工程力学课件-第2部分

1、1第第2章章 平面力系的简化平面力系的简化与平衡与平衡工程力学2第第2章章 平面力系的简化与平衡平面力系的简化与平衡平面力系平面力系作用在物体上各力的作用线都在同一平面内。工程实例：屋架、吊车：平面结构承受平面力系。工程实例：屋架、吊车：平面结构承受平面力系。P1P2FAxFAyFDDABDCP145 AP2(a)B空间对称结构承受对称的外力，可简化为平面问题。如汽车受力。空间对称结构承受对称的外力，可简化为平面问题。如汽车受力。3第第2章章 平面力系的简化与平衡平面力系的简化与平衡2.1 平面汇交力系平面汇交力系2.2 平面力偶系平面力偶系2.3 平面一般力系平面一般力系2.4 考虑摩擦时的

2、平衡问题考虑摩擦时的平衡问题2.5 静定与静不定的概念静定与静不定的概念 物体系统的平衡物体系统的平衡 本本 章章 目目 录录42.1 平面汇交力系平面汇交力系2.1.1 平面汇交力系合成和平衡的几何法平面汇交力系合成和平衡的几何法PP1P2平面汇交力系：平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。AP3P2P1A包括自重与包括自重与 液体重力液体重力5O 汇交力系中各力首尾相连，构成一个不封闭的折线汇交力系中各力首尾相连，构成一个不封闭的折线Oabcd，称为称为不封闭的力多边形不封闭的力多边形（力链）。合力为力多边形的封闭边（力

3、链）。合力为力多边形的封闭边Od，方向从第一个力的起点指向最后一个力的终点。方向从第一个力的起点指向最后一个力的终点。力的可传性力的可传性合力大小与分力的次序无关合力大小与分力的次序无关。1F2F3F4FO1F2F3F4FOacdbRF1F3F4F2F1RF2RFORF1F3F4F2FORF2.1 平面汇交力系平面汇交力系2.1.1 平面汇交力系合成和平衡的几何法平面汇交力系合成和平衡的几何法1.合成的几何法合成的几何法6O力的可传性力的可传性1F2F3F4FO1F2F3F4FORF1F3F4F2FORF合力可以表示为：合力可以表示为： 41iiRFF若力系为若力系为n个力，合力可以表示为：个

4、力，合力可以表示为： n1iiRFF iF汇交力系汇交力系 nFFF.,21与其与其合力合力 等效。等效。2.1 平面汇交力系平面汇交力系2.1.1 平面汇交力系合成和平衡的几何法平面汇交力系合成和平衡的几何法1.合成的几何法合成的几何法7平面汇交力系平衡的平面汇交力系平衡的充要充要条件是条件是合力为零合力为零。 n1iiR0FF力系中各力首尾相连，力多边形自行封闭。力系中各力首尾相连，力多边形自行封闭。O1F2F3F4FORF5F,FFR二二力力平平衡衡等等值值反反向向与与5 5,4321FF,F,F,F为平衡力系。为平衡力系。则则5F 平衡的几何法平衡的几何法RF1F3F4F2FO5F2.

5、1 平面汇交力系平面汇交力系2.1.1平面汇交力系合成和平衡的几何法平面汇交力系合成和平衡的几何法8（4）确定未知力的大小：确定未知力的大小：可量取长度，用比例尺换算。也可可量取长度，用比例尺换算。也可 利用三角关系求得。利用三角关系求得。b3060例例2-12-1 如图，如图，P=10kN。两杆自重不计。求两杆的受力。两杆自重不计。求两杆的受力。ABCP3060OaP （3）画力多边形：画力多边形：kNPFBA530sin 确定未知力方向：确定未知力方向：力多边形中各力的方向为实际方向，与受力图一致。力多边形中各力的方向为实际方向，与受力图一致。（5）答案：由作用反作用公理，答案：由作用反作

6、用公理，AB受受拉力拉力 5 kN；BC受受压力压力 8.66 kN。 （1）研究对象：销钉研究对象：销钉 B （2）画受力图；画受力图；FBAFBC5kN销钉销钉BB FBCFBAPCBFBCFCBBAFBAFABkNPFBC66. 830cos 选取比例尺；选取比例尺；解：解：92.1.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法平面汇交力系合成和平衡的解析法合成的解析法合成的解析法合力合力 iixiyFF iF j 平面汇交力系平面汇交力系 n321F,.,F,F,F1F2F3FnFOx11nnixiyiiFiFjRxyFF iF j 因为因为 n1iiRFF每个力每个力 合力投影定理：合力投影定

