Cauchy应力与弹性反应特别是应用Jaumann率的形式，一个模型的弹性反应是对于变形率的弹性部分应用次弹性定律塑性流动率给出为 标量塑性流动率 塑性流动方向 716 多轴塑性 塑性流动方向取决于Cauchy应力和内部变量

33、q ，次弹性塑性材料 标量内部变量的例子是累积等效塑性应变和孔洞体积分数。运动硬化模型的背应力是一个二阶张量内部变量的例子。对于大多数塑性模型需要内部变量的演化方程，可以特设为作为一维情况，加载卸载条件可以写为一致性条件的率形式 通过下面的一致性条件获得塑性参数的演化方程。屈服条件为对于塑性加载 其应力状态必须保持在屈服面上 对于弹性加载或者卸载 没有塑性流动。 726 多轴塑性 通过链规则扩展给出一致性条件 次弹性塑性材料 认为塑性流动是关联的，否则，认为是非关联的。 如果塑性流动方向是与屈服面的法线成比例， 对于膨胀材料和含孔隙塑性固体，如Gurson模型，大的膨胀伴随着塑性变形，J1不再

34、有效，在这种情况下，最好将屈服函数表示成Cauchy应力的形式，并且导致切线刚度不是对称的。Kirchhoff应力公式类似于Cauchy应力公式，并且可以从框5.5中以Kirchhoff应力处处代替Cauchy应力获得。 Kirchhoff应力与Cauchy应力的关系： 736 多轴塑性 次弹性塑性材料 UMAT?746 多轴塑性 Tresca屈服准则Mises屈服准则在有限元程序中一般应用哪种屈服准则？为什么？Tresca屈服准则756 多轴塑性 基于von Mises屈服面的J2流动模型，特别适用于金属塑性，而且也是为此发展的。该模型的关键假设是压力对在金属中的塑性流动没有影响，这已被试验

35、证明。屈服条件和塑性流动方向是基于应力张量的偏量部分。利用Mises等效应力将观察到单轴应力行为生成到多轴应力状态(另可处理生成剪切行为)，见框5.6。 J2塑性流动理论 上面展示的各向同性硬化公式可以扩展到运动硬化结合各向同性硬化，即混合硬化。在多轴大应变运动硬化模型中，需要背应力张量的客观性。 对于材料如土壤和岩石，摩擦和膨胀效果是明显的。流动模型J2不适合这些材料，为此而发展了代表材料摩擦行为的屈服函数。在这些材料中，塑性行为取决于压力，相比之下的von Mises塑性独立于压力。因此，对于摩擦材料，关联塑性律常常是不适当的。76摩擦滑移屈服表面 6 多轴塑性 Mohr-Coulomb本

36、构模型 滑移方向（塑性流动）是水平的（沿Q的方向）而不是垂直屈服面。这是非关联塑性流动的例子。对于连续体和多轴应力应变状态的行为，M-C准则具有普适性。它应用于模拟颗粒状的土壤和岩石。 M-C准则是基于这样的概念，即当任意面上的切应力和平均法向应力达到临界组合时在材料中发生屈服 c是内聚力，通过 定义材料内摩擦角。 776 多轴塑性 Mohr-Coulomb屈服行为Mohr-Coulomb屈服表面Drucker-Prager屈服表面 在Mohr平面上的两条直线(对称)代表了方程式，它们是Mohr圆的包络，并称为Mohr破坏或者失效包络。假设主应力 应力状态屈服准则Mohr-Coulomb本构模

37、型786 多轴塑性 考虑 的特殊情况并让 ，代表剪切屈服强度， 上式成为 即为Tresca准则。 在Tresca和M-C屈服表面上的直线线段便于塑性问题的解析处理。然而，从计算的观点看，夹角使得本构方程难以建立(例如，计算屈服面的法线)。通过改进von Mises屈服准则结合压力的影响，Drucker-Prager屈服准则避免了与夹角有关的问题： 这是一个光滑圆锥的方程， 为等效Cauchy应力，选择常数有 D-P屈服表面通过了M-C屈服表面上的内部或者外部顶点（取加号对应于内部顶点，而取减号对应于外部顶点）。Drucker-Prager屈服准则796 多轴塑性 Gurson本构模型(1977

38、)的发展是为了模拟通过空穴形核和长大的累积微观破裂，它被扩展应用于模拟金属的延性破裂(例如，Tvergaard和Needleman，1984)。可以推导出模型的不同形式，例如，模型的小应变率无关塑性形式，考虑了延性钢材中的起始裂纹。这里展示大变形、次弹性、率无关塑性形式。Needleman(1983) 给出了率相关公式。含孔隙弹塑性固体：Gurson模型 材料包含基体和空穴，应用体积分数f(在本节中，用表示屈服函数，用f表示空穴体积分数)，空穴体积分数和基体材料的累积塑性应变是模型中的内变量。本构模型的起点是对变形率张量分解成为弹性和塑性部分后求和。在次弹性应力率关系中采用Cauchy应力的J

39、aumann率(模量一般取常数和各向同性)，并且塑性流动方程基于Cauchy应力，应用Mises屈服条件。806 多轴塑性 屈服函数作为塑性流动的势，因此这一理论是关联的。给出屈服条件为含孔隙弹塑性固体：Gurson模型 有效宏观Cauchy应力和偏量Cauchy应力分别为：注意ff 是在材料完全丧失承载能力时的空穴体积分数。f * 空穴体积分数的函数， 是基体材料中的等效应力，在TvergaardNeedleman方法中，当空穴体积分数达到临界值fc 时，引入修正后并给出为 816 多轴塑性 在材料中空穴的增加是由于已存在空穴的长大和新空穴的形核，可以写成含孔隙弹塑性固体：Gurson模型

