大学物理竞赛辅导

1、大学物理竞赛辅导（热学部分）29、一气缸的初始体积为、一气缸的初始体积为30.5l，内盛空气和少量水，内盛空气和少量水（水的体积可略），总压强为（水的体积可略），总压强为3atm.作等温膨胀时体作等温膨胀时体积加倍，水恰好全部消失，此时压强为积加倍，水恰好全部消失，此时压强为2atm。继续。继续等温膨胀，使体积再次加倍。空气和水汽均可看作理等温膨胀，使体积再次加倍。空气和水汽均可看作理想气体。试求（想气体。试求（1）气体的温度；（）气体的温度；（2）最后的压强；）最后的压强；（3）水和空气的摩尔数。）水和空气的摩尔数。T0=100k, p3=1atm, n1=n2=2mol解解:初态初态中间态

2、中间态末态末态atmpppTlV3,5 .301101饱和空气总atmpppTVV2,222012饱和空气总3013,4pTVV (1)初态到中间态初态到中间态:对空气应用等温过程方程对空气应用等温过程方程饱和总饱和总pppVpVpppp22221111)373(10KTatmp饱和(2)从中间态到末态从中间态到末态对混合气体应用等温过程方程对混合气体应用等温过程方程3322VpVp总atmp13（3）将状态方程用于初态的空气：）将状态方程用于初态的空气：饱和总空气空气pppRTnVp110111moln2102133RTnnVpmoln22水的摩尔数：水的摩尔数：30、有、有n摩尔的理想气体

3、，经历如图所示的准静态过程，摩尔的理想气体，经历如图所示的准静态过程，图中是图中是P0,V0是已知量，是已知量，ab是直线，求：是直线，求：（1）气体在该过程中对外界所作的功和所吸收的热量。）气体在该过程中对外界所作的功和所吸收的热量。（2）在该过程中温度最高值是什么？最低值是什么？）在该过程中温度最高值是什么？最低值是什么？并在并在P-V图上指出其位置。图上指出其位置。 PVa(3P0,V0)b(P0,3V0)W=Q=4 P0V0(2P0,2V0)温度最高温度最高a或或b温度最低温度最低nRVP004nRVP003PVa(3P0,V0)b(P0,3V0)解：解：n摩尔，摩尔，P0,V0（1）

4、由图知）由图知babbaaTTVpVp由图线下面积知由图线下面积知004VpSW由热一律，气体在该过程中吸收的热量：由热一律，气体在该过程中吸收的热量：004VpWUQPVa(3P0,V0)b(P0,3V0)（2）由图知，）由图知，ab过程过程方程：方程：0004pVVppnRVpVnRVpTnRTpV020040dVdT0022ppVV过程方程020022nRVpdVTd为温度极大值点002 ,2VpPVa(3P0,V0)b(P0,3V0)a或或b温度最低温度最低nRVPnRpVT00min331、2摩尔单原子理想气体从初态经历一热容量摩尔单原子理想气体从初态经历一热容量c2R（10.01T

5、）的准静态过程，到达温度为初态温度的）的准静态过程，到达温度为初态温度的2倍、体倍、体积为初态体积的积为初态体积的 倍的终态。试求内能增量倍的终态。试求内能增量 E及系统对及系统对外所作的功外所作的功A2JWJEkT62117283 .690解：热容量解：热容量dTTRdQTRdTdQC01. 01201. 012（1）由热一律由热一律VnRTpRCpdVdTnCdWdEdQVV23（2）VdVTdTdT201. 0（1）从初态到末态积分）从初态到末态积分000000222201. 0VVTTTTVdVTdTdTKT2 .690（2）从初态到末态内能增量）从初态到末态内能增量JTTnCEV17

6、28200（3）从初态到末态吸收的热量）从初态到末态吸收的热量2002203. 0201. 0120000RTRTdTTRCdTQTTTT系统对外做功：系统对外做功：JEQW62133、某、某单原子单原子理想气体经历的一准静态过程中，压强理想气体经历的一准静态过程中，压强p和温度和温度T成反比例关系。（成反比例关系。（1）试求此过程中该气体）试求此过程中该气体的摩尔热容量的摩尔热容量C；（；（2）设此过程中某一状态的压强为）设此过程中某一状态的压强为p0，体积为，体积为V0，试求在体积从，试求在体积从V0增到增到2V0的一般过程的一般过程中气体对外做功量中气体对外做功量W 。00122;27V