7、理：1nxixixiFFF 1nyiyiyiFFF ij2.1 平面汇交力系平面汇交力系10已知合力在直角坐标轴的投影已知合力在直角坐标轴的投影 Fx、Fy 时，可求力时，可求力FR 大小和大小和方向。方向。22RxyFFF合力的大小合力的大小合力的合力的作用点为力系的汇交点。作用点为力系的汇交点。2211nnixiyiiFF Fx 0 Fy 0 Fx 0 Fx 0 Fy 0 Fx 0 Fy 0，FRy0，所以合力指向第四象限，指向如图。，所以合力指向第四象限，指向如图。12平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的合力等于零。平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的合力等于零。 n1iiR0FF平

8、面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程平衡的解析条件：平衡的解析条件： 力系中各力在力系中各力在x、y轴上轴上 投影投影 的代数和为零。的代数和为零。 0Fxi 0Fiy22110nnRixiyiiFFF 有有2个平衡方程，个平衡方程，只能求解只能求解2个个未知量。未知量。 0 xF 0yF2.1.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法平面汇交力系合成和平衡的解析法平衡的解析法平衡的解析法2.1 平面汇交力系平面汇交力系13利用平衡方程，求解平衡问题的步骤为：利用平衡方程，求解平衡问题的步骤为：1、选选选取研究对象。选取研究对象。 应既受已知力，又受要求的力或与要求力相关的力。应既受已知力，又

9、受要求的力或与要求力相关的力。2、画画画受力图。画受力图。( (标清几何关系标清几何关系) )3、建建建立坐标系。建立坐标系。 原点可任意，使坐标轴与较多的力平行（或垂直）。原点可任意，使坐标轴与较多的力平行（或垂直）。4、列列列平衡方程。列平衡方程。 注意：不要列成左式等于右式的形式。注意：不要列成左式等于右式的形式。5、解解解平衡方程。解平衡方程。6、答答答案，必要时作出讨论或说明。答案，必要时作出讨论或说明。2.1.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法平面汇交力系合成和平衡的解析法平衡的解析法平衡的解析法2.1 平面汇交力系平面汇交力系14解：解：（3）建立坐标系：）建立坐标系：Axy0

10、xF 0yF （4）列平衡方程：）列平衡方程：（5）解得：）解得：FA= 22.4kN例例2-3 刚架如图所示，受水平力作用，刚架如图所示，受水平力作用， P=20kN，不计刚架自重，求，不计刚架自重，求A、D 处的约束反力。处的约束反力。4mBPACD8mxyPFD1255sincos（1）研究对象：刚架）研究对象：刚架（2）受力如图：）受力如图： FA cos + P= 0FA sin FD= 0FA 为负为负，表明其方向，表明其方向与图示相反与图示相反。 FD= 10kN FD为正为正，表明其方向，表明其方向与图示相同与图示相同。8m4mABCDFA15yxFBCFCBCBFBABAFA

11、BB30 FBCFBAF1F2（3）建立坐标系：建立坐标系：Bxy CABD30 60 P例例2-42-4 已知如图，不计杆和滑轮重力及滑轮大小。求二杆的受力。已知如图，不计杆和滑轮重力及滑轮大小。求二杆的受力。 0 xF 0yF（4）列平衡方程：列平衡方程：解：解：分析题意分析题意滑轮大小不计，可为点滑轮大小不计，可为点B。（1）研究对象：滑轮和销轴。研究对象：滑轮和销轴。（2）受力如图受力如图：F1cos30 FBCF2sin30 =0FBA= 0.366PFBC为正，表明其方向与图相同，为正，表明其方向与图相同，FBC与图相同，与图相同，BC受压。受压。FBC= 1.366PFBA为负，

12、表明其方向与图相反，为负，表明其方向与图相反，FBA与图相反，与图相反，AB受压。受压。（5）解得：解得：BF230 FBCFBA30 F1F1=F2=PF1sin30 F2cos30FBA=0162.2 平面力偶系平面力偶系2.2.1平面力偶系的合成平面力偶系的合成BAdF1F1d1d2F2F2FF3 F4F2 d2F4 d m = Fd =（F3F4）d F3F3F4F4F1d1F3 d= m1 + m2= F1d1F2d2 设同一平面内有两个力偶设同一平面内有两个力偶（F1，F1）、（）、（F2，F2），），力偶臂力偶臂分别为分别为d1、d2，力偶矩分别为力偶矩分别为 m1= F1d1

