第三节晶列和晶面指数

1、School of Physics, Northwest UniversitySolid State PhysicsSchool of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics同一格子可以同一格子可以形成方位不同形成方位不同的晶列，晶列的晶列，晶列的取向称为的取向称为晶晶向向（crystal direction）。晶列的特点：晶列上的格点晶列的特点：晶列上的格点具有一定的周期性。具有一定的周期性。 晶列族晶列族如果一平行如果一平行直线族把格点包括无遗，且直线族把格点包括无遗，且每一直线上都布有格点，则每一直线上都布有格点，则称这些直线为同

2、一族晶列。称这些直线为同一族晶列。 一族晶列的特征：取向相一族晶列的特征：取向相同，晶列上格点的周期相同。同，晶列上格点的周期相同。School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics112233lRlalalaSchool of Physics, Northwest UniversitySolid State PhysicsSchool of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics如图所示为立方晶格的一些晶向：如图所示为立方晶格的一些晶向：AB 100 AE 001 AF

3、 101BA 00 FB 00 BH 11AD 010 AG 111 AC 110DA 0 0 EA 00 可以看出，AB，AD，AE，BA，DA, EA六个晶向，其晶向指数的差异完全来自基矢方向的选择。由于对称性，它们在物理上是完全等价的，可以统一用表示。 类似地，用表示与110等价的12个面对角线晶向；用表示与111等价的体对角线晶向。111ABCDEFGH11School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics 简单立方晶格的晶向标志简单立方晶格的晶向标志 立方边立方边OA的晶向的晶向100100,001,010010,00

4、1,100立方边共有立方边共有6个不同的晶向个不同的晶向05/15School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics 简单立方晶格的晶向标志简单立方晶格的晶向标志 面对角线面对角线OB的晶向的晶向 面对角线晶向共有面对角线晶向共有12个个 110School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics体对角线体对角线OC的晶向的晶向111 体对角线晶向共有体对角线晶向共有8个个 简单立方晶格的晶向标志简单立方晶格的晶向标志 School of Physics, Nort

5、hwest UniversitySolid State Physics 由于立方晶格的对称性，以上由于立方晶格的对称性，以上3组晶向是等效的组晶向是等效的100110111 简单立方晶格的晶向标志简单立方晶格的晶向标志 表示为表示为School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics1233ARaaa1223ARaa晶向指数晶向指数311晶向指数晶向指数230School of Physics, Northwest UniversitySolid State PhysicsSchool of Physics, Northwest

6、UniversitySolid State Physics 晶面的标志晶面的标志 晶体的晶面晶体的晶面 在布拉伐格子中作一簇平行的平面在布拉伐格子中作一簇平行的平面 这些相互平行、等间距的平面可以这些相互平行、等间距的平面可以 将所有的格点包括无遗将所有的格点包括无遗 这些相互平行的这些相互平行的平平 面称为晶体的晶面称为晶体的晶面面School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics同一个格子，两组不同的晶面族同一个格子，两组不同的晶面族10/15School of Physics, Northwest UniversitySo

7、lid State PhysicsSchool of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics取某一原子为原点取某一原子为原点O，原胞的三个基矢，原胞的三个基矢123,a aa为坐标系的三个轴为坐标系的三个轴 晶格中一族的晶面晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距不仅平行，并且等距 一族晶面必包含一族晶面必包含了了 所有格点而无遗漏所有格点而无遗漏 三个基矢末端格三个基矢末端格 点必分别落在该点必分别落在该 族的不同晶面上族的不同晶面上School of Physics, Northwest UniversitySolid State Phy

8、sics二、二、 晶面和密勒指数晶面和密勒指数 （lattice planes and Miller indices ）School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physicsn 设某一族晶面的面间距为d，它的法线方向的单位矢量为d则在这族晶面中，离开原点的距离为则在这族晶面中，离开原点的距离为的晶面的方程式为Xnd （1.3.1）123,a a a 123,a a a为了标志一个晶面，通常选取某一个格点为原点，以基矢为坐标轴，并取为沿着三个坐标轴的天然长度。其中为整数；X是晶面上任一点的位置矢量。 School of Physics

9、, Northwest UniversitySolid State Physics设此晶面与三个坐标轴的交点的位矢分别为设此晶面与三个坐标轴的交点的位矢分别为 123,ra saa和t11cos(, )raa nd 22cos(, )saa nd33cos(, )taa nd依次代入（1.3.1）式就得到School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics123,a a a 取取为沿三个坐标轴的天然的长度单位，则得1231 1 1cos(, ):cos(, ):cos(, ):a na na nrs t （1.3.2）所以，晶面的

10、法线方向与三个坐标轴（基矢）之间夹角的所以，晶面的法线方向与三个坐标轴（基矢）之间夹角的余弦之比等于晶面在三个坐标轴上的截距的倒数之比。说余弦之比等于晶面在三个坐标轴上的截距的倒数之比。说明用方向余弦和截距标志晶面是等价的。明用方向余弦和截距标志晶面是等价的。School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics 可以证明，可以证明，r、s、t 必为有理数必为有理数123,a a a 因为在该族晶面中有三个晶面必过因为在该族晶面中有三个晶面必过所对应的格点。所对应的格点。的端点的端点123,a a a 123,hd h dh d和1

