结构力学：第六章《结构位移计算》

1、12A第六章 结构位移计算61 概述62 变形体系的虚功原理63 位移计算的一般公式64 静定结构在荷载作用下的位移计算65 图乘法66 静定结构温度变化时的位移计算67 静定结构支座移动时的位移计算68 线弹性结构的互等定理 361 概 述1. 变形和位移 在荷载作用下，结构将产生变形和位移。变形：是指结构形状的改变。位移：是指结构各处位置的移动。2. 位移的分类APA A线位移：AA角位移：A(A)AyAxAyAxA绝对位移相对位移PABCDCDC D CD= C+ DC D43. 计算位移的目的 （1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、

2、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。 结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。 （3）为分析超静定结构打基础。起拱高度562 变形体系的虚功原理1. 功、实功与虚功AdW=PdW=Pw=（a a）（1）功PdSS BdSdS CosCos sdWdW= =sP PCosCos dSdS6常力功W=W=(b)(b)变力功由AB, W=W=（c c）力偶功PPAB（d d）dP AB常力常力 W=W=变力变力 W=W=P PCosCos 2 21 1P PCosCos M M 2 21 1M M 力由0PM=PdM=P

3、d7（2）实功与虚功实功：ABP11虚功：W=ABP22 力在其它因素引起的位移上所作的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状态。例如：例如：W12=P1211P21力在本身引起的位移上所作的功。128 2. 变形体的虚功原理： 变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段上内力所作的变形虚功总和。（证明从略）即 W外=W内或写成W=Wi （61）式(61）称为虚功方程，式中 WWi外力虚功 内力虚功9AB力状态PqMdS内力虚功的计算给定力状态RARB给定位移状态位移状态位移状态dWi=Ndu+QdS+MdWi=MdNdu 微段

4、dS上内力的变形虚功为整个结构内力的变形虚功为（62) 虚功方程为W=MdNdu（63)dsQdsQqN NN+dNN+dNQQQ+dQQ+dQMMM+dMM+dMdSdsdSdudS dxdxd d dSAB101. 位移计算的一般公式 设平面杆系结构由 于荷载、温度变化及支 座移动等因素引起位移 如图示。P2P1KkkKK K利用虚功原理计算c1c2c3kkPK=1实际状态位移状态c1、c2、c3、Kdu、d、dsds虚拟状态力状态dsKQMN、dSddu、外力虚功332211KKCRCRCRPW=CRK内力虚功Wi=dSQdMduN可得dsQdMduNCRK 求任一指定截面K K 沿任一

5、指定方向 kk 上的位移K 。1PRQMNKi、(75)t1t2cRdsQdMduNK(64) 这便是平面杆系结构位移计算的一般公式，若计算结 果为正，所求位移K与假设的 PK=1同向，反之反向。 这种方法又称为单位荷载法单位荷载法。63 位移计算的一般公式 单位荷载法112. 虚拟状态的设置 在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。例如:A求求AHAH实际状态虚拟状态A1A求求 A A1虚拟状态AA虚拟状态虚拟状态B求求ABAB11B求求 ABAB111264 静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位 移KP，此时没有支座位移，故式

6、（64）为dsQduNdMPPPKP=式中：QNM、 为虚拟状态中微段上的内力；dP、duP、 Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知 （a）dP=EIdsMPduP=EAdsNPPds=GAdskQP将以上诸式代入式（a a）得KP=GAdsQQkEAdsNNEIdsMMPPP（65）131. 梁和刚架梁和刚架KP=EIdsMMP（66）2.2.桁架桁架KP=EALNNdsEANNEAdsNNPPP（67）3. 组合结构组合结构KP=EIdsMMPEALNNP（68） 在实际计算时，根据结构的具体情况,式（65）可以简化：14 例 61 求图示刚架A点 的 竖 向位移Ay。E、A、I为

7、常数。ABCqL LLAABC1解： 1. 设置虚拟状态xx选取坐标如图。则各杆弯矩方程为:AB段：Mx,BC段：LM2. 实际状态中各杆弯矩方程为AB段：BC段：MP=MP=xx2qx22qL23. 代入公式（66）得Ay=EI8qL54，()EIdsMMP=l0(-x)(-2qx2)EIdx+l0(-L)(-2qL2)EIdx1565 图 乘 法KP=EIdsMMP当结构符合下述条件时： （1）杆轴为直线； （2）EI=常数； 上述 积分可以得到简化。MMP图图 和M两个弯矩图 中至少有一个是直线图形。（3）xy面积面积 设等截面直杆AB段的两个弯矩图中，M为一段直线，MP图为任意形状，A