13、、m2=F2d2 。求它们的合求它们的合成结果。成结果。 dFF BA17 平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于各个力平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。偶矩的代数和。1niimm2.2.2 平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡10niim只有一个平衡方程，只能求解只有一个平衡方程，只能求解一个一个未知量。未知量。 平面力偶系平衡的必要与充分条件：所有各力偶矩的代平面力偶系平衡的必要与充分条件：所有各力偶矩的代数和等于零。数和等于零。2.2 平面力偶系平面力偶系2.2.1平面力偶系的合成平面力偶系的合成1845 ABRAC（2 2） 受力如图。受力如图。（1）研

14、究对象：）研究对象：AB（3 3）列平衡方程：列平衡方程：（5 5）由力偶的特点，）由力偶的特点，A点反力点反力RA=RB，方向如图。，方向如图。l45sinRB 0im 2BmRl0m（4 4）解方程解方程解解ADRCAmlRARBB例题例题2-5 已知如图：求已知如图：求A点点和和B点的点的约束力。约束力。m45 ADl19例例2-6 用多轴钻床在水平工件上钻孔时，每个钻头对工件施加一压力用多轴钻床在水平工件上钻孔时，每个钻头对工件施加一压力和一力偶，如图所示。已知三个力偶矩分别为：和一力偶，如图所示。已知三个力偶矩分别为： m1m210Nm，m320Nm。固定螺钉。固定螺钉A、B的间距为

15、的间距为l200mm。 求两个螺钉所受的水求两个螺钉所受的水平力。平力。 m3m1m2 lAB m3m1m2 Am3m1m2 AB FBFA解： 研究对象：工件研究对象：工件由力偶系的平衡条件：由力偶系的平衡条件： 0im 1230AFlmmm A200NF BA200NFF结果为正，说明图示方向为力的实际方向。结果为正，说明图示方向为力的实际方向。FA、FB必组成力偶与其它三个力偶平衡。必组成力偶与其它三个力偶平衡。 从而从而解得：解得：202.3 平面一般力系平面一般力系2-3-1平面一般力系的简化平面一般力系的简化OOO简化中心简化中心Fn mn m3 F3 F2 m2 mOF3 F2

16、F1 Fn O nFFFF.,321平面一般力系平面一般力系平面汇交力系平面汇交力系 nFFFF.321，平移平移iOOmm (F ) 为原力系的为原力系的主矢主矢。作用在。作用在O点，大小和方点，大小和方向与向与简化中心简化中心O无关。无关。RF 为原力系的为原力系的主矩主矩。大小和方向一般与简化。大小和方向一般与简化中心中心O有关。有关。Om平移平移合成合成 iiiiOFFmmF， iF iRFFRF 力力合成合成OM力偶矩力偶矩合成合成RF F1 m1 平面力偶系平面力偶系123nm ,m ,m .m21mORF ()iOOmmF主矩的大小：主矩的大小：12RyyynyyFFFFF 12

17、RxxxnxxFFFFF OyxOm平面一般力系平面一般力系平面汇交力系平面汇交力系RF 力力平面力偶系平面力偶系力偶矩力偶矩建立坐标系建立坐标系xy主矢的大小：主矢的大小： iF iRFF利用力和投影的关系，可以确定主矢的大小和方向。利用力和投影的关系，可以确定主矢的大小和方向。2.3 平面一般力系平面一般力系2-3-1平面一般力系的简化平面一般力系的简化22固定端约束固定端约束约束反力的确定：约束反力的确定：按平面一般力系的简化，得到一按平面一般力系的简化，得到一个力和一个力偶。个力和一个力偶。为便于计算，固定端的为便于计算，固定端的约束反力画成正交分力约束反力画成正交分力和一个力偶。和一

18、个力偶。 结构图结构图ad简图简图bcFAxFAymAmAFA2.3 平面一般力系平面一般力系2-3-1平面一般力系的简化平面一般力系的简化23此时，简化结果与简化中心位置无关。此时，简化结果与简化中心位置无关。2.3.2 平面一般力系简化结果的分析平面一般力系简化结果的分析 合力矩定理合力矩定理此时，简化结果与简化中心位置有关。此时，简化结果与简化中心位置有关。简化结果简化结果0Om0 RF（2 2）0 RF（1 1）0Om合力偶合力偶原力系原力系力偶系力偶系其合力偶矩其合力偶矩iOOmm (F )0Om 0 RF0Om 0 RF0 RF0Om 0 RF0Om 原力系原力系汇交力系汇交力系