7、PWRC解解（1）依题意，过程方程可表述为：）依题意，过程方程可表述为：Tp（2）状态方程）状态方程nRTpV （3）由热一律）由热一律pdVdTnCdWdEdQV2)2)(1 (RTnVRTdTndV2nRdTRdTnpRTdTndQ27232RCV27(4)系统对外做的功系统对外做的功nRdTpdVdW22RTnV由过程方程由过程方程02020022TTTVTV0002122122200VpnRTnRdTdWWTT5-3-11（p140）水平放置的水平放置的绝热气缸绝热气缸内有一内有一不导热不导热的隔板，把气缸分的隔板，把气缸分成成A，B两室，隔板可在气缸内无摩擦的平移，如图两室，隔板可在

8、气缸内无摩擦的平移，如图所示，每室中容有质量相同的同种单原子理想气体，所示，每室中容有质量相同的同种单原子理想气体，它们的压强都是它们的压强都是P0,体积都是体积都是V0,温度都是温度都是T0。今通过。今通过A室中的电热丝室中的电热丝T对气体加热，传给气体的热量为对气体加热，传给气体的热量为Q，达到平衡时达到平衡时A室的体积恰为室的体积恰为B室的两倍，试求室的两倍，试求A、B两两室种气体的温度。室种气体的温度。ABT隔板隔板0000000000394392VPQVPTTVPQVPTTBAABT隔板隔板;23;21RCnnV解：解：初态：初态：QTVp,000末态：末态：BABAVVpp2,（1

9、）由状态方程）由状态方程00000032;34222VVVVVVVVVppTTnRTVpnRTVpnRTVpBABABABABABBBAAAABT隔板隔板（2）对）对A，B组成的组成的系统应用热一律系统应用热一律0000002323TTTVpTTnCTTnCEQBBVAV0000000000394392VPQVPTTVPQVPTTBA三、热一律与循环效率的计算三、热一律与循环效率的计算36、某气体系统在、某气体系统在p V图上的一条循环曲线如图所示，试图上的一条循环曲线如图所示，试求证该系统在对应的循环过程中其摩尔热容量不能为恒量求证该系统在对应的循环过程中其摩尔热容量不能为恒量(12)例例P

10、VPV反证法：反证法：设循环过程中摩尔热容设循环过程中摩尔热容量是常量量是常量C，则循环过，则循环过程中吸收的热量：程中吸收的热量：0dTCdQQV循环后系统恢复原态，其内能增量：循环后系统恢复原态，其内能增量：0U但系统对外做功不为零，与热一律矛盾但系统对外做功不为零，与热一律矛盾8 一个平均输出功率为一个平均输出功率为50MW的发电厂，热机循环的的发电厂，热机循环的高温热源温度为高温热源温度为T1=1000K,地温热源温度地温热源温度T2=300K，理，理论上热机的最高效率为论上热机的最高效率为。如果该厂只能达到。如果该厂只能达到这个效率的这个效率的70%，为了产生，为了产生50MW的电功

11、率，美妙需的电功率，美妙需要消耗要消耗J的热量。的热量。MW0.4950%49WQ%70%;70112；吸热QWTT25-6四个恒温热源之间关系为四个恒温热源之间关系为T1= T2= 2T3= 3T4，其中常数，其中常数 0。工作与其中两个任选热。工作与其中两个任选热源之间的可逆卡诺热机的循环源之间的可逆卡诺热机的循环效率最大可取值效率最大可取值 max= ;由这四个热源共同参与的某个由这四个热源共同参与的某个可逆循环如图所示，途中每一可逆循环如图所示，途中每一条实线或为条实线或为T1、T2、T3、T4等温线，或为绝热线，中间两等温线，或为绝热线，中间两条实线与其间辅助虚线同属一条实线与其间辅

12、助虚线同属一条绝热线。此循环效率为条绝热线。此循环效率为 = 0PVT1T2T3T425-60PVT1T2T3T4卡诺循环的效率：卡诺循环的效率：3max14max1211) 1(11TTTT循环过程效率：循环过程效率：221212211111110VP0T03T(等温线）等温线）(等温线）等温线）0V03V14-22设想某种双原子分子理想气体，在温度低于设想某种双原子分子理想气体，在温度低于2T0时时等体摩尔热容量为等体摩尔热容量为 ，在温度高于时，等体摩尔热，在温度高于时，等体摩尔热容量增至容量增至 。该气体所经历热循环过程如图所示，。该气体所经历热循环过程如图所示，试求循环效率试求循环效

13、率.R25R27ABCD0VP0T03T(等温线）等温线）(等温线）等温线）0V03VABCD解解:首先判断吸热和放热过首先判断吸热和放热过程程:吸热吸热:AB,BC放热放热:CD,AD082532700012RTTRTRTCTCQAVBVAB吸热吸热03ln3ln300RTVVTRWQBCBCBC吸热吸热0VP0T03T(等温线）等温线）(等温线）等温线）0V03VABCD083272500021RTTRTRTCTCQCVDVCD放热放热03ln3ln300RTVVTRWQDADADA放热放热3ln801RTQQQBCAB总吸热总吸热总放热总放热3ln3802RTQQQDACD0VP0T03