8、BO则上式中的ds可用dx代替。ABMPMdx故有M=xtg,且tg=常数，则EIdsMMPd =MPdxx图MEItgxMPdx =EItgxd 1. 图乘法: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算下面的积分16MP图xy形心形心C面积 ABOABMPMdxd=MPdxxxC图M有yCyC=xCtg 则积分运算化简为一个弯矩图的面积乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的竖标 yC。 如果结构上所有各杆段均可图乘则位移计算公式（66）可写成KP=(69)而CxxdEIdsMMPEIxdtgEIdsMMPEIxCtgEIdsMMPEIyCEIdsMMPEIyC172. 图乘法的注意事项 （

9、1）必须符合上述三个前提条件； （2）竖标yC只能取自直线图形； （3）与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。3. 常用的几种简单图形的面积和形心Lh2L/3L/32hLLhab（L+a)/3(L+b)/32hL形心形心18Lh二次抛物线顶点L/23hL2二次抛物线Lh4L/5L/53L/85L/8 1 21=2/3(hL)2=1/3(hL)顶点194 .图乘的技巧 当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。例如：图MMP图abcd dL则dxMMEI1P)y2bLy2aL(EI1baya=2/3c+1/3dyb=1/3c+2/3d

10、图MMP图abcd dyayb此时ya=2/3c1/3dyb=2/3d1/3cybya20MA8qL2QAMAQBMBMB 对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。 叠加后的抛物线图形（）与原抛物线图形（）的面积大小和形心位置以及形心处的竖标仍然是相同的。ABL21 当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。123y1y2y3123y1y2y3=EI1(1y1+ 2y2+ 3y3)I1I2I3=333222111EIyEIyEIy22 例 62 求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。设EI=常数。ABCD

11、Lhq解：1. 作实际状态的MP图。MP图图M2. 设置虚拟状态并作图M。11hhyC=h3. 按式（69）计算（）CD=EIyC=EI1(328qL2L)h=12EIqhL2形心8qL223 例 63 求图示刚架A点的竖向位移Ay 。ABCDEIEI2EIPLLL/2解： 1. 作MP图、图MP2PL2PLPLMP图图M1L；2. 图乘计算。Ay=（）2PL4PLEIyC=EI1(2L L2PL(L 4=16EIPL2)-2EI123L)PL24 例 64 求图示外伸梁C点的竖向位移Cy。 EI=常数。qABCL2L8qL2M图11y2y3+解：1. 作MP图2. 作M图3. 图乘计算y1=

12、8L3y2=3Ly3=4LCy=)(EI128qLEIy4Cy18qL2MP图28qL232L精选ppt25例 65 试求图示梁试求图示梁B端转角端转角解解:sEIMMPBdEIycABP2/ l2/ lEIBAB1M4/Pl1MPMi)(1612142112EIPlPllEI精选ppt26例 66 试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移解解:sEIMMPBydEIycPlMPMi)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1lPEIBEIll精选ppt27M图图21EIqlqllEIB3224121)8132(1（ ）PM图图281qlBAq1例 67 求图示梁求图示梁(EI

13、=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角B解解:B精选ppt28例 69 已知已知 EI 为常数，求铰为常数，求铰C两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。C解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图AlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11iM)(2421832132EIqlqlEIEIycCD4/2ql4/2ql精选ppt29例 610 已知已知 EI 为常数，求为常数，求A点竖向位移点竖向位移 。A)(4822)22182322324221232421(14222EIqlEIlqlllqlllqllEIEIycCD解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷

14、载弯矩图和单位荷载弯矩图Aqlllq4/qlMP4/2ql2/11iM2/ l精选ppt30例 611 图示梁图示梁EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移。点竖向位移。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(1285)48224328331(1322EIqllqllllqlEIEIycC8/2ql)(161243231132EIqllqllEIEIycc精选ppt3132/2ql例 611 图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移 。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2318221232222122132232(14222EI