19、iRFF合力合力RF 2.3 平面一般力系平面一般力系24mOORF dOORF即：即：合力矢等于主矢；合力矢等于主矢；合力作用线在简化中心合力作用线在简化中心O O那一侧取决于主矢、那一侧取决于主矢、主矩方向；合力作用线到主矩方向；合力作用线到O O点的距离由点的距离由d d 确定。确定。0Om (3)0 RF原力系原力系合力合力RF ORmdFRRRFFF ORF RF ORFd2.3.2 平面一般力系简化结果的分析平面一般力系简化结果的分析 合力矩定理合力矩定理力偶等力偶等效表示效表示减去平减去平衡力系衡力系2.3 平面一般力系平面一般力系25合力矩定理合力矩定理dFR ORmFOm O

20、imF 平面一般力系的合力对于作用面内任一点的矩等于力系平面一般力系的合力对于作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。中各力对同一点的矩的代数和。原力系为平衡力系。原力系为平衡力系。（4）0 RF0Om 2.3.2 平面一般力系简化结果的分析平面一般力系简化结果的分析 合力矩定理合力矩定理2.3 平面一般力系平面一般力系26求合力的大小：建立坐标系求合力的大小：建立坐标系Axy。xydxxqx解：解：合力的方向向下。合力的方向向下。取微段取微段dx，其上合力其上合力dFR =qxdx，方向向下。，方向向下。qlxqx 在任意截面在任意截面 x 处处分布力合力分布力合力求合力的作用

21、线求合力的作用线( (利用合力矩定理利用合力矩定理) )xC0lRxFq dxxdxlql 0qlxlql21202 12RFql即：即：0lRCxFxqdx x203313qlxlql dxxlql20 lxC32 即即dFR例例2-72-7：水平梁水平梁AB长为长为l，受三角形分布载荷的作用，分布载荷的，受三角形分布载荷的作用，分布载荷的最大值为最大值为q(N/m），试求合力的大小及作用线的位置。），试求合力的大小及作用线的位置。q（N/m）ABlFR2712RFql总结：总结：分布力的合力分布力的合力（2 2）大小：等于载荷集度）大小：等于载荷集度 q q 乘以分布长度乘以分布长度，即即

22、 ql。（1 1）方向：与分布力）方向：与分布力 q 相同。相同。（3 3）作用线：通过分布长度的中点。）作用线：通过分布长度的中点。FRABlxCCDq（1 1）方向方向：与分布力相同。：与分布力相同。（2 2）大小大小：等于由分布载荷组成的：等于由分布载荷组成的 几何图形的面积。几何图形的面积。（3 3）作用线作用线：通过由分布载荷组成的几何图形的形心。：通过由分布载荷组成的几何图形的形心。lxC32 qlBAlq2l均布载荷的合力。均布载荷的合力。载荷集度为载荷集度为 q。282.3.3平面一般力系的平衡条件平面一般力系的平衡条件平面一般力系平衡的充要条件：平面一般力系平衡的充要条件：0

23、 RF0 OM主矢主矢，主矩，主矩即：即： 平衡的解析条件平衡的解析条件是是：所有各力在两个：所有各力在两个任选任选的坐标轴上的投影的代的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于数和分别等于零，以及各力对于任意一点任意一点的矩的代数和也等于零。上式的矩的代数和也等于零。上式称为平面一般力系的平衡方程。称为平面一般力系的平衡方程。有独立三个方程，只能求解三个未知数有独立三个方程，只能求解三个未知数 0OMF 2 2、矩心应取在两未知力的交点上。、矩心应取在两未知力的交点上。1 1、坐标轴应当与尽可能多的未知力作用线相垂直。、坐标轴应当与尽可能多的未知力作用线相垂直。 0 xF 0yF29例

24、例2-8 水平梁长为水平梁长为4m，重，重P=10kN，作用在梁的中点，作用在梁的中点C。承受均。承受均布载荷布载荷q=6kN/m ，力偶矩，力偶矩M8kNm。试求。试求A、B处的约束力。处的约束力。P4m2mqmCBA45解：解： 0 xFAxFkNFAy12 14 14BF.kN 0yFAyF26 45BF sin10 0 0)(FmB4 AyF326 210 0 810AxFkN解方程得：解方程得：研究对象：水平梁研究对象：水平梁AB45BF cos0 FByx注意应用合力投影定理与合力矩定理得出：（注意应用合力投影定理与合力矩定理得出：（1）均布载荷）均布载荷的投影与对点之矩。（的投影

