参数估计习题课(1)

1、第八章第八章 习题课习题课一、内容概要一、内容概要1、估计量与估计值、估计量与估计值 设总体设总体 的分布函数的分布函数 形式为已形式为已知，知， 是待估参数是待估参数, 是是 的一的一个样本个样本, 是相应的一个样本值是相应的一个样本值,点估计问题就是要构造一个适当的统计量点估计问题就是要构造一个适当的统计量 用其观察值用其观察值 来估计未知参数。来估计未知参数。);( xF nXXX,21Xnxxx,21 ),(21nxxx X),(21nXXX 称为的称为的估计量估计量，称为的称为的估计值估计值。),(21nxxx 2、矩估计法、矩估计法 用样本的各阶原点矩作为总体的各阶原用样本的各阶原

2、点矩作为总体的各阶原点矩的估计而求得的求知参数的估计量称为点矩的估计而求得的求知参数的估计量称为矩估计量。矩估计量。3、极大似然估计、极大似然估计 设总体设总体 具有概率密度函数具有概率密度函数 或或分布列函数分布列函数 ， 是是 维参维参数向量，样本数向量，样本 的联合密度函数的联合密度函数X);( xf);( xp),(21m m),(21nXXX称为称为似然函数似然函数。 niinxfxxxLL121);();,()( 或者或者 niinxpxxxLL121);();,()( 假定在假定在 给定的条件下，存给定的条件下，存在在 维统计量维统计量 ),(21nxxxm),(,),(),(1

3、111nmnnXXXXXX 使得似然函数使得似然函数);,(21nxxxL在在),(21nxxx取得极大值，则称取得极大值，则称 是是 的的极大似然估计量极大似然估计量。 如果似然函数关于如果似然函数关于 可微，则使似然函可微，则使似然函数达到最大的数达到最大的 一定满足下列正则方程组：一定满足下列正则方程组： mixxLini, 2 , 1, 0| );,(ln1 4 4、估计量的衡量标准、估计量的衡量标准（1）无偏性）无偏性是是的一个估计量，如果的一个估计量，如果)(E成立，则称成立，则称是是的一个的一个无偏估计量无偏估计量。设设（2）有效性）有效性 设设 21,都是未知参数都是未知参数的

4、无偏估计的无偏估计若若)()(21DD, ,则称则称估计估计量量1较较2有效有效。若若的无偏估计的无偏估计满足满足)(1)( nID 则称则称为为的的有效估计有效估计或或最小方差无偏估计最小方差无偏估计。（3）一致性）一致性设设),(21NnXXX为未知参数为未知参数的估计量，若对任意的正数的估计量，若对任意的正数, 0有有则称则称n为为的的一致估计一致估计。1)(lim - - nnP5 5、置信区间、置信区间且且,21若对于给定的若对于给定的),10(有有则称随机区间则称随机区间 是参数是参数 的的 的的置置信区间信区间或或区间估计区间估计， 分别称为分别称为),(21-121,设总体设总

5、体X的分布中含有未知参数的分布中含有未知参数 由样本由样本,),(21nXXX构造两统计量：构造两统计量：),(2122nXXX及及),(2111nXXX,1)(21 - - P 的的置信下限置信下限和和置信上限置信上限， 称为称为置信水平置信水平-1或或置信度置信度或或置信概率置信概率。二、常见例题精解二、常见例题精解例例1 1填空题填空题 321,XXX1 1、设是来自正态总体容量、设是来自正态总体容量 为为3 3的样本，的样本，其中其中 ,21103513211XXX 32121254131XXX 3213313131XXX 则则 皆为皆为 的的321,估计，其中估计，其中_在在 的估计

6、中最有效。的估计中最有效。_ 2 2、设、设 总体服从总体服从00 上的均匀分布，其中上的均匀分布，其中 X 为未知参数，为未知参数， 为来自总体为来自总体X X的样的样0nXXX,21本，则本，则 的矩估计量是的矩估计量是 ， 的极大似然的极大似然估计是估计是 。 3 3、设总体、设总体 的概率密度是的概率密度是 X-其它01,)()1(xxxf( ( 是未知参数是未知参数) ) , 1nXXX,21为来自总体为来自总体X X的的 样本，则极大似然函数样本，则极大似然函数 L_, 的极大的极大 似然估计量是似然估计量是 _。4、设总体、设总体X服从服从 ， 已知。已知。 ),(2N2nXXX

7、,21为来自总体为来自总体X的样本，则的样本，则 的置信度为的置信度为 的的置信区间是置信区间是 。 -15、设总体、设总体X服从分布服从分布 ，其中，其中 为未知参为未知参数，为固定的整数，则数，为固定的整数，则 的极大似然估计量是的极大似然估计量是 ),(pnBpnp 。 答案：答案：1.无偏估计，无偏估计， ，2. ， 3X2,max 21nXXX3. ， ； -niiXL1)1()()ln(11nxxxn4. 5 . ),(2121-nXnXnXp 解：由总体解：由总体X的概率密度函数知，似然函的概率密度函数知，似然函 数为：数为： iniixnnnixpppppL-1)1 ()1 (

8、)(11 例例2设总体设总体X的分布列为：的分布列为： ，1)1 ()(-kppkXP, 2 , 1,21kXXXn是来自总体是来自总体X的容量为的容量为的样本，求的样本，求 的极大似然估计量。的极大似然估计量。np取对数取对数 )1ln()(ln)(ln1pxnpnpLnii-令令 0)(11)(ln1-niixnppndppLd 解得极大似然估计值为：解得极大似然估计值为： xxnpnii11所以所以 p的极大似然估计量为：的极大似然估计量为： 。Xp1例例3设总体设总体X的分布列为：的分布列为： 0 1 2 3Xp2)1 (2-221-其中其中 是未知参数，利用总体是未知参数，利用总体X

9、的如的如下样本值：下样本值： 3，1，3，0，3，1，2，3，求，求 )210( 的矩估计值和极大似然估计值。的矩估计值和极大似然估计值。 解：（解：（1）利用）利用 得：得： XXE)()1 (2-222)2113333(81)21 (3-所以所以 的矩估计值为：的矩估计值为： 。 41（2）由已知似然函数为：）由已知似然函数为： 426)21 ()1 (4)(-L取对数取对数 )21ln(4)1ln(2ln64ln)(ln-L令令 0218126)(ln-dLd，解之得：，解之得： 12137-解得极大似然估计值为：解得极大似然估计值为： 12137-例例4设总体设总体X服从服从1，2，N

10、 上的均匀上的均匀分布，即分布，即nkNkXP, 2 , 11)(其中其中N是未知是未知 参数（参数（N为正整数），试求为正整数），试求N的矩估计量。的矩估计量。 解：利用解：利用 得：得： ， XXE)(XNNN1) 1(21解之得：解之得： ，所以，所以N的矩估计量为：的矩估计量为： 12-XN12-XN例例5设设 是来自总体是来自总体X的一个简单随的一个简单随机样本，机样本，X的密度函数的密度函数 ,21nXXX100, 00,ln)(-xxxfx求未知参数求未知参数 的矩估计量与极大似然估计量。的矩估计量与极大似然估计量。 解：解： 0)ln()(00-xxxxxddxxXE00dxxdxx0ln10ln-x由替换原由替换原 则则 ，得：，得： XXE)(X