14、T(等温线）等温线）(等温线）等温线）0V03VABCD循环效率循环效率:%5 .19112QQ5-3-20P-V坐标面上，坐标面上，单原子分子单原子分子理想气体的两条等压线和两条等体线理想气体的两条等压线和两条等体线围成的矩形围成的矩形ABCD如图所示。状态如图所示。状态B的温度是状态的温度是状态D的温度的的温度的4倍，倍，状态状态A与状态与状态C的温度相同，过的温度相同，过A、C的等温线已在图中画出。将的等温线已在图中画出。将循环过程循环过程ABCA、ACDA的效率分别记为的效率分别记为 1和和 2 ，试求：，试求： 1和和 2的比值的比值0VPABCDV1V2917. 021T3T1T2

15、T20VPABCDV1V2T3T1T2T2解：解：134,23,25TTRCRCVp由状态方程：由状态方程：111221322212:RTVpDRTVpCRTVpBRTVpA)4(13231212TTTTTTVV2,21212VVTT0VPABCDV1V2T3T1T2T2循环循环ABCA:05123RTTTCQpAB03132RTTTCQVBC02ln2ln1212RTVVRTWQCA效率：效率：2ln15211ABCABCQQQ0VPABCDV1V2T3T1T2T22,21212VVTT循环循环ACDA:023112RTTTCQVDA02ln2ln1122RTVVRTQAC效率：效率：32l

16、n412ln2212DAACCDQQQ025121RTTTCQpCD0VPABCDV1V2T3T1T2T2917. 02137、1mol单原子理想气体从初态单原子理想气体从初态p032Pa压强，体积压强，体积V08m3经经pV图上的直线过程到达终态压强图上的直线过程到达终态压强p11Pa，体积，体积V164m3；再经绝热过程回到初态，如此；再经绝热过程回到初态，如此构成一循环。求此循构成一循环。求此循 环的效率（环的效率（7） PVacb52%PVacb解：解：paVpapmVPap64,1,8,3211300（1）求吸热放热的转折点）求吸热放热的转折点CpdVdTRdQ230设直线的过程方程

17、：设直线的过程方程：Vp直线上任一点：直线上任一点：RTpV21VVRTPVacb对某一微小过程：对某一微小过程：VdVdVRdT21代入热一律：代入热一律：dVVdQ425若该过程在若该过程在C点附近：点附近：0dQ85CV83CVppPVacb由由a，b两点坐标两点坐标5631;725531 .41,7 .13mVpapCC（2）效率）效率0WEQAC0WEQCB%521ACCBQQ38、等容热容量等容热容量为常量的某理想气体的两个循环过程为常量的某理想气体的两个循环过程曲线如图所示曲线如图所示,图中的两条斜直线均过图中的两条斜直线均过p V坐标面的原坐标面的原点点O,其余各直线或与其余各

18、直线或与p轴平行或与轴平行或与V轴平行。试证：这轴平行。试证：这两个循环过程的效率相等两个循环过程的效率相等.(11) PVoABCEFGPVoABCEFG解解（1）计算计算ABCA循环效率循环效率判断吸热、放热判断吸热、放热AB:吸热；吸热；BC:放热；放热；CA：放热：放热吸热：吸热：VkpRTpVWEQQABAB122121ABVABABVVRCkQQPVoABCEFG循环过程系统对外做功：循环过程系统对外做功：2221ABABABVVkVVppWABCA效率：效率：ABVABVVRCVVQW121PVoABCEFG,与斜率无关有关、只与VABABCVVVVABCA和和GEFG循环循环C

19、V相同相同,GEGEABABVVVVVVVV所以这两个循环过程的效率相等所以这两个循环过程的效率相等32、某理想气体经历的正循环过程、某理想气体经历的正循环过程 ABCDA和正循环和正循环过程过程AEFGA如图所示，有关特征态的状态参量在图如图所示，有关特征态的状态参量在图中已经给出，各自效率分别记为中已经给出，各自效率分别记为 1和和 2， 试试证：证： 2 ： 1 =4：3（15）APVoBCDEFGV02V07/3V0P02P03P0APVoBCDEFGV02V07/3V0P02P03P0解：设理想气体的摩尔解：设理想气体的摩尔数为数为n,态态A温度温度T0,（1）根据状态方程：）根据状