25、与对点之矩。（2）力偶的投影与力矩。）力偶的投影与力矩。30ABDPFB45 yx解得：解得：FB28.28kN例例：已知如图已知如图ABBDl，载荷，载荷 P10kN。设梁和杆的自重不。设梁和杆的自重不计，求铰链计，求铰链A的约束反力和杆的约束反力和杆BC所受的力。所受的力。C BFCFBPADC45 解：解：研究对象：研究对象：ABD梁。梁。0m (F ) AFAxFBcos 45 0 FAyFBsin 45 P0 FBsin 45l P 2 l 0llFAx 20kN FAy10kN (负号表明反力方向与图示相反负号表明反力方向与图示相反)BFAxFAy 0 xF 0yF由作用反作用公理

26、，由作用反作用公理，BC杆受压力杆受压力 28.28kN310Bm (F)Am (F)= 0450AxBFF cos45BF sinl lFAy PFAy 2 2BFP0Am (F ) 0Bm (F ) 0Cm (F ) PFAx2 PADBC45 yxllAFAxFAyFCB45 PDCl如果写出对如果写出对A、 B两点的力矩方程和对两点的力矩方程和对x 轴的投影方程：轴的投影方程：如果写出对如果写出对A、 D、 C三点的力矩方程：三点的力矩方程：lP2 0lP 0 lFC 45sinlP2 0 PFC22lFAx lP2 0 lFAy lP 0 PFAx2 说明三个方说明三个方程相互独立程

27、相互独立说明三个方说明三个方程相互独立程相互独立 0 xFPFAy 32二、平衡方程的其它形式二、平衡方程的其它形式二矩式：二矩式：三矩式：三矩式：x 轴不得垂直于轴不得垂直于A、B连线。连线。A、B、C三点不共线。三点不共线。0Bm (F ) 0 xF0Am (F ) 0Am ( F ) 0Cm ( F ) 0Bm ( F ) 这二组平衡方程也能满足力系平衡的必要和充分条件（证明略，见这二组平衡方程也能满足力系平衡的必要和充分条件（证明略，见P49P49） 对于受平面任意力系作用的对于受平面任意力系作用的单个研究对象单个研究对象的平衡问题，的平衡问题，只可以写出只可以写出三个独立三个独立的平

28、衡方程，求解三个未知量。任何的平衡方程，求解三个未知量。任何第四个方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。第四个方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。33PlbBAWQ2a0Bm (F ) AF0Q P laWaab (2)当空载时，受力如图。当空载时，受力如图。A0m (F) 1BFWaQ bab FB0 1WaQ bab 0Q Waba 解解：(1)当满载时，受力如图。当满载时，受力如图。例例2-10： 塔式起重机如图。机架重力塔式起重机如图。机架重力W，吊起的最大重物重力吊起的最大重物重力P，欲使起欲使起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡配重的重量重机在满载和空载时都不致

29、翻倒，求平衡配重的重量Q。QWaba P laWaab 因此，起重机不翻倒的条件：因此，起重机不翻倒的条件： 20AQ(ab)WaP laFa 20BQ baWaFa 12AFQ abWaP laa0 12Q abWaP laa为使起重机不绕点为使起重机不绕点A翻倒，必须翻倒，必须FB0。FBFA为使起重机不绕点为使起重机不绕点B翻倒，必须翻倒，必须FA0。342.4 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题摩擦摩擦按物体间相对按物体间相对运动状态运动状态滑动摩擦滑动摩擦滚动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦动滑动摩擦工程实际中，物体的接触面不会完全光滑，摩擦总会存在。工程实际中，物体

30、的接触面不会完全光滑，摩擦总会存在。摩擦摩擦有利：刹车制动，皮带传动等。有利：刹车制动，皮带传动等。有弊：零件的磨损，能量消耗等。有弊：零件的磨损，能量消耗等。摩擦摩擦干摩擦干摩擦湿摩擦湿摩擦按物体间按物体间接触面状况接触面状况静滚动摩擦静滚动摩擦动滚动摩擦动滚动摩擦352.4.1 基本概念基本概念 大小大小根据主动力的情况，用不同的计算方法计算。根据主动力的情况，用不同的计算方法计算。 两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有有相对滑动相对滑动或或相对滑相对滑动趋势动趋势时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力，即时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力，即滑动摩擦力滑动摩

31、擦力。摩擦力：摩擦力：作用于作用于相互接触处；相互接触处；方向方向与相对滑动的相对滑动趋势的方向相反；与相对滑动的相对滑动趋势的方向相反；2.4 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题361、静摩擦力、静摩擦力P FNGFs（1）P为零时，物体为零时，物体没有运动趋势没有运动趋势，摩擦力，摩擦力Fs为零。为零。（2）P 较小时，物体较小时，物体有运动趋势，但仍静止有运动趋势，但仍静止( (平衡平衡) )，摩，摩擦力擦力Fs 不不为零。为零。由平衡方程确定静摩擦力大小由平衡方程确定静摩擦力大小。 静滑动摩擦力：当两物体有相静滑动摩擦力：当两物体有相对滑动趋势时，在接触面上有阻碍对滑动趋势时，在

