第5章-课件-5-5(5.5曲面及其方程)

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A5 5. .5 5 曲面及其方程曲面及其方程5 5. .5 5 曲面及其方程曲面及其方程5.5.2 曲面方程的概念曲面方程的概念 5.5.1 曲面方程引例曲面方程引例5.5.3 旋转曲面及习例旋转曲面及习例6-75.5.4 柱柱 面面5.5.5 二次曲面二次曲面习习 例例1-5概概 念念椭球面椭球面抛物面抛物面马鞍面马鞍面锥面锥面双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面曲面及其方程曲面及其方程小结与思考题小结与思考题 引例：在空间直角坐标系中，球心在引例：在空间直角坐标系中，球心在 ，半径为半径为 R R 的球面上的点的

2、球面上的点 满足什么条件？满足什么条件？一、曲面及其方程引例一、曲面及其方程引例0000(,)P xyz点点 到到 的距离等于定值的距离等于定值R R，即，即，构成一个中心轴为构成一个中心轴为Z Z轴的单位圆柱面轴的单位圆柱面. .引例：在空间直角坐标系中，满足引例：在空间直角坐标系中，满足 的点的点构成什么图形？构成什么图形？ ( , , )P x y z( , , )P x y z0000(,)P xy z2222000()()()x xy yz zR 221xy水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何

3、轨迹曲面方程曲面方程的定义的定义(定义定义5.5.1 )：曲面的实例很多：曲面的实例很多：1. 曲面方程的概念曲面方程的概念二、曲面及其方程二、曲面及其方程如果曲面如果曲面S与三元方程与三元方程F(x,y,z)=0有下述关系：有下述关系：(1)曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；(2)不在曲面不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；那么，方程那么，方程F(x,y,z)=0就叫做曲面就叫做曲面S的方程，的方程，而曲面而曲面S就叫做方程的图形就叫做方程的图形 研研究空间曲面有究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面

4、形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程例例1 建立球心在建立球心在 M0(x0, y0, z0), 半径为半径为 R 的球面的方程的球面的方程.例例 2 2 求求与与原原点点O及及)4 , 3 , 2(0M的的距距离离之之比比为为2:1的的点点的的全全体体所所组组成成的的曲曲面面方方程程.例例 3 3 已知已知)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求线段，求线段AB的的垂直平分面的方程垂直平分面的方程.例例4 4 方程方程 的

5、图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz例例5 求求 表示的曲面，其中表示的曲面，其中 为常数。为常数。2220 xyzDxEyFzG,DEFG 2. 曲面及其方程习例曲面及其方程习例以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面. .例例1 建立球心在建立球心在 M0(x0, y0, z0), 半径为半径为 R 的球面的方程的球面的方程.解：解：M0ROxyzM根据图形知，球面上任一点根据图形知，球面上任一点M到球心的距离为到球心的距离为R.即即 |M0M|=R.设设M点坐标为点坐标为(x, y, z)，则根据两点间距离计算公式则根据两点间距离计算公式,)()()(202020

6、Rzzyyxx或或.)()()(2202020Rzzyyxx(5.1)反之反之, 任取任取 (x, y, z) 满足满足 (5.1). 则则 M(x, y, z) 到到 M0的距离为的距离为 R. 故故 (x, y, z) 在球面上在球面上. 因此因此 (5.1) 即为即为所求球面的方程所求球面的方程.-球面标准方程球面标准方程特殊地特殊地：球心在原点时方程为：球心在原点时方程为2222Rzyx 例例 2 2 求求与与原原点点O及及)4 , 3 , 2(0M的的距距离离之之比比为为2:1的的点点的的全全体体所所组组成成的的曲曲面面方方程程.解解设设),(zyxM是曲面上任一点，是曲面上任一点，

7、,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为例例 3 3 已知已知)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求线段，求线段AB的的垂直平分面的方程垂直平分面的方程.设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解zxyo例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图

8、形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c例例5 求求 表示的曲面，其中表示的曲面，其中 为常数。为常数。2220 xyzDxEyFzG,DEFG 解解 通过配方，有通过配方，有2220 xyzDxEyFzG222222(/2)(/2)(/2)()/4xDyEzFGDEF即即222222(/2)(/2)(/2)()/4xDyEzFDEFG当当 时，方程表示的曲面为时，方程表示的曲面为以

9、以 为球心，为球心， 为半径的球面。当为半径的球面。当 时，时，球面退化为一点球面退化为一点 。当当 时，在空间中不存时，在空间中不存在坐标满足方程的点，这时常称方程所表示的在坐标满足方程的点，这时常称方程所表示的“曲曲面面”为虚球面。为虚球面。222()/40DEFG/2,/2,/2DEF222()/4DEFG222()/40DEFG/2,/2,/2DEF222()/40DEFG2220,1 . xyzaxbyczd形形如如的的二二次次方方程程 其其形形或或者者是是球球面面 或或者者是是一一或或者者不不代代表表任任理理何何形形定定图个点点图定义定义这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的

10、轴轴播放播放三、三、旋转曲面旋转曲面 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:故旋转曲面方程为故旋转曲面方程为, ),(zyxM当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时, ,0),(11zyf,), 0(111CzyM若点若点给定给定 yoz 面上面上曲线曲线 C: ), 0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz则有则有0),(22zyxf则有则有该点转到该点转到0),(zyfozyxC思考：思考：当曲线当曲线 C

11、绕绕 y 轴旋转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf例例6. 试建立顶点在原点试建立顶点在原点, 旋转轴为旋转轴为z 轴轴, 半顶角为半顶角为的圆锥面方程的圆锥面方程. 解解: 在在yoz面上直线面上直线L 的方程为的方程为cotyz 绕绕z z 轴旋转时轴旋转时, ,圆锥面的方程为圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方两边平方L), 0(zyM例例7 7 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 c

12、zyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面（ 2） 椭椭 圆圆 012222xczay绕绕y轴轴 和和z轴轴 ；绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面定义定义平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL四、柱四、柱 面面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程: :这条定曲线叫这条定曲线叫柱面的柱面的准线准线，动直线叫柱面动直线叫柱面的的母线母线. .母线母线准准线线柱面举例柱面举例xozyxozyyx22 抛物柱

13、面抛物柱面xy 平面平面yx22 xy 抛物柱面抛物柱面方程：方程：平面方程：平面方程： ),(zyxM )0 ,(1yxM从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征： 只只 含含yx,而而 缺缺z的的 方方 程程0),( yxF， 在在空空 间间 直直 角角 坐坐 标标 系系 中中 表表 示示 母母 线线 平平 行行 于于z轴轴 的的 柱柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上 曲曲线线C.（其他类推其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴x12222 byax双曲柱面双曲柱面 / 轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 / 轴轴yxzy2l一般地一般地, ,在三维空间

14、在三维空间柱面柱面, ,柱面柱面, ,平行于平行于 x 轴轴; ;平行于平行于 y 轴轴;平行于平行于 z 轴轴; ;准线准线 xoz 面上的曲线面上的曲线 l3.母线母线柱面柱面, ,准线准线 xoy 面上的曲线面上的曲线 l1.母线母线准线准线 yoz 面上的曲线面上的曲线 l2. 母线母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l椭圆柱面椭圆柱面12222 byaxxyzO双曲柱面双曲柱面12222 byaxxozy二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的三元二次方程所表示的曲面称之为曲面称之为二次曲面二次曲面相应相应地平面称为地平

15、面称为一次曲一次曲面面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面五、二次曲面五、二次曲面ozyx（一）椭球面（一）椭球面1222222 czbyax 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截

16、面的大小随平面位置的变化而变化. .椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆. .1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：122222 czayx方程可写为方程可写为与平面与平面 交线为圆交线为圆.1zz )| (1cz ,)2(cba 1222222 azay

17、ax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为（二）抛物面（二）抛物面zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1 1）用坐标面）用坐标面 曲面相截曲面相截)0( zxoy截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点)0 , 0 , 0(O设设0, 0 qp原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点. .xyzo与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 11212122zzqzypzx当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz

18、)0(1 z与平面与平面 不相交不相交. .1zz )0(1 z（2 2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得抛物线截得抛物线xyzo与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.1yy 121222yyqyzpx它的轴平行于它的轴平行于 轴轴z顶点顶点 qyy2, 0211（3）用坐标面用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得抛物线均可得抛物线. .同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.0, 0 qpxyzozxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：0, 0 qp0, 0 qp特殊地：当特殊地：当 时，方程变为

19、时，方程变为qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0( p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）xozpzx22 11222zzpzyx与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )0(1 z当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.1zzzqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设0, 0 qp图形如下：图形如下：xyzo（三）马鞍面（三）马鞍面（四）（四）双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面2222221. 1xyzabc（1）用坐标面）用坐标面 与

20、曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.)0 , 0 , 0(O 012222zbyax xyoz与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz 122122221zzczbyax（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线. 012222yczax实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.xz xyoz 122122221yybyczax双曲线的双曲线的中心中心都在都在 轴上轴上.y与平面与平面 的交

21、线为双曲线的交线为双曲线.1yy )(1by ,)1(221by x实轴与实轴与 轴平行轴平行,z虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)2(221by z实轴与实轴与 轴平行轴平行,x虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)3(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b xyoz,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得双曲线均可得双曲线.zxy单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是的截痕是两对相交直线两对相交直线.ax 双叶双曲面双叶双曲面2222222. 1xyzabc xyo（五）