20、态方程：nRTpV 000007;3;2;4;2TTTTTTTTTTFEDCB（2）ABCDA循环效率循环效率0001012nRTVpWTCCnQQQpVBCABAPVoBCDEFGV02V07/3V0P02P03P0ABCDA循环效率：循环效率：pVCCRQW2111（3）AEFGA循环效率循环效率0001013834222nRTVpWTCCnQQQpVEFAEAEFGA循环效率循环效率pVCCRQW234112APVoBCDEFGV02V07/3V0P02P03P0所以所以3412四热力学第二定律四热力学第二定律克劳修斯表述：克劳修斯表述：开耳文表述：开耳文表述： 不可能把热量从低温物体传

21、到高温物体，而不产生不可能把热量从低温物体传到高温物体，而不产生任何影响任何影响 不可能制成一种循环工作的热机，只从单一热源不可能制成一种循环工作的热机，只从单一热源吸热全部变为有用功而不产生任何影响吸热全部变为有用功而不产生任何影响25、热力学第二定律的开尔文表述为、热力学第二定律的开尔文表述为 ；热力学；热力学第二定律的克劳修斯表述为第二定律的克劳修斯表述为 。(19)例例22、从单一热源吸收热量并将其完全用来对外做功，、从单一热源吸收热量并将其完全用来对外做功，是不违反热力学第二定律的，例如是不违反热力学第二定律的，例如 过程就是这种过程就是这种情况（情况（2）等温等温24、假设循环由等

22、温过程、假设循环由等温过程和 绝 热 过 程 组 成 （ 如和 绝 热 过 程 组 成 （ 如图），图）， 可以认为（可以认为（ ）(4) （a）此循环过程违反）此循环过程违反热力学第一定律热力学第一定律 （b）此循环过程违反）此循环过程违反热力学第二定律热力学第二定律 （c）此循环过程既违）此循环过程既违反热力学第一定律，又反热力学第一定律，又违反热力学第二定律违反热力学第二定律12abV0P24-图图C熵增原理熵增原理在孤立系中进行的自然过程总是沿着熵增大的方向在孤立系中进行的自然过程总是沿着熵增大的方向进行，它是不可逆的。平衡态相当于熵的最大状态进行，它是不可逆的。平衡态相当于熵的最大状

23、态（2）孤立系可逆过程熵不变）孤立系可逆过程熵不变0s（1）孤立系不可逆过程熵增加）孤立系不可逆过程熵增加0s(3)熵熵S是系统的状态函数是系统的状态函数WKSln玻耳兹曼关系式玻耳兹曼关系式26、热力学系统处于某一宏观态时，将它的熵记为、热力学系统处于某一宏观态时，将它的熵记为S，该宏观态包含的微观态个数记为该宏观态包含的微观态个数记为 W，玻耳兹曼假设二，玻耳兹曼假设二者间的关系为者间的关系为 。一个系统从平衡态。一个系统从平衡态 A经平衡过经平衡过程到达平衡态程到达平衡态B，状态，状态A的熵的熵SA与状态与状态B的熵的熵SB之间的之间的关系为关系为 。(19)WkSlnABSS 玻尔玻尔

24、兹曼兹曼常数常数（4）熵的计算：）熵的计算： 任意系统在一微小可逆过程中的熵增：任意系统在一微小可逆过程中的熵增：TdQdS 在一可逆过程中熵增：在一可逆过程中熵增：2112TdQSS27、1kg冰在冰在00C、1atm下溶解为水的过程中的熵增下溶解为水的过程中的熵增量为（量为（ ）。（已知冰的熔解热为）。（已知冰的熔解热为333kJ/kg）(8)KJ /1022. 13解解:冰在冰在00C等温膨胀等温膨胀,设想冰与设想冰与00C的恒温热源接触而进的恒温热源接触而进行可逆的吸热过程行可逆的吸热过程KJTQTdQS/1022. 1273103343341、设有一刚性绝热容器，其中一半充有、设有一

25、刚性绝热容器，其中一半充有 摩尔理想摩尔理想气体，另一半为真空。现将隔板抽去，使气体自由膨气体，另一半为真空。现将隔板抽去，使气体自由膨胀到整个容器中。试求该气体熵的变化。（不能直接胀到整个容器中。试求该气体熵的变化。（不能直接用理想气体上的公式计算）（用理想气体上的公式计算）（1）2lnRS解解:保持恒定TEdQ; 0; 0设想从初态到末态经历一等温的可逆过程设想从初态到末态经历一等温的可逆过程pdVdWdQ熵变熵变:2ln/2/RRpVpdVTdQsVV实际气体：实际气体：模型：有引力的刚性球模型模型：有引力的刚性球模型bVRTpm1mol考虑分子体积：考虑分子体积：考虑分子引力：考虑分子引力：2intmVapintp