32、接触面上有阻碍物体相对滑动趋势的力。物体相对滑动趋势的力。静摩擦力静摩擦力实验实验:FFFsx 0（3）当主动力）当主动力P 增加到某个数值，物体处于增加到某个数值，物体处于将动未动的临将动未动的临界平衡状态界平衡状态。这时的摩擦力称为。这时的摩擦力称为最大静滑动摩擦力最大静滑动摩擦力Fmax。37FN：正压力。正压力。fs：静摩擦因数，为常数，由材料和：静摩擦因数，为常数，由材料和接触面状况决定。实验测定。接触面状况决定。实验测定。静摩擦定律静摩擦定律一般平衡状态一般平衡状态临界平衡状态临界平衡状态综上所述：综上所述：00FsFmaxFmaxfsFNFmaxfsFN静摩擦力大小和方向静摩擦力

33、大小和方向由平衡方程确定。由平衡方程确定。方向恒与物体相对滑动方向恒与物体相对滑动的趋势方向相反。的趋势方向相反。 3. 动滑动摩擦力动滑动摩擦力F = f FNFN：法向反力（正压力）：法向反力（正压力）f ：动摩擦因数，为常数，由材料决定。一般：动摩擦因数，为常数，由材料决定。一般 f fs。2.最大静摩擦力最大静摩擦力最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力(即法向反力即法向反力)成正比。成正比。 382.4.2 摩擦角与自锁现象摩擦角与自锁现象sNNsfFFf 由图可知由图可知:摩擦角摩擦角 与摩擦因数与摩擦因数 fs 一样也是表示材料表面性质的一个常量

34、。一样也是表示材料表面性质的一个常量。1、摩擦角、摩擦角FNFmax全反力全反力：RNsFFF )(:摩摩擦擦力力切切向向反反力力法法向向反反力力sNFF摩擦角的正切等于摩擦因数。摩擦角的正切等于摩擦因数。摩擦角：临界状态时，全反力与法线的夹角摩擦角：临界状态时，全反力与法线的夹角。用用 表示。表示。 FRmax 讨论物体间静摩擦讨论物体间静摩擦性质的几何特点。性质的几何特点。一般一般平衡平衡临界临界状态状态FNFRFsmaxNFtanF 39接触点的全约束反力作用线只能在摩擦角以内。接触点的全约束反力作用线只能在摩擦角以内。sNsNf FftanF 一般平衡一般平衡 Fs Fmax所以有：所

35、以有： FNFmaxFRA FRA摩擦角：临界状态时，全反力与法线的夹角摩擦角：临界状态时，全反力与法线的夹角。用用 表示。表示。smaxNNFFtanFF FmaxFRA FNFRA40 设接触面的摩擦角为设接触面的摩擦角为 ，主动力，主动力FR与法向夹角为与法向夹角为 。水平主动力：水平主动力：FRsin ，若平衡：若平衡：FRsin Fmax fsFN = fsFRcos 即：物体平衡即：物体平衡 法向主动力：法向主动力：FR cos 法向反力法向反力sftan 得：得：sftan 而：而：若若 物体平衡，接触面可提供与法线成物体平衡，接触面可提供与法线成 角的全反力。角的全反力。tan

36、 tan FR FRA证明：证明： 是是物体平衡的充要条件。物体平衡的充要条件。与主动力无关而与摩擦角有关的平衡条件称为与主动力无关而与摩擦角有关的平衡条件称为。41 当当 时，由于接触面只能提供摩擦角范围内的全反时，由于接触面只能提供摩擦角范围内的全反力，不能保证与主动力共线。力，不能保证与主动力共线。 物体滑动。物体滑动。 FR 如果作用于物体的如果作用于物体的全部全部主动力的合力作用线主动力的合力作用线在摩擦角之外，在摩擦角之外，无论该力多无论该力多小小，物体，物体一定一定会滑动。会滑动。42例：例：在一个可以调整倾角的斜面上放一重为在一个可以调整倾角的斜面上放一重为P的物体的物体，物体