11、23,h h h的端点上的格点分别在离原点的距离为的端点上的格点分别在离原点的距离为的晶面上，这里的晶面上，这里设设都是整数都是整数按照（按照（1.3.11.3.1）式，对这三个晶面分别有）式，对这三个晶面分别有11anhd22anh d33anh d其中其中n是这族晶面公共法线的单位矢量是这族晶面公共法线的单位矢量 School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics111cos(, )aa nhd 222cos(, )aa nh d333cos(, )aa nh d所以有所以有即晶面族的法线方向与三个基矢之间夹角的余弦之比等于

12、三个整数之比。 123123cos(, ):cos(, ):cos(, ):a na na nhhh 用天然长度之后（1.3.3）School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics比较（比较（1.3.2）式和（）式和（1.3.3）式，容易看出，）式，容易看出，r、s、t 分别是两分别是两个整数之比，必为有理数，这就是个整数之比，必为有理数，这就是阿羽依的有理指数定律阿羽依的有理指数定律：任一晶面的截距任一晶面的截距 r、s、t 必是一组有理数。必是一组有理数。整数整数123,h hh也是互质的也是互质的 1在方程（在方程（1.3

13、.11.3.1）中取）中取，得第一晶面满足的方程组：，得第一晶面满足的方程组：111cos(, )a ndh 221cos(, )a ndh331cos(, )a ndh（1.3.4）School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics1 12233lRl al al a设第一晶面某一个格点的格矢为设第一晶面某一个格点的格矢为123, ,l l l其中其中为整数。将格矢代入方程（为整数。将格矢代入方程（1.3.11.3.1），有），有112233cos(, )cos(, )cos(, )la nla nla nd （1.3.5）由

14、（由（1.3.41.3.4）和（）和（1.3.51.3.5）式，可以得到）式，可以得到1 122331l hl hl h （1.3.6）123,h h h如果如果不是互质数，而是有公因子不是互质数，而是有公因子m，m 一定是大于一定是大于1的整数。的整数。School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics112233( )1m l hl hl h （1.3.7）112233,hmhhmhhmh令令123,hhh为互质整数，这样式（为互质整数，这样式（1.3.61.3.6）可以写为）可以写为在式（在式（1.3.71.3.7）中，括

15、号内为非零整数，则此式不成立。所以）中，括号内为非零整数，则此式不成立。所以123,h h h必为互质数。School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics 显然，这组互质的整数可用来表示晶面的法线方向，显然，这组互质的整数可用来表示晶面的法线方向，就称它们为该族晶面的面指数，习惯上用圆括号表示，记为就称它们为该族晶面的面指数，习惯上用圆括号表示，记为1 23()hh h求晶面指数的方法：求晶面指数的方法： 对于给定的晶面族，以基矢对于给定的晶面族，以基矢 为坐标系，求出任意为坐标系，求出任意一个晶面在坐标轴上的截距，将截距取倒

16、数并化为互质的整一个晶面在坐标轴上的截距，将截距取倒数并化为互质的整数数 ，记为，记为 ，就是该晶面族的晶面指数。，就是该晶面族的晶面指数。123,a a a 123,h h h1 23()hh hSchool of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics(111)(111) (111) (111) (111)(111)(111)School of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics立方晶格的几种主要晶面标记立方晶格的几种主要晶面标记 School of Physics, N

17、orthwest UniversitySolid State Physics)100(面等效的晶面数分别为：面等效的晶面数分别为：3个个100表示为表示为)110(面等效的晶面数分别为：面等效的晶面数分别为：6个个110表示为表示为)111(面等效的晶面数分别为：面等效的晶面数分别为：4个个111表示为表示为 符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有 意义意义, 在晶体内部这些面都是等效的在晶体内部这些面都是等效的15/15School of Physics, Northwest UniversitySolid State PhysicsSc

18、hool of Physics, Northwest UniversitySolid State Physics如图所示，以原胞基矢构成坐标系，晶面族在三个坐标轴上的截距分别如图所示，以原胞基矢构成坐标系，晶面族在三个坐标轴上的截距分别是是 ，截距的倒数是，截距的倒数是 ，化成互质数为，化成互质数为2 2，3 3，3 3，所以晶面指数是（所以晶面指数是（233）。）。123(3 ,2,2)aaa111,322晶面指数为（晶面指数为（233233）的晶面族中的一个晶面）的晶面族中的一个晶面 School of Physics, Northwest UniversitySolid State Ph

19、ysicsSchool of Physics, Northwest UniversitySolid State PhysicsSchool of Physics, Northwest UniversitySolid State PhysicsCrystal directions. Any lattice vector can be written as that given by Eq: The direction is then specified by the three integers l1l2l3 . If the numbers l1l2l3 have a common facto

20、r, this factor is removed. For example, 111 is used rather than 222, or 100, rather than 400. When we speak about directions, we mean a hole set of parallel lines, which are equivalent due to transnational symmetry. Opposite orientation is denoted by the negative sign over a number.112233lRlalalaSchool of Physics, Northwest UniversitySolid State PhysicsCrystal planes. The orientation of a plane in a lattice is specified by Miller indices. They are defined as follows. We find intercept of the plane with the axes along the primitive tran