题组9三角函数的概念、同角关系、诱导公式、恒等变换

1、高考圈题（新课标II数学文）题组9三角函数的概念、同角关系、诱导公式、恒等变换一、考法解法命题特点分析2014年新课标全国卷第一个解答题为数列题,且2014年数列题考查的放缩难度较大,2015年第一个大题为三角综合问题的可能性极大.对本部分的考查,重点考查性质、化简求值、图像变换、恒等变换.简答题重视解三角形，特别是实际应用问题，当然，还得重视与其他知识的综合，如平面向量。三角恒等变换是高考考查的重点内容之一,是三角函数的基础常与解三角形以及三角函数的图像与性质结合起来综合考察少单独考察.常见题型以选择题、填空题为主，解答题.难度系数在0.6左右.解题方法荟萃计算转化为主要解题方法.掌握化简和

2、求值问题的解题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍. 和差公式,二倍角公式及降幂公式,辅助角公式是解高考题必用公式.二、真题剖析【题干】(2012高考真题全国卷7)已知为第二象限角，则 (A) （B） (C) (D)【解析】(命题意图)本题主要考查同角三角函数关系、二倍角公式的应用. (解题点拨)因为所以两边平方得，所以，因为已知为第二象限角，所以，所以=，选A.(点评)注意题目中的角的范围, 结合平方关系与三角恒等变形来做,难度不大.这里要注意与之间的关系.【题干】（2013全国新课标卷）设为第二象限角，若，则sin cos _.【答案】【解析

3、】 (命题意图) 考查三角函数定义，两角和的正切公式，同角三角函数基本关系，三角函数在各个象限的符号等4个知识点.(解题点拨)由，得tan ，即sin cos .将其代入sin2cos21，得.因为为第二象限角，所以cos ，sin ，sin cos . (点评) 主要利用三角函数定义及化一公式求解;涉及方程、转化与化归等数学思想.本题属于中档题，也是高考中的主要考点之一【题干】（2014全国新课标卷）设，且，则 ( ). . . .【答案】B (命题意图) 本题三角函数中的恒等变换应用和切割化弦的技巧(解题点拨)解法1.选B（演绎推理），即解法2.选B（特殊角）取代入，可得，所以，通过四个选

4、项验证，只有选项B符合。 (点评)解法1采用了化弦为切，主要从复杂化简单的思维模式出发的，但三角变换是基本的方向和方法，在确定角的关系式正弦函数的单调性起了关键作用。解法2根据题意提供的范围选择适当的特殊角来验证，达到事半功倍的作用.夯实三角变换的基本功一直是学习的重点，而不是一味的拓展半角公式，在求值、化简、恒等式证明中,切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧【题干】（2014全国新课标卷）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在0,上的图像大致为【答案】B【解析】(命题意图) 本题主要考查三

5、角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用，是一道基础题(解题点拨) 选B（图象法）如图：过M作MDOP于，则 PM=，OM=,在中，MD=，其周期为，最大值为，最小值为解法2.选B（特值排除法）在角运动的过程中，当角的终边落在坐标轴上时，即时，则MD的长度为0，排除A、D两个选项，当角的终边不落在坐标轴上时，MD处于中，它的长度不可能等于1，排除C选项，所以选B(点评)解法1解题思路：在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择.解法2通过几个端点值来分

6、析，结合选项作出排除，选出正确选项.（3）本题考查了数形结合的数学思想，而单位圆在其中的作用往往被人们忽视，如果能充分利用单位圆，会起到事半功倍的效果。三角函数的图象与性质的考查难度仍以中、低档题为主，有时也以小而活的选择题和填空题的形式出现，重在基础知识的考查，淡化特殊技巧，讲究通性通法。三、高考圈题【题干】若，则A B C D【圈题理由】本题把同角三角函数关系,三角函数符号,二倍角公式邮寄的结合在一起.是高考考查三角恒等变形的，每年多以选择题的形式出现，题目基础，但综合性强，极有可能在高考中出现类似试题.【答案】D【解析】因为，所以，所以，又，所以，.故选D【题干】已知tan()，则()A

7、. B. C D【圈题理由】本题考查三角函数求值，同角三角函数关系.利用利用所求式子分子和分母为正弦余弦的齐次式，利用商数关系转化为正切,在进行求解.【解析】tan()，tan ，原式.选C【题干】sin220°+cos280°+cos20°cos80°= 【圈题理由】本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.考生需要熟练掌握三角公式并能灵活应用.解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，需认真体会. 解法二构造三角形结合正余弦定理来解决, 使解法更简单更精妙.【解析】解法一：sin220°+cos280

8、°+sin20°cos80°= (1cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°=1cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)=1cos40°+ (cos120°cos40°sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°sin60°sin20°)=1cos40°cos40°sin40

9、76;+sin40°sin220°=1cos40°(1cos40°)= 解法二：设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°,y=cos220°+sin280°cos20°sin80°，则x+y=1+1sin60°=，xy=cos40°+cos160°+sin100°=2sin100°sin60°+sin100°=0x=y=，即x=sin220°+cos280°+sin

10、20°cos80°=.解法三：构造单位圆内接三角形,切三内角分别为20°, 10°,150°.利用正弦定理和余弦定理得:sin2150°=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°= sin220°+cos280°+sin20°cos80°故原式= sin2150°=四、分层训练（10题）基础过关（第15题）【题干】1已知，都是锐角，若sin ，sin ，则()A. B.C.和 D和【答案】 A【解析】因为

11、、都为锐角，所以cos ，cos .所以cos()cos ·cos sin ·sin ，所以，故选A.【题干】2已知sin cos ，(0，)，则tan ()A1 B C. D1【答案】 A【解析】利用辅助角公式求出，再求其正切值由sin cos sin，(0，)，解得，所以tan tan1.【题干】3已知(，)，tan，则sin()()A. BC. D【答案】 B【解析】由题意可知，由此解得sin2，又(，)，因此有sin，sin()sin，故选B.【题干】4已知2sintan3，则cos的值是()A7 BC. D.【答案】 D【解析】由已知得2sin23cos，2cos

12、23cos20，(cos2)(2cos1)0cos，选D.【题干】5已知sincos，且<<，则cossin的值为()A B.C D.【答案】 B【解析】 <<，cos>sin，cossin>0，又(cossin)212cossin，cossin.智能拓展（第610题）【题干】6在(0,2)内，使sin >cos成立的的取值范围为()A. BC. D 【答案】 C【解析】详解：当的终边在直线yx上时，直线yx与单位圆的交点为，此时和，如图所示当 时，恒有MP >OM.而当 时，则有MP<OM，因此选C.本题亦可利用正余弦曲线来解决.【题干】

13、7已知cos，sin，且<<，0<<， cos()= 【答案】 .【解析】<<，0<<，cos，sin，<<，0<<.sin，cos，coscoscoscossinsin ××，cos()2cos21.【题干】8已知函数f(x)2sin，若，f，f(32)，则cos()= 【答案】【解析】由题设知：f2sin ，f(32)2sin2cos ，即sin ，cos .又，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin ××.【题干】9已知方程x2+4ax+3a+1=0(a1)的两根均tan、tan，且，()，则tan的值是( )A.B.2 C. D. 或2【答案】B【解析】a1，tan+tan=4a0