15、qllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/2ql2/2ql8/2ql精选ppt32例 611 图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移 。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2218223242212438231(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2ql精选ppt33AlPBlPl)(310)243221(13EIPllPlllPllEIEIycABY 图示结构图示结构 EI 为常数，求为常数，求AB两点两点(1)相对竖向

16、位相对竖向位移移,(2)相对水平位移相对水平位移,(3)相对转角相对转角 。iMMP 练习练习11Pll11lliM0EIycABX0EIycAB对称弯矩图对称弯矩图反对称弯矩图反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘其反对称弯矩图图乘,结果结果为零为零.1111iM精选ppt34 作变形草图作变形草图PPPl1111绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：反弯点的利用。如：精选ppt35求求B点水平位移。点水平位移。练习练习解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷

17、载弯矩图MP)(85412322113EIPlllPlEIllPlEIEIycBPlABllEI4PEIEI1注意注意:各杆刚度各杆刚度可能不同可能不同iMl精选ppt36 已知已知 EI 为常数，求为常数，求B截面转角。截面转角。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图ABkN/m2m4kN6m2m31124Mi)(38)21443213112421(1EIEIEIycB精选ppt37)(31123)32(21322113EIPlllPllllPlllPllPllEIEIycB解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求求B点水平位移点水平位

18、移,EI=常数。常数。AlPBllMPPlPl2A1Bl 2MPl精选ppt38练习练习解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图)(434)2)(2(14322113EAPlEIPllPEAllPlEIEAlNNEIyPicB求求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。CD ABllEAEICDPPEIlMPPlPl11iMll精选ppt39 已知：已知： E、I、A为常数，求为常数，求 。Cy ABCP2l2laD精选ppt40解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图)(4482211432)4221(23EAPaEIPlaPEAlPllEI

19、CyABCP2laD4PlPM2/PNP2lABC12laD4lM2/1iN2l若把二力杆换成弹簧若把二力杆换成弹簧,该如何计算该如何计算?精选ppt41B支座处为刚度支座处为刚度k的弹簧，该如何计算的弹簧，该如何计算C点竖向位移？点竖向位移？4PlPM2/PPS 4lM21iSABC2lk2l=1PABC2lk2lkSSsEIMMiPPd精选ppt42练习练习解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图)(421212)2322212223122142(13kPEIPlkPlPlllPlllPlllPllEIEIycB求求A点竖向位移点竖向位移,EI=常数常数 。1/2i

20、MMPPl2/Pl2/PllPlAk1k4366 静定结构温度变化时的位移计算 当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，结构将产生 变形和位移。 设结构(见图)外侧温度升高 t1，内侧温度升高 t2 ,求K点的竖向位移Kt 。t t1 1t t2 2KKKt 现研究实际状态中任一微段ds, 由于温度变化产生的变形。dsdsKt=dsQdMduNttt此时由式（64）可得ht1t2t2dst1dsdtdut=(t1ds+t2ds)/2= tds(a)(b)2ttt21KdsPK=1ds实虚MMNN式中dt=(t2ds-t1ds)/h=t= t2t1 (c)htds 式中将式（b) 、(c)代

21、入式（a)，得Kt=htdsMtdsNhdsMtdsNt（610）温度变化不会引起剪切变形，即t=044KthdsMtdsNt（610）若各杆均为等截面时，则有KtMNhtt（611） 在应用上面二式计算时，应注意正负号的确定。当实际温度变形与虚拟内力方向一致时其乘积为正，相反时为负。梁和刚架可略去轴力的影响。桁架在温度变化时的位移计算公式为Kt=tLN（612）桁架因制造误差引起的位移计算与上式类似。设各杆长度的制造误差为L,其位移计算公式为K=LN（613）45 例：65 图示刚架施工时温度为20，求冬季外侧温度为10，内侧温度为0时A点的竖向位移 Ay。已知L=4m，=105，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。LLt1t2实实解： 外侧温度变化绘MN、图，AA1虚虚1代入式（611），并注意正负号(判断)，L图M图NAyMNhtt)L2L(h10L) 1()25(22)(mm5m005. 0hL15L252可得 t1= 1020=30, 内侧温度变 化 t2=020=20 。 t=(t1+t2)/2=25 , t=t2t1=104667 静定结构支座移动时的位移计算 对于静定结构，支座移动并不引起内力。此时，位移计算公式化简为