37、与斜物体与斜间间的摩擦因数为的摩擦因数为fs，试求物体开始下滑时斜面的倾角，试求物体开始下滑时斜面的倾角。解解：（1）研究对象：物体。）研究对象：物体。受力如图。受力如图。（2）列平衡方程：）列平衡方程：0sin0max FPFx 0cos0 NyFPF NsFfF maxssffarctantan即即： 解得：解得：xyOPFNFmax 讨论讨论斜面上物体的自锁条件（即不下滑的条件）：斜面上物体的自锁条件（即不下滑的条件）： 43 工程实际中常应用工程实际中常应用自锁原理自锁原理设计一些机构或夹具，如千斤设计一些机构或夹具，如千斤顶、压榨机、圆锥销等，使它们始终保持在平衡状态下工作。顶、压榨

38、机、圆锥销等，使它们始终保持在平衡状态下工作。也可应用这个原理，可以设法避免发生自锁现象。也可应用这个原理，可以设法避免发生自锁现象。44 因为螺纹可以看成为绕在一圆柱因为螺纹可以看成为绕在一圆柱体上的斜面，螺纹升角体上的斜面，螺纹升角 就是斜面的倾就是斜面的倾角。角。斜面的自锁条件就是螺纹的自锁条件。斜面的自锁条件就是螺纹的自锁条件。 对于千斤顶，螺母相当于斜面上的对于千斤顶，螺母相当于斜面上的滑块，加于螺母的轴向载荷，相当物滑块，加于螺母的轴向载荷，相当物块的重力。块的重力。 要使螺纹自锁，必须使螺纹的升要使螺纹自锁，必须使螺纹的升角角 小于或等于摩擦角小于或等于摩擦角 。因此螺纹的。因此

39、螺纹的自锁条件是：自锁条件是： 若螺旋千斤顶的螺杆与螺母之间的摩擦因数为若螺旋千斤顶的螺杆与螺母之间的摩擦因数为fS0.1， 5 42。为保证螺旋千斤顶自锁，一般取螺纹升角为保证螺旋千斤顶自锁，一般取螺纹升角 4 4 30。452.4.3 考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时物体的平衡问题 求解考虑摩擦时的平衡问题的几个特点：求解考虑摩擦时的平衡问题的几个特点：（2）已知主动力已知主动力，讨论物体状态讨论物体状态。可设物体处于一般平衡，此时。可设物体处于一般平衡，此时摩擦力的大小和方向可由平衡方程确定。但一定符合摩擦力的大小和方向可由平衡方程确定。但一定符合FSFmax 。Fmax fSFN，否

40、则物体运动。，否则物体运动。（1）受力分析受力分析时时，必须考虑摩擦力，必须考虑摩擦力，其方向与假设无摩擦时物体，其方向与假设无摩擦时物体在其他力的作用下的滑动方向相反。在其他力的作用下的滑动方向相反。（4）工程中有不少问题工程中有不少问题只需要分析平衡的临界状态只需要分析平衡的临界状态，这时可列补，这时可列补充方程充方程FmaxfSFN 。有时为了计算方便，也先在临界状态下计算，。有时为了计算方便，也先在临界状态下计算，求得结果后再分析、讨论其解的平衡范围。求得结果后再分析、讨论其解的平衡范围。（3）已知有摩擦求主动力已知有摩擦求主动力。由于物体平衡时摩擦力有一定的范围由于物体平衡时摩擦力有

41、一定的范围(即即0FSFmaxfSFN)，所以主动力的值也有一定的范围。所以主动力的值也有一定的范围。46力力F1太大，物块将上滑；力太大，物块将上滑；力F1太小，太小，物块将下滑。因此，物块将下滑。因此，F1的数值必在的数值必在一范围内。一范围内。 例例2-11 物体重为物体重为P，放在倾角为，放在倾角为 （足够大）（足够大）的斜面上，它与斜面的斜面上，它与斜面间的摩擦因数为间的摩擦因数为fS。当物体处于平衡时，试求水平力。当物体处于平衡时，试求水平力F1的大小。的大小。解：解：F1 P(1)求力的最大值求力的最大值F1max 。x有向上滑动趋势有向上滑动趋势F1max FmaxFNyPO

42、100 xmaxmaxFFcosP sinF ，100yNmaxF,FP cosFsin 列平衡方程列平衡方程：NSFfF max补充方程补充方程1SmaxSsinf cosFPcosf sin 47(2)求力的最小值求力的最小值F1 min。100 xminmaxFFcosP sinF ，100yminNF,PcosFsinF 补充方程：补充方程：NSFfF max1SminSsinf cosFPcosf sin 列平衡方程列平衡方程有向下滑动趋势有向下滑动趋势F1min F maxFNxyPO O 例例2-11 物体重为物体重为P，放在倾角为，放在倾角为 （足够大）（足够大）的斜面上，它与

