ch函数极限定义与性质学习教案

1、会计学1ch函数极限定义与性质函数极限定义与性质几何解释几何解释:1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa推论推论6/25/2022第1页/共58页1.有界性有界性(全局性）全局性）定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .6/25/2022第2页/共58页2.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .3.3.子列的收敛性子列的收敛性定理定理3 3 如果如果数列收敛，则它的任一个子数列也数列收敛，则它的任一个子数列也收敛

2、，且极限相同收敛，且极限相同. .6/25/2022第3页/共58页一、自变量的变化过程一、自变量的变化过程二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限三、自变量趋向有限值时函数的极限三、自变量趋向有限值时函数的极限 新课新课 第一章第一章 6/25/2022第4页/共58页2. x 0有定义有定义 , 对对任意给定的无论多么任意给定的无论多么小的正数小的正数 ,总总存在正数存在正数 X , 当当 x X 时，时， 恒有恒有 | f(x) A| ， 则称常数则称常数 A 是函数是函数 f(x) 当当 x+ 时时的极限的极限 .1. x + 时时 f (x) 的极限的极限0n

3、nnxANZnNxAlim, ,. 使使恒恒有有定义N当当 时时6/25/2022第8页/共58页几何意义几何意义xxysin 定义定义X .|)(|, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当lim( )xf xA6/25/2022第9页/共58页2. x - - 时时 f (x) 的极限的极限定义定义 设设 f(x) 在在 x 0有定义有定义 , 对对任意给定的正数任意给定的正数 ,总总存在正数存在正数 X , 当当 x- - X 时，恒有时，恒有| f(x) A| ，则称常数，则称常数 A 是函数是函数 f(x) 当当 x- - 时的极限时的极限 .定义定义X 记为记为定义定义X .|

4、)(|, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当lim( )xf xA无论多么小无论多么小6/25/2022第10页/共58页几何意义几何意义xxysin A定义定义X Axfx)(lim.|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当6/25/2022第11页/共58页3. x 时时f(x)的极限的极限定理：定理：几何意义几何意义注注否否 Axfx)(lim.|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当.|)(|, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当lim( )xf xA6/25/2022第12页/共58页xxysin 几何意义几何意义 X XA 0, 总总存在

5、正数存在正数 0,只要只要 f 的定义域中的点的定义域中的点 x 满足满足0|x x0| 时，恒有时，恒有 |f(x) A| 0 ?不能不能! 6/25/2022第35页/共58页定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则有有若若设设。 推推论论).()(),(, 0,)(lim,)(lim000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有则则且且设设。 由此也可证由此也可证“极限的唯一性极限的唯一性”?不能不能! 当当但但 A=B=06/25/2022第36页/共58页4.函数极限的归并性函数极限的归并

6、性( (函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) )定义定义 .)()(., )(1时的子列时的子列当当为函数为函数则称数列则称数列时时使得使得中有数列中有数列设在过程设在过程axxfxfaxnaxaxnnnn .)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 则则有有时时的的一一个个子子列列当当是是数数列列若若定理定理例如例如,则则6/25/2022第37页/共58页例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的函数极限存在的充要条件充要条件是它的任何子列的极限是它的任何子列的极限都存在都存在, ,

7、且相等且相等. (. (Heine定理，又称定理，又称归并原则归并原则)即即6/25/2022第38页/共58页例例66/25/2022第39页/共58页例例6.1sinlim0不存在不存在证明证明xx证证xy1sin 二者不相等二者不相等,6/25/2022第40页/共58页1. 函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAxfx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)6/25/2022第41页/共58页过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 x0 xx 00 xx 0 xx 0 xx00 xxx 00 xxx 过过 程程时时

8、 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 2.6/25/2022第42页/共58页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限6/25/2022第43页/共58页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限6/25/2022第44页/共58页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限6/25/2022第45页/共58页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察

9、函数 xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限6/25/2022第46页/共58页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限6/25/2022第47页/共58页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限6/25/2022第48页/共58页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限6/25/2022第49页/共58页.sin

10、时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限sinx/xx6/25/2022第50页/共58页.01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，必有时，只要时，只要取取，问当，问当时，时，、当、当.001. 0420_4212 yxxyx，必有，必有只要只要时，时，取取，问当，问当时，时，、当、当 证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义一、填空题一、填空题:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、练练 习习 题题6/25/2022第51页/共58页.)(:0极限各自存在并且相等极限各自存在

11、并且相等必要条件是左极限、右必要条件是左极限、右时极限存在的充分时极限存在的充分当当函数函数三、试证三、试证xxxf?0)(存存在在时时的的极极限限是是否否在在四四、讨讨论论：函函数数 xxxx 6/25/2022第52页/共58页练习题答案练习题答案6/25/2022第53页/共58页备注备注Heine定理定理海涅定理海涅定理limx-af(x)=b存在的充要条件存在的充要条件是是:对属于函数对属于函数f(x)定义域的任意数列，定义域的任意数列，且且limn-an = a，ana，有，有limn-f(an)=b。海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间

12、的桥梁。根据海涅定理，求函数极限则可化为求数列极限，根据海涅定理，求函数极限则可化为求数列极限，同样求数列极限也可转化为求函数极限。同样求数列极限也可转化为求函数极限。 因此，函数极限的所有性因此，函数极限的所有性 质都可用数列极限的有关性质质都可用数列极限的有关性质来加以证明。根据海涅定理的必要重要条件还可以判断函数极限是否来加以证明。根据海涅定理的必要重要条件还可以判断函数极限是否存在。所以在求数列或函数极限时，海涅定理起着重要的作用。存在。所以在求数列或函数极限时，海涅定理起着重要的作用。 海涅定理是德国数学家海涅（海涅定理是德国数学家海涅（Heine）给出的，应用海涅定理人们可把函）给

13、出的，应用海涅定理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则。数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则。6/25/2022第54页/共58页M-Myxoy=f(x)I有界有界则称则称 f(x) 在在I 上上有界有界.若这若这M不存在，则称不存在，则称 f(x)在在 I 上上无界无界.例：例：有界有界有界有界无界无界1121/2oxy1yx 补充知识补充知识函数的有界性函数的有界性:设设f(x)在区间在区间I上有定义上有定义v 6/25/2022第55页/共58页 设设 f(x) 在区间在区间 I 内有定义内有定义, ,若若 M1 和和 M2 使使x I, 都有都有 M1 f(x) M2 , 则称则称 f(x) 在在 I 内有界内有界, ,而而M1和和 M2称为称为f(x)在在 I 上的一个上的一个下界下界和一个和一个上界上界. .