40、在不可压缩的基体中（忽略弹性应变的微小贡献），由空穴长大的运动和应用宏观塑性流动法则，得到空穴长大的表达式为形核是要考虑到控制应变和应力，这里忽略了形核。 通过使宏观和微观的塑性功率相等，获得累积等效塑性应变的演化表达式， 82率无关塑性的图形返回算法 应力-应变反应与变形率无关的一种材料称为率无关；否则为率相关。小应变、率无关弹-塑性的本构方程为 ， Kuhn-Tucker条件，上面第一个条件表明塑性率参数是非负的，第二个条件表明当塑性加载时，应力状态必须位于或限制在塑性表面上 ，最后条件也可以作为由已知一致性条件的率形式。塑性流动方向经常特指为，这里称为塑性流动势 屈服条件 标量塑性流动率

41、塑性流动方向h 塑性模量 q 内变量 6 多轴塑性 83）应力状态必须保持在屈服面因此。对于弹性加载或者卸载，没有塑性流动。对于塑性加载（率无关塑性的图形返回算法 上，在时刻n 给出一组 和应变增量本构积分算法的目的是计算n+1时刻的并满足加-卸载的一致性条件。 在n+1时刻的应力给出为求解的一致性条件给出 因此有一致性条件， 。84 设想应用这个塑性参数值以提供更新的应力率、塑性应变率和内变量率，写出简单的向前Euler积分公式算法率无关塑性的图形返回算法 但在下一步，这些应力和内变量的更新值并不满足屈服条件，有 由于解答从屈服表面漂移，常常导致不精确的结果，因此不受人青睐。公式也称为切线模

42、量更新算法，它是计算率无关塑性早期工作的基础。85率无关塑性的图形返回算法(return mapping algorithms) 于是考虑另外一些方法进行率本构方程的积分，目的是强化在时间步结束时的一致性，使得 为避免离开屈服面的漂移。有许多不同的积分本构算法，这里主要关注一类方法图形返回算法，它是强健和精确的，被广泛应用。著名的von Mises塑性径向返回方法是该算法的特例。 图形返回算法包括： 一个初始弹性预测步，包含（在应力空间）对屈服表面的偏离，和一个塑性调整步，使应力返回到更新后的屈服表面。 方法的两个组成部分是：一个积分算法，它将一组本构方程转换为一组非线性代数方程，一个对非线性

43、代数方程的求解算法，该方法可基于不同的积分算法，例如生成梯形法则，生成中点法则或者Runge-Kutta方法。基于向后Euler算法，考虑一个完全隐式方法和一个半隐式方法。86完全隐式的图形返回算法 在完全隐式的向后Euler方法中，在步骤结束时计算塑性应变和内变量的增量，同时强化屈服条件，这样积分算法为公式是一组关于求解的非线性代数方程。注意到更新变量来自前一个时间步结束时的收敛值，这就避免了非物理意义的效果，例如当用不收敛的塑性应变和内变量值求解路径相关塑性方程时可能发生的伪卸载。 在时刻n 给出一组 和应变增量87通过方程系统的解答获得了应变在时刻n 1， 完全隐式的图形返回算法 如果解

44、答过程是隐式的，可以理解应变是在隐式解答算法的最后迭代后的总体应变。 塑性应变增量给出为 代入表达式 关联塑性的最近点投射方法 88是弹性预测的试应力是塑性修正量，它沿着一个方向，即规定为在结束点处塑性流动的方向，返回或者投射试应力到适当更新的屈服表面（考虑硬化）。 而数值完全隐式的图形返回算法 由总体应变的增量驱动弹性预测状态，而由塑性参数的增量驱动塑性修正状态。因此，在弹性预测阶段，塑性应变和内变量保持固定；而当塑性修正阶段，总体应变是不变的。在弹性预测阶段，由公式得到的结果为关联塑性的最近点投射方法 其中89完全隐式的图形返回算法 非线性代数方程组解答一般由Newton过程求解。基于分类

45、线性化方程组的Newton过程和根据最近投射点的概念引导塑性修正返回到屈服表面。在算法的塑性修正阶段中，总体应变是常数，线性化是相对于塑性参数增量在Newton过程中应用下面的标记：关于一个方程的线性化，并有在第k次迭代时记为 为适合Newton迭代，以上面形式写出塑性更新和屈服条件，省略n+1脚标 90完全隐式的图形返回算法 这组方程的线性化给出 3个方程可以联立求解 这样，塑性应变、内变量和塑性参数更新是 Newton过程是连续计算直至收敛到足以满足准则的更新屈服表面。这个过程是隐式的，其复杂性在于需要塑性流动方向的梯度，不适合复杂的本构模型。脚标为偏导数 一致性条件：在加卸载过程中，材料的应力点始终处于屈服面上91应用于J2流动理论径向返回算法 小应变时的弹-塑性本构关系和框5.6的J2 流动理论，注意到塑性流动方向是在偏应力的方向，给出为 J2塑性流动理论基于Mises屈服面，它特别适用于金属塑性，该模型的关键假设是压力对在金属中的塑性流动没有影响；屈服条件和塑性流动方向是基于应力张量的偏量部分。它也是屈服表面的法向，即 在偏应力空间(平面)，Mises屈服表面是环状，法向是径向。在塑性流动方向(径向)定义一个单位法向矢量为92应用于J2流动理论径向