43、斜面的斜面上，它与斜面间的摩擦因数为间的摩擦因数为fS。当物体处于平衡时，试求水平力。当物体处于平衡时，试求水平力F1的大小。的大小。F1 P综上可知：综上可知：SSsinf cosPcosf sin F1SSsinf cosPcosf sin 解：解：48物体系物体系: : 由若干个物体所组成的物体系统。由若干个物体所组成的物体系统。2.5 2.5 静定与静不定的概念静定与静不定的概念 物体系统的平衡物体系统的平衡PACBQQBqEDCA静定问题：静定问题：所有未知量都能由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。所有未知量都能由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。实例：实例：XAmAYA显然

44、前面列举的各例都是静定问题。显然前面列举的各例都是静定问题。特点：特点：结构中的未知量数目等于独立平衡方程的数目。结构中的未知量数目等于独立平衡方程的数目。1249静定问题：静定问题：特点：特点：结构中的未知量数目等于独立平衡方程的数目。结构中的未知量数目等于独立平衡方程的数目。实例实例静不定问题静不定问题（超静定问题）：未知量不能全部由平衡方程求出，这样的（超静定问题）：未知量不能全部由平衡方程求出，这样的问题称为静不定问题或超静定问题。问题称为静不定问题或超静定问题。XAYAmAY特点：特点：结构中未知量数目多于独立平衡方程的数目。结构中未知量数目多于独立平衡方程的数目。122.5 静定与

45、静不定的概念静定与静不定的概念 物体系统的平衡物体系统的平衡2.5.1 静定与静不定的概念静定与静不定的概念50 物体系平衡时物体系平衡时,构成物体系的构成物体系的每部分都处于平衡每部分都处于平衡。设一物体系。设一物体系由由 n 个物体构成个物体构成,则每个物体一般可列出则每个物体一般可列出3个独立的平衡方程个独立的平衡方程,整个物整个物体系则可列出体系则可列出3n个平衡方程。若物体系的未知量个数为个平衡方程。若物体系的未知量个数为3n个，问题个，问题可解，物体系为静定系统。可解，物体系为静定系统。 讨论物体系统平衡时，不仅要考虑系统的外力，还要考虑系统讨论物体系统平衡时，不仅要考虑系统的外力

46、，还要考虑系统内部各物体之间的相互作用力（内力）。内部各物体之间的相互作用力（内力）。 若物体系的未知量多于若物体系的未知量多于3n个个,问题不可解，问题不可解，则为静不定系统。则为静不定系统。本部分不讨论静不定系统。本部分不讨论静不定系统。2.5 2.5 静定与静不定的概念静定与静不定的概念 物体系统的平衡物体系统的平衡2.5.2 2.5.2 物体系统的平衡物体系统的平衡51F例例2-12 曲轴冲床由轮曲轴冲床由轮I、连杆、连杆AB和冲头和冲头B组成。组成。OAR，ABl。当。当OA水平、冲压力为水平、冲压力为F时系统处于平衡。求：时系统处于平衡。求：(1) m；(2) O点约束力；点约束力

47、；(3) AB受的力；受的力；(4)冲头给导轨的侧压力。冲头给导轨的侧压力。mFABFBFAFNmFOxFOyFA解：解：FNFOyFOxFB（方案（方案2 2）冲头冲头B B和整体和整体（方案（方案1 1）冲头冲头B B和轮和轮 全面进行受力分析，确定解题方案。 二力杆二力杆 相连的物体受力等值、反向，性质与杆的受相连的物体受力等值、反向，性质与杆的受力一致。为简便起见，二力杆的受力图可以不画。力一致。为简便起见，二力杆的受力图可以不画。52Fxy例例2-12 曲轴冲床由轮曲轴冲床由轮I、连杆、连杆AB和冲头和冲头B组成。组成。OAR，ABl。当。当OA水平、冲压力为水平、冲压力为F时系统处

48、于平衡。求：时系统处于平衡。求：(1) m；(2) O点约束力；点约束力；(3) AB受的力；受的力；(4)冲头给导轨的侧压力。冲头给导轨的侧压力。mFFNyxmFOxFOyFA解：解：（1）研究对象：冲头）研究对象：冲头 0yF0cos BFF 0 xF0sin BNFF cosFFB tanFFN FB方案方案1:1:冲头冲头B B和轮和轮 （2）研究对象：轮）研究对象：轮0sin AOxFF0cos AOyFF 0OM0AF cosRm 0 xF 0yFABFF FOyFOxm22RlFl 22RlFR 5330 mFDCBqllll60 A例例2-13组合梁由组合梁由AC、CD铰接而成。已知铰接而成。已知F20kN，q10kN/m，m20kN m，l1