广义积分的概念与计算

1、第十一章 广义积分二、无界函数的二、无界函数的广义广义积分积分常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分广义积分广义积分的概念与计算21xy A1xyO引例引例. 曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作12dxxA其含义可理解为 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1, ),)(aCxf,ab 取若xxfbabd)(lim存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分积分, 记作xxfxxfbabad)(limd)(这时称广义积分xxfad)(收敛 ;如果上述极限不存在,就称广义积分xxfad)(发散 .类似

2、地 , 若, ,()(bCxf则定义xxfxxfbaabd)(limd)(, ),()(Cxf若则定义xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在 , 就称xxfd)(发散 .无穷限的广义广义积分也称为第一类第一类广义广义积分积分. ,并非不定型 ,说明说明: 上述定义中若出现 它表明该广义积分发散 .,)()(的原函数是若xfxF引入记号; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛 莱公式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF.1

3、d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2xy211xyO思考思考: ?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散 !注意注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .0daxxap证证:当 p =1 时有 axxdaxlnapxxdappx11当 p 1 时有 1p1p,11pap当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .,因此, 当 p 1 时,广义积分收敛 , 其值为;11pap当 p1 时,广义积分发散 . . )0(de0ptttp解解:tppte原式00de1tptptppe12021p引例引例:曲线xy1所

4、围成的1x与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy1A1xyO, ,()(baCxf而在点 a 的右邻域内无界,0取存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称广义积分xxfbad)(收敛 ; 如果上述极限不存在,就称广义积分xxfbad)(发散 .类似地 , 若, ),)(baCxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限baxxfd)(lim0数 f (x) 在 a , b 上的广义积分（也叫瑕积分）, 则定义则称此极限为函 记作若被积函数在积分区间上仅

5、存在有限个第一类 ,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类广义积分第二类广义积分, 无界点常称邻域内无界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如,xxxd11112xxd) 1(11间断点,而不是广义积分. 则本质上是常义积分, 则定义,)()(的原函数是设xfxF计算表达式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b

6、都为瑕点, 则, ),(bac则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?112dxx211111x下述解法是否正确: , 积分收敛. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为 a , 所以原式0arcsinaax1arcsin2例例5. 讨论广义积分112dxx的收敛性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以广义积分112dxx发散 .baqaxx)(d证证: 当 q = 1 时,当 q 1 时收敛 ; q1 时发散 .baaxxdbaax ln当 q1 时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当 q 1

7、时, 该广义积分收敛 , 其值为;1)(1qabq当 q 1 时, 该广义积分发散 .解解：,)2() 1() 1()(32xxxxxf设求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx为与 的无穷间断点, 故 I 为广义xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI202d)(1)(xxfxf322d)(1)(xxfxf积分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf232222732arctan222732arctan10 1. 广义积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2. 两个重要的广义积分apxxdb

8、aqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap相转化 .例如 ,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121d122xxxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 当一题同时含两类广义积分时, 应划分积分区间,分别讨论每一区间上的广义积分.baxxfd)(v.p.),(bcac为瑕点xxfd)(v.p.xxfaaad)(limxxfxxfbccad)(d)(lim0义积分收敛 .注意注意: 主值意义下广义积分存在不等于一般意义下广思考与练习思考与练习其定义为解解0 xnnIex dx n（ 是非负整数）。000|1.xxIedxe 1n 当时，利用分部积分1000|xnxnxnnIe x dxe xne xdx 110,xnnnexdxnI0n 因此，当时，!nIn练习练习1 1当为k何值时，广义积分 2)(lndkxxx2)(ln)d(lnkxx,1时当k12)2)(ln1(1)(lnd)(kkkxxxkI,)2)(ln1()(1kkkf令求其最大值 .当k为何值时，这广义积分发散？又当k为何值时，这广义积分取得最小值？收敛？2)(lndkxxx提示：练习练习2xxxxxd11d04204, 并求其值 .解解:041dxx令xt